Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorToplam ve Fark Formülleri
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(x−30∘)−sin⁡(x−60∘)sin⁡(x−30∘)+cos⁡(x−60∘)=2−3\frac{\cos(x - 30^\circ) - \sin(x - 60^\circ)}{\sin(x - 30^\circ) + \cos(x - 60^\circ)} = 2 - \sqrt{3}

eşitliğini sağlayan xx açısının derece cinsinden ölçüsü kaçtır?

Cevap: 75 / 75° / 75 derece

Cevap

Eşitliği sağlayan x açısının derece cinsinden ölçüsü 75'tir.
Verilen karmaşık kesirli ifade, pay ve paydada bulunan terimlerin toplam ve fark formülleriyle açılıp sadeleştirilmesi sonucunda cot⁡x\cot x ifadesine eşit olmaktadır. cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} denklemini sağlayan x∈(0,90∘)x \in (0, 90^\circ) dar açısı ise x=75∘x = 75^\circ olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında bulunan cos⁡(x−30∘)\cos(x - 30^\circ) ve sin⁡(x−60∘)\sin(x - 60^\circ) ifadelerini fark formülleri kullanarak açalım.
cos⁡(x−30∘)=cos⁡xcos⁡30∘+sin⁡xsin⁡30∘\cos(x - 30^\circ) = \cos x \cos 30^\circ + \sin x \sin 30^\circ ve sin⁡(x−60∘)=sin⁡xcos⁡60∘−cos⁡xsin⁡60∘\sin(x - 60^\circ) = \sin x \cos 60^\circ - \cos x \sin 60^\circ elde edilir.
Trigonometrik ifadeleri daha sade biçimde yazabilmek için toplam ve fark formüllerini uygulamak gerekir.
2
30∘30^\circ ve 60∘60^\circ açılarının bilinen trigonometrik değerlerini yerlerine yerleştirelim.
cos⁡(x−30∘)=32cos⁡x+12sin⁡x\cos(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x ve sin⁡(x−60∘)=12sin⁡x−32cos⁡x\sin(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x olur.
Sayısal değerleri yerleştirerek cebirsel sadeleştirme yapabilmek için.
3
Paydaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek pay ifadesinin en sade halini bulalım.
Pay =(32cos⁡x+12sin⁡x)−(12sin⁡x−32cos⁡x)=3cos⁡x= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x bulunur.
Çıkarma işlemiyle benzer terimleri sadeleştirmek için.
4
Payda kısmında yer alan sin⁡(x−30∘)\sin(x - 30^\circ) ve cos⁡(x−60∘)\cos(x - 60^\circ) ifadelerini fark ve toplam formülleriyle açıp bilinen değerleri yerine yazalım.
sin⁡(x−30∘)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x ve cos⁡(x−60∘)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x olur.
Paydadaki ifadeleri sadeleştirmek üzere fark ve toplam formüllerini uygulamak için.
5
Paydadaki toplama işlemini gerçekleştirerek payda ifadesinin en sade halini bulalım.
Payda =(32sin⁡x−12cos⁡x)+(12cos⁡x+32sin⁡x)=3sin⁡x= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x bulunur.
Toplama işlemiyle zıt işaretli terimleri sadeleştirmek için.
6
Elde ettiğimiz pay ve payda sadeleşmiş hallerini oranlayarak ana denklemi yazalım.
3cos⁡x3sin⁡x=cot⁡x\frac{\sqrt{3}\cos x}{\sqrt{3}\sin x} = \cot x elde edilir. Buradan denklemin yeni hali cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} olur.
Karmaşık kesirli ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek için.
7
cot⁡x=2−3\cot x = 2 - \sqrt{3} denklemini sağlayan xx dar açısını bulalım.
cot⁡x=2−3  ⟹  tan⁡x=12−3=2+3\cot x = 2 - \sqrt{3} \implies \tan x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} olur. tan⁡(45∘+30∘)=tan⁡45∘+tan⁡30∘1−tan⁡45∘tan⁡30∘=2+3\tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = 2 + \sqrt{3} olduğunu bildiğimizden x=75∘x = 75^\circ olarak bulunur.
Elde edilen basit trigonometrik denklemi çözerek açı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve trigonometrik denklemlerin çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru