Examkin

Soru

Zorluk: ZorYarım Açı Formülleri
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1+cos⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡x1+cos⁡x=3\sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}} + \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = 3

olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

  1. A
    −459-\frac{4\sqrt{5}}{9}
  2. B
    −45-4\sqrt{5}
  3. C
    459\frac{4\sqrt{5}}{9}
  4. 454\sqrt{5}Cevap
  5. E
    255\frac{2\sqrt{5}}{5}

Cevap

454\sqrt{5}
Verilen rasyonel köklü ifadelerin paydaları eşitlenip toplandığında ifade 2∣sin⁡x∣\frac{2}{|\sin x|} şekline sadeleşir. Açının üçüncü bölgede yer almasından dolayı sinüs fonksiyonu negatif değer alır ve mutlak değer dışına −sin⁡x-\sin x olarak çıkar. Buradan sin⁡x=−23\sin x = -\frac{2}{3} ve dik üçgen bağıntıları yardımıyla tan⁡x=25\tan x = \frac{2}{\sqrt{5}} elde edilir. Tanjant iki kat açı formülü uygulandığında doğru sonuç 454\sqrt{5} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen köklü ifadelerin paydaların�� eşitleyerek ortak paydada toplamak.
1+cos⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡x1+cos⁡x=(1+cos⁡x)+(1−cos⁡x)1−cos⁡2x=2sin⁡2x=2∣sin⁡x∣\frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1-\cos x}} + \frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}} = \frac{(1+\cos x) + (1-\cos x)}{\sqrt{1-\cos^2 x}} = \frac{2}{\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{2}{|\sin x|}
Köklü ifadeleri ortak paydada birleştirerek sadeleştirmek amacıyla payda eşitleme işlemi yapılır.
2
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak mutlak değer dışına çıkarma işlemini tamamlamak ve sin⁡x\sin x değerini elde etmek.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında (üçüncü bölge) sinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olur. Bu durumda,
2−sin⁡x=3  ⟹  sin⁡x=−23\frac{2}{-\sin x} = 3 \implies \sin x = -\frac{2}{3} elde edilir.
Karekök dışına çıkan ifadelerin işaret belirlemesi, açının tanımlı olduğu koordinat düzlemi bölgesine göre yapılır.
3
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla cos⁡x\cos x ve tan⁡x\tan x değerlerini bulmak.
Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından,
cos⁡x=−1−sin⁡2x=−1−49=−53\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}
Buradan tanjant değeri,
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=−2/3−5/3=25\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}}
olarak bulunur.
İki kat açı formülünü uygulamak için gerekli olan tek kat açının tanjant değeri belirlenir.
4
Tanjant iki kat açı formülünü uygulayarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplamak.
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x=2⋅251−(25)2=451−45=4515=205=45\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}
İki kat açıya geçiş yaparak soruda bizden istenen nihai değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri ve bölge özelliklerine göre trigonometrik ifadelerin mutlak değer yardımıyla sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru