Examkin

Soru

Zorluk: ZorToplam ve Fark Formülleri
Her nn adedi pozitif tam sayı olmak üzere, ana_n dizisinin genel terimi
an=arctan⁡(1n2+n+1)a_n = \arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)
olarak tanımlanıyor.
Buna göre,
tan⁡(a1+a2+a3+a4)\tan\left(a_1 + a_2 + a_3 + a_4\right)
ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    −32-\frac{3}{2}
  2. B
    −1-1
  3. 23\frac{2}{3}Cevap
  4. D
    35\frac{3}{5}
  5. E
    44

Cevap

İfadenin doğru değeri 23\frac{2}{3} olarak bulunur.
Genel terim arctan⁡(n+1)−arctan⁡(n)\arctan(n+1) - \arctan(n) şeklinde açıldıktan sonra teleskopik toplam yöntemiyle aradaki terimler birbirini götürür ve geriye arctan⁡(5)−arctan⁡(1)\arctan(5) - \arctan(1) kalır. Bu ifadenin tanjantı alınırken tanjant fark formülü uygulandığında doğru cevap 23\frac{2}{3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimin toplam-fark formülüne uyarlanması
an=arctan⁡((n+1)−n1+n(n+1))a_n = \arctan\left(\frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)}\right)
Ters tanjant fark formülü olan arctan⁡x−arctan⁡y=arctan⁡(x−y1+xy)\arctan x - \arctan y = \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) özdeşliğini kullanabilmek için rasyonel ifade uygun biçimde yazılır.
2
Genel terimin fark biçiminde yazılması
an=arctan⁡(n+1)−arctan⁡(n)a_n = \arctan(n+1) - \arctan(n)
Ters tanjant fark özdeşliği uygulanarak genel terim ardışık iki terimin farkı cinsinden ifade edilir.
3
Terimlerin toplanması (Teleskopik toplam)
a1+a2+a3+a4=arctan⁡(5)−arctan⁡(1)a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = \arctan(5) - \arctan(1)
n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerleri yazılıp taraf tarafa toplandığında aradaki terimler birbirini sadeleştirir.
4
Tanjant fark formülünün uygulanması
tan⁡(arctan⁡(5)−arctan⁡(1))=5−11+5⋅1=46=23\tan(\arctan(5) - \arctan(1)) = \frac{5 - 1}{1 + 5 \cdot 1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} formülünde tan⁡(arctan⁡(5))=5\tan(\arctan(5)) = 5 ve tan⁡(arctan⁡(1))=1\tan(\arctan(1)) = 1 değerleri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren ifadelerde tanjant fark formülünün teleskopik toplam yardımıyla uygulanması
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru