Kepler Yasaları

4 soru

Güneş etrafında eliptik bir yörüngede dolanmakta olan bir gezegen, yörüngesi üzerindeki $K$ (günberi) noktasından $L$ (günöte) noktasına doğru hareket etmektedir.

Gezegenin bu hareketi süresince;

I. Güneş'in gezegene uyguladığı kütle çekim kuvvetinin Güneş merkezine göre oluşturduğu net tork sıfırdır.
II. Gezegenin Güneş merkezine göre açısal momentumunun büyüklüğü azalır.
III. Gezegenin kinetik enerjisi azalır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Güneş'in uyguladığı kütle çekim kuvvetinin torku sıfır olduğu için gezegenin açısal momentumu korunur ve günberiden günöteye giderken Güneş'ten uzaklaşan gezegenin çizgisel sürati ile kinetik enerjisi azalır. Bu nedenle birinci ve üçüncü ifadelerin yer aldığı seçenek doğrudur.

Kütle çekim kuvveti merkezi bir kuvvet olup doğrultusu daima Güneş merkezinden geçtiğinden, bu kuvvetin Güneş merkezine göre torku sıfırdır. Net tork sıfır olduğundan açısal momentum korunur ve büyüklüğü değişmez. Gezegen günberiden günöteye giderken Güneş'ten uzaklaştığı için hızı ve kinetik enerjisi azalır. Dolayısıyla net torkun sıfır olduğunu belirten birinci öncül ve kinetik enerjinin azaldığını belirten üçüncü öncül doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Gezegene etki eden kuvvetlerin ve torkun belirlenmesi.

Gezegene etki eden tek kuvvet, doğrultusu daima Güneş merkezine doğru olan kütle çekim kuvvetidir. Bu kuvvetin doğrultusu dönme merkezinden (Güneş'ten) geçtiği için Güneş merkezine göre oluşturduğu net tork

\tau = 0

olur.

Torkun sıfır olması, açısal momentumun korunup korunmayacağını belirlemek için gereklidir.

Gezegenin Güneş'e göre açısal momentumunun incelenmesi.

Güneş merkezine göre net dış tork sıfır olduğundan (

\tau_{net} = 0

), gezegenin Güneş merkezine göre açısal momentumunun (

L

) büyüklüğü ve yönü değişmez, yani korunur. Dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.

Açısal momentumun zamanla değişim hızı net dış torka eşittir (

\tau = \frac{dL}{dt}

Gezegenin günberiden günöteye hareketi sırasında çizgisel hızının ve kinetik enerjisinin değişiminin belirlenmesi.

Gezegen

K

noktasından

L

noktasına giderken Güneş'e olan uzaklığı (

r

) artar. Açısal momentum korunduğu için (

L = m \cdot v \cdot r \cdot \sin\theta = \text{sabit}

), uzaklığın artmasıyla çizgisel sürat (

v

) azalır. Süratin azalması kinetik enerjinin (

E_k = \frac{1}{2}mv^2

) azalmasına neden olur. Dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.

Kepler'in Alanlar Yasası gereğince, gezegen Güneş'ten uzaklaştıkça yavaşlar.

Öncüllerin değerlendirilmesi ve doğru seçeneğin belirlenmesi.

Birinci ve üçüncü öncüller doğru, ikinci öncül yanlıştır. Doğru seçenek 'I ve III' olmalıdır.

Fiziksel yasaların analiz edilmesiyle öncüllerin doğruluğu test edilmiştir.

Anahtar Kavram

Kepler Yasaları kapsamında eliptik yörüngedeki gezegenlerin açısal momentumunun korunumu, net torkun sıfır olması ve günberiden günöteye giderken çizgisel sürat ile kinetik enerjinin değişimi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Yer (Dünya) etrafında eliptik bir yörüngede dolanmakta olan yapay bir uydunun dolanım yönü ve yörünge üzerindeki yerberi (Dünya'ya en yakın) ve yeröte (Dünya'ya en uzak) konumları şekilde gösterilmiştir.

Uydunun yerberi noktasından yeröte noktasına doğru hareketi sürecinde;

I. Dünya'nın uyduya uyguladığı kütle çekim kuvvetinin Dünya'nın merkezine göre oluşturduğu net tork sıfırdır.
II. Uydunun Dünya'nın merkezine göre açısal momentumunun büyüklüğü azalır.
III. Dünya'nın uyduya uyguladığı kütle çekim ivmesinin büyüklüğü, uydu Dünya'dan uzaklaştıkça uzaklıkla doğrusal olarak azalır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I

Kütle çekim kuvveti merkezi bir kuvvet olup her an uydudan Dünya'nın merkezine doğrudur. Bu nedenle kuvvetin doğrultusu dönme merkezinden geçtiği için torku sıfırdır. Net dış tork sıfır olduğundan uydunun Dünya'nın merkezine göre açısal momentumunun büyüklüğü korunur ve değişmez. Dünya'nın uyguladığı kütle çekim ivmesi

g = G \frac{M}{r^2}

formülü gereği uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak azalır, doğrusal olarak değil. Bu sebeple yalnızca birinci öncül doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Kütle çekim kuvvetinin Dünya'nın merkezine göre torkunu inceleme

Tork sıfır bulunur.

Kütle çekim kuvveti her an Dünya'nın merkezine doğru yönelmiş bir merkezi kuvvettir. Kuvvet vektörü ile konum vektörü doğrudaş (z��t yönlü) olduğundan, bu kuvvetin Dünya'nın merkezine göre torku

\tau = r \cdot F \cdot \sin(180^\circ) = 0

olur.

Açısal momentumun değişimini inceleme

Açısal momentumun büyüklüğü sabit kalır.

Dönme merkezine göre net dış tork sıfır olduğunda açısal momentum korunur. Uydu yerberiden yeröteye giderken çizgisel sürati azalır ancak Dünya'ya olan uzaklığı artar; böylece

L = m \cdot v \cdot r \cdot \sin\theta

değeri sabit kalır.

Kütle çekim ivmesinin uzaklığa bağlı değişimini inceleme

Çekim ivmesi karesel olarak azalır.

Dünya'nın uyduya uyguladığı yer çekimi ivmesi

g = G \frac{M}{r^2}

bağıntısıyla verilir. Dolayısıyla uydu uzaklaştıkça çekim ivmesi uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak azalır, doğrusal (lineer) bir azalma gerçekleşmez.

Anahtar Kavram

Merkezi kuvvetlerin torku sıfır olduğundan açısal momentum korunur; çekim ivmesi ise uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak değişir.

Soru 3Soru →

Bir gezegenin etrafında dairesel yörüngelerde dolanmakta olan $K$ ve $L$ yapay uydularının yörünge yarıçapları sırasıyla $r$ ve $4r$ 'dir.

Buna göre, uyduların hareketiyle ilgili;

I. $K$ uydusunun dolanım periyodu $T$ ise, $L$ uydusunun dolanım periyodu $8T$ 'dir.
II. $K$ uydusunun çizgisel hızı, $L$ uydusunun çizgisel hızının $2$ katıdır.
III. $K$ uydusuna etki eden kütle çekim kuvvetinin büyüklüğ��, $L$ uydusuna etki edenden daha büyüktür.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II öncüllerinin belirttiği durumlar kesinlikle doğrudur.

Kepler'in Üçüncü Yasası'na göre uyduların yörünge yarıçaplarının küpü ile periyotlarının karesi orantılıdır. Yarıçapı

r

4r

olan uyduların periyotları sırasıyla

T

8T

olur. Ayrıca dairesel yörüngede dolanan uyduların çizgisel hızları yörünge yarıçaplarının karekökü ile ters orantılı olduğundan,

K

uydusunun çizgisel hızı

L

uydusunun 2 katı olur. Uyduların kütleleri bilinmediği için üzerlerine etki eden kütle çekim kuvvetleri kesin olarak kıyaslanamaz. Bu nedenle 'I ve II' ifadesinin yer aldığı seçenek kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Kepler'in Üçüncü Yasası'nı (Periyotlar Yasası) uygulayarak uyduların periyotları arasındaki ilişkiyi belirlemek.

T_L = 8T_K

ilişkisi elde edilir.

K

uydusunun periyodu

T

ise,

L

uydusunun periyodu

8T

olur. Dolayısıyla I. öncül kesinlikle doğrudur.

Bir gezegen etrafında dolanan tüm uydular için ortalama yörünge yarıçapının küpünün, dolanım periyodunun karesine oranı sabittir:

\frac{r_K^3}{T_K^2} = \frac{r_L^3}{T_L^2} \Rightarrow \frac{r^3}{T^2} = \frac{(4r)^3}{T_L^2} \Rightarrow T_L^2 = 64T^2 \Rightarrow T_L = 8T

Kütle çekim kuvvetini merkezcil kuvvete eşitleyerek uyduların çizgisel hızları arasındaki ilişkiyi bulmak.

v_K = 2v_L

ilişkisi elde edilir.

K

uydusunun çizgisel hızı,

L

uydusunun çizgisel hızının

2

katıdır. Dolayısıyla II. öncül kesinlikle doğrudur.

Dairesel yörüngede dolanan uyduya etki eden kütle çekim kuvveti, merkezcil kuvvete eşittir:

G\frac{M\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}

. Çizgisel hız yarıçapın karekökü ile ters orantılıdır:

v_K \propto \frac{1}{\sqrt{r}}

v_L \propto \frac{1}{\sqrt{4r}} = \frac{1}{2\sqrt{r}}

olduğundan

v_K = 2v_L

olur.

Kütle çekim kuvveti formülü üzerinden uydulara etki eden kuvvetlerin büyüklüklerini karşılaştırmak.

Uyduların kütleleri (

m_K

m_L

) bilinmediği için kütle çekim kuvvetlerinin büyüklükleri kesin olarak kıyaslanamaz. Dolayısıyla III. öncül kesin değildir.

Gezegenin uydulara uyguladığı kütle çekim kuvveti

F = G\frac{M\cdot m}{r^2}

formülü ile bulunur. Kuvvet hem yörünge yarıçapına hem de uydunun kendi kütlesine bağlıdır. Uyduların kütleleri verilmediği için kuvvet büyüklükleri kesin olarak karşılaştırılamaz.

Anahtar Kavram

Kepler'in Periyotlar Yasası ve Yörünge Hızı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

Bir yıldızın çevresinde eliptik yörüngede dolanmakta olan bir gezegen, yıldıza en yakın olduğu konumdan (günberi) en uzak olduğu konuma (günöte) doğru hareket etmektedir.

Buna göre, bu hareket sürecinde gezegene ait;

I. Yıldızın gezegene uyguladığı kütle çekim kuvvetinin büyüklüğü,
II. Gezegenin çizgisel hızının büyüklüğü,
III. Gezegenin yıldıza göre açısal momentumunun büyüklüğü

niceliklerinden hangileri azalır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Yıldızın gezegene uyguladığı kütle çekim kuvvetinin büyüklüğü ve gezegenin çizgisel hızının büyüklüğü azalır.

Gezegen günberiden günöteye doğru hareket ederken yıldıza olan mesafesi artar. Kütle çekim kuvveti uzaklığın karesiyle ters orantılı olduğundan azalır. Kepler Yasaları ve açısal momentumun korunumu gereğince, gezegen yıldıza en yakın konumda (günberi) en büyük hıza, en uzak konumda (günöte) ise en küçük hıza sahiptir; yani günberiden günöteye giderken çizgisel hızının büyüklüğü azalır. Bu nedenle kütle çekim kuvvetinin büyüklüğü ve çizgisel hızın büyüklüğü azalmaktadır.

Adım Adım Çözüm

Kütle çekim kuvvetinin uzaklığa bağlı değişimini analiz etme

Gezegen günberiden günöteye giderken yıldıza olan uzaklığı (

r

) artar. Yıldızın gezegene uyguladığı kütle çekim kuvvetinin büyüklüğü

F = G \frac{M \cdot m}{r^2}

bağıntısı ile verilir. Uzaklık (

r

) arttığı için kütle çekim kuvvetinin büyüklüğü (

F

) azalır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

Kütle çekim kuvvetinin büyüklüğünün uzaklığın karesiyle ters orantılı olduğunu kullanmak için.

Çizgisel hızın değişimini Kepler'in Alanlar Yasası ile analiz etme

Kepler'in Alanlar Yasası'na göre gezegenler eşit sürelerde eşit alanlar tarar. Bu durum açısal momentumun korunumu ile doğrudan ilişkilidir. Gezegen yıldıza yaklaştıkça çizgisel hızı artar (günberi konumunda maksimumdur), yıldırdan uzaklaştıkça çizgisel hızı azalır (günöte konumunda minimumdur). Günberiden günöteye giderken gezegenin çizgisel hızının büyüklüğü azalır. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.

Gezegenin eliptik yörüngede hareket ederken hızının konumuna bağlı değişimini belirlemek için.

Açısal momentumun korunup korunmadığını belirleme

Gezegene etki eden tek kuvvet, doğrultusu daima yıldızın merkezinden geçen kütle çekim kuvvetidir. Bu kuvvetin yıldızın merkezine göre torku sıfırdır (tork = 0). Net dış tork sıfır olduğu için gezegenin açısal momentumu (

L

) hareket süresince korunur ve büyüklüğü değişmez. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır (azalmaz).

Merkezi kuvvetlerin sisteme etki eden dış tork oluşturmadığını ve açısal momentumun korunduğunu göstermek için.

Anahtar Kavram

Eliptik yörüngede hareket eden bir gezegenin hızı, açısal momentumu ve üzerine etki eden kütle çekim kuvvetinin yörünge üzerindeki konuma bağlı değişimi.

Tahmini Süre:1m 30s

Kepler Yasaları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar