Examkin

De Broglie Dalga Boyu ve İkilik

5 soru

Soru 1Soru →

Bohr atom modeline göre hidrojen atomunun birinci uyarılma seviyesinde (n=2n = 2) dolanan bir elektronun çizgisel sürati vv, de Broglie dalga boyu ise λe\lambda_e kadardır.

Bu elektron temel hale (n=1n = 1) geçiş yaptığında atomdan salınan fotonun dalga boyu λf\lambda_f olduğuna göre, λfλe\frac{\lambda_f}{\lambda_e} oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

(Işık hızı cc'dir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2c3v\frac{2c}{3v}

Cevap

Salınan fotonun dalga boyunun elektronun ilk durumdaki de Broglie dalga boyuna oranı 2c3v\frac{2c}{3v}'dir.
Elektronun birinci uyarılma seviyesindeki (n=2n=2) toplam enerjisi E2=−12mv2E_2 = -\frac{1}{2}mv^2 iken, temel haldeki (n=1n=1) toplam enerjisi E1=4E2=−2mv2E_1 = 4E_2 = -2mv^2 olur. Seviyeler arası geçişte salınan fotonun enerjisi Ef=E2−E1=32mv2E_f = E_2 - E_1 = \frac{3}{2}mv^2 şeklindedir. Fotonun dalga boyu λf=hcEf=2hc3mv2\lambda_f = \frac{hc}{E_f} = \frac{2hc}{3mv^2} ve elektronun de Broglie dalga boyu λe=hmv\lambda_e = \frac{h}{mv} olduğundan, bu iki değerin oranı 2c3v\frac{2c}{3v} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Elektronun birinci uyarılma seviyesindeki (n=2n=2) kinetik enerjisini ve toplam enerjisini hızı cinsinden tanımlamak.
K2=12mv2K_2 = \frac{1}{2}mv^2 ve E2=−K2=−12mv2E_2 = -K_2 = -\frac{1}{2}mv^2 olarak belirlenir.
Bohr atom modelinde elektronun toplam mekanik enerjisi, kinetik enerjisinin negatifine eşittir.
2
Temel haldeki (n=1n=1) toplam enerjiyi belirlemek.
En=−Ryn2E_n = -\frac{R_y}{n^2} ba��ıntısı gereği, E1=4E2=−2mv2E_1 = 4 E_2 = -2mv^2 olur.
Toplam enerji, baş kuantum sayısının karesi ile ters orantılıdır.
3
Elektronun n=2n=2 seviyesinden n=1n=1 seviyesine geçişinde salınan fotonun enerjisini hesaplamak.
Ef=E2−E1=−12mv2−(−2mv2)=32mv2E_f = E_2 - E_1 = -\frac{1}{2}mv^2 - (-2mv^2) = \frac{3}{2}mv^2 olur.
Salınan fotonun enerjisi, elektronun ilk ve son durumdaki toplam enerjileri arasındaki farka eşittir.
4
Salınan fotonun dalga boyunu λf\lambda_f cinsinden yazmak.
λf=hcEf=2hc3mv2\lambda_f = \frac{hc}{E_f} = \frac{2hc}{3mv^2} elde edilir.
Foton enerjisi ile dalga boyu arasındaki ilişki Planck-Einstein bağıntısı ile açıklanır.
5
Elektronun n=2n=2 düzeyindeki de Broglie dalga boyunu λe\lambda_e cinsinden yazıp oranlamak.
λe=hmv\lambda_e = \frac{h}{mv} olup, oran λfλe=2c3v\frac{\lambda_f}{\lambda_e} = \frac{2c}{3v} bulunur.
Elektronun de Broglie dalga boyu momentumu ile ters orantılıdır. İki dalga boyunun birbirine oranlanmasıyla istenen sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bohr yörünge mekaniği ile de Broglie dalga boyu ve foton dalga boyu bağıntılarının birleştirilmesi
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2Soru →

Çizgisel momentumunun büyüklü��ü pp olan bir elektronun de Broglie dalga boyu λ\lambda olarak ölçülmektedir.

Buna göre, çizgisel momentumunun büyüklüğü 3p3p olan bir protonun de Broglie dalga boyu kaç λ\lambda olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13\frac{1}{3}

Cevap

Momentum büyüklüğü üç katına çıkarılan parçacığın de Broglie dalga boyu üçte birine iner, yani dalga boyu bir bölü üç lambda olur.
De Broglie hipotezine göre hareket halindeki taneciklere eşlik eden dalga boyu, Planck sabitinin çizgisel momentum büyüklüğüne oranı ile bulunur. Dolayısıyla çizgisel momentumun büyüklüğü üç katına çıkarıldığında dalga boyu üçte birine düşer.

Adım Adım Çözüm

1
De Broglie dalga boyu formülünü yazın.
λ=hp\lambda = \frac{h}{p} formülü yazılır. Burada hh Planck sabiti, pp ise parçacığın çizgisel momentumunun büyüklüğüdür.
Parçacığın dalga boyu ile çizgisel momentumu arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Yeni momentum değeri için dalga boyunu hesaplayın.
Momentum 3p3p olduğunda yeni dalga boyu λ′=h3p=13(hp)=λ3\lambda' = \frac{h}{3p} = \frac{1}{3} \left(\frac{h}{p}\right) = \frac{\lambda}{3} olur.
Planck sabiti sabit olduğundan, de Broglie dalga boyunun çizgisel momentumun büyüklüğü ile ters orantılı olduğunu göstermek için.

Anahtar Kavram

De Broglie dalga boyu, hareket halindeki parçacıklara eşlik eden dalganın boyudur ve parçacığın çizgisel momentum büyüklüğü ile ters orantılıdır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3Soru →

Bir fotoelektrik olay deneyinde, eşik frekansı f0f_0 olan bir metal yüzeye 3f3f frekanslı ışık gönderildiğinde yüzeyden sökülen maksimum kinetik enerjili elektronlara eşlik eden de Broglie dalga boyu λ\lambda olarak ölçülmektedir. Aynı metal yüzeye 6f6f frekanslı ışık gönderildiğinde ise sökülen maksimum kinetik enerjili elektronlara eşlik eden de Broglie dalga boyu λ2\frac{\lambda}{2} olmaktadır.

Buna göre, metalin eşik frekansı f0f_0 kaç ff'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Metalin eşik frekansı 2f2f'dir.
Doğru cevap olan 2f2f seçeneği, de Broglie dalga boyu ile kinetik enerji arasındaki karesel ters orantı (Ek∝1λ2E_k \propto \frac{1}{\lambda^2}) kullanılarak elde edilir. Dalga boyu λ\lambda'dan λ2\frac{\lambda}{2}'ye düştüğünde, elektronların maksimum kinetik enerjisi EE'den 4E4E'ye çıkar. Fotoelektrik denklemleri 3hf=hf0+E3hf = hf_0 + E ve 6hf=hf0+4E6hf = hf_0 + 4E şeklinde kurulup çözüldüğünde eşik frekansı f0=2ff_0 = 2f olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
De Broglie dalga boyu ile elektronun çizgisel momentumu arasındaki ilişkiyi yazalım.
λ=hp⇒p=hλ\lambda = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{h}{\lambda}
Kinetik enerji ile momentum ilişkisini kurmak için momentumu dalga boyu cinsinden ifade etmeliyiz.
2
Elektronun kinetik enerjisi (EkE_k) ile de Broglie dalga boyu (λ\lambda) arasındaki ilişkiyi türetelim.
Ek=p22m=h22mλ2E_k = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2} yani Ek∝1λ2E_k \propto \frac{1}{\lambda^2}
Dalga boyundaki değişimin elektronların kinetik enerjisini nasıl etkilediğini belirlemek için bu karesel ilişkiyi kullanmalıyız.
3
İlk durum ve ikinci durum için fotoelektronların maksimum kinetik enerjilerini (Ek1E_{k1} ve Ek2E_{k2}) dalga boyları cinsinden oranlayalım.
Ek1=EE_{k1} = E ise, dalga boyu yarıya indiğinde (λ2\frac{\lambda}{2}) kinetik enerji Ek2=4EE_{k2} = 4E olur.
Dalga boyunun yarıya inmesi (λ→λ2\lambda \rightarrow \frac{\lambda}{2}), momentumun iki katına, kinetik enerjinin ise karesiyle orantılı olarak dört katına çıkmasına neden olur.
4
Einstein'ın fotoelektrik denklemini her iki durum için yazarak ortak çözüm yapalım.
3hf=hf0+E3hf = hf_0 + E ve 6hf=hf0+4E6hf = hf_0 + 4E. İkinci denklemde EE yerine 3hf−hf03hf - hf_0 yazarsak: 6hf=hf0+4(3hf−hf0)⇒6hf=hf0+12hf−4hf0⇒3hf0=6hf⇒f0=2f6hf = hf_0 + 4(3hf - hf_0) \Rightarrow 6hf = hf_0 + 12hf - 4hf_0 \Rightarrow 3hf_0 = 6hf \Rightarrow f_0 = 2f elde edilir.
Gelen fotonların enerjisinin metalin eşik enerjisi ile kopan elektronların maksimum kinetik enerjisinin toplamına eşit olması (Efoton=Eesik+EkE_{foton} = E_{esik} + E_k) ilkesini uygulayarak bilinmeyen eşik frekansını buluruz.

Anahtar Kavram

De Broglie dalga boyu ile kinetik enerji arasındaki karesel ilişki (Ek∝1λ2E_k \propto \frac{1}{\lambda^2}) ve bu ilişkinin fotoelektrik olaydaki enerji korunumu denklemi (Efoton=E0+EkE_{foton} = E_0 + E_k) ile birleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

Dalga boyunun yarıya inmesi çizgisel momentumun iki katına çıkması anlamına gelir (p2=2p1p_2 = 2p_1). Kinetik enerji Ek=p22mE_k = \frac{p^2}{2m} olduğundan momentum iki katına çıktığında kinetik enerji 22=42^2 = 4 katına çıkar. Buradan Ek2=4Ek1E_{k2} = 4E_{k1} yazılarak fotoelektrik denklemleri kurulup doğrudan oranlanabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 4Soru →

Kütleleri sırasıyla 2m2m ve 3m3m olan KK ve LL taneciklerinin kinetik enerjileri sırasıyla 8E8E ve 3E3E olarak ölçülmüştür.

Buna göre, bu taneciklere eşlik eden de Broglie dalga boylarının oranı λKλL\frac{\lambda_K}{\lambda_L} kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34\frac{3}{4}

Cevap

K ve L taneciklerinin de Broglie dalga boylarının oranı 3/4'tür.
De Broglie dalga boyunun kinetik enerjiyle olan ilişkisi λ=h2mE\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}} bağıntısı ile verilir. KK taneciğinin kütlesi 2m2m ve enerjisi 8E8E olduğundan payda kısmındaki kareköklü ifade 32mE\sqrt{32mE} ile orantılıdır. LL taneciği için kütle 3m3m ve enerji 3E3E olduğundan payda kısmı 18mE\sqrt{18mE} ile orantılıdır. Bu iki dalga boyu oranlandığında ters oran kuralından 1832=3242=3/4\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{32}} = \frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 3/4 oranı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
De Broglie dalga boyunun kinetik enerji (EE) ve kütle (mm) cinsinden ifadesini yazmak.
De Broglie dalga boyu λ=hp\lambda = \frac{h}{p} ve kinetik enerji E=p22mE = \frac{p^2}{2m} ilişkisinden çizgisel momentum p=2mEp = \sqrt{2mE} bulunur. Buradan de Broglie dalga boyu λ=h2mE\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}} olarak elde edilir.
Dalga boyunu doğrudan verilen kütle ve kinetik enerji değişkenleri cinsinden ifade edebilmek için.
2
KK taneciğine eşlik eden de Broglie dalga boyunu tanımlamak.
mK=2mm_K = 2m ve EK=8EE_K = 8E değerleri formülde yerine yazılırsa: λK=h2⋅(2m)⋅8E=h32mE=h42mE\lambda_K = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot (2m) \cdot 8E}} = \frac{h}{\sqrt{32mE}} = \frac{h}{4\sqrt{2mE}} olur.
KK taneciğinin dalga boyunun sayısal büyüklüğünü belirlemek için.
3
LL taneciğine eşlik eden de Broglie dalga boyunu tanımlamak.
mL=3mm_L = 3m ve EL=3EE_L = 3E değerleri formülde yerine yazılırsa: λL=h2⋅(3m)⋅3E=h18mE=h32mE\lambda_L = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot (3m) \cdot 3E}} = \frac{h}{\sqrt{18mE}} = \frac{h}{3\sqrt{2mE}} olur.
LL taneciğinin dalga boyunun sayısal büyüklüğünü belirlemek için.
4
İki dalga boyunun oranını hesaplamak.
λKλL=h42mEh32mE=34\frac{\lambda_K}{\lambda_L} = \frac{\frac{h}{4\sqrt{2mE}}}{\frac{h}{3\sqrt{2mE}}} = \frac{3}{4} bulunur.
KK ve LL taneciklerinin dalga boyları arasındaki oranı bulmak için.

Anahtar Kavram

De Broglie dalga boyu, taneciğin çizgisel momentumu ile ters orantılıdır. Çizgisel momentum ise kinetik enerji ve kütle çarpımının kareköküyle doğru orantılıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Boşlukta yayılmakta olan bir fotonun dalga boyu ile belirli bir hıza sahip bir elektronun de Broglie dalga boyu birbirine eşittir.

Buna göre;

I. Çizgisel momentumlarının büyüklüğü,
II. Hızlarının büyüklüğü,
III. Toplam enerjileri

niceliklerinden hangileri bu iki tanecik için kesinlikle birbirine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Dalga boyları eşit olan foton ve elektronun çizgisel momentum büyüklükleri birbirine eşittir.
de Broglie hipotezine göre hem elektromanyetik dalgalar (fotonlar) hem de maddesel parçacıklar için dalga boyu ile çizgisel momentum arasındaki ilişki λ=hp\lambda = \frac{h}{p} formülü ile verilir. Buradan p=hλp = \frac{h}{\lambda} elde edilir. Fotonun ve elektronun dalga boyları eşit (λf=λe=λ\lambda_{f} = \lambda_{e} = \lambda) olduğuna göre, çizgisel momentumlarının büyüklükleri de kesinlikle birbirine eşit olmak zorundadır. Bu nedenle birinci öncül doğrudur.

NicelikFotonElektron
Dalga Boyuλ\lambdaλ\lambda
Momentum Büyüklüğüp=hλp = \frac{h}{\lambda}p=hλp = \frac{h}{\lambda}
Hız Büyüklüğüccv<cv < c
Toplam EnerjiE=pcE = pcE=p2c2+m02c4E = \sqrt{p^2 c^2 + m_0^2 c^4}

Adım Adım Çözüm

1
Foton ve elektronun çizgisel momentumları arasındaki ilişkiyi de Broglie dalga boyu formülü yardımıyla analiz edin.
Her iki tanecik için de momentum büyüklüğü p=hλp = \frac{h}{\lambda} olup, dalga boyları eşit olduğundan momentumları kesinlikle eşittir (pf=pep_{f} = p_{e}).
de Broglie bağ��ntısı tüm tanecikler ve fotonlar için dalga boyu ile çizgisel momentumu ilişkilendirir.
2
Fotonun ve kütleli bir parçacık olan elektronun boşluktaki yayılma hızlarını karşılaştırın.
Foton ışık hızı (cc) ile yayılırken, elektron durgun kütleye sahip olduğundan hızı ışık hızından küçüktür (v<cv < c).
Kütleli hiçbir maddesel parçacık boşlukta ışık hızına ulaşamaz.
3
Görelilik teorisi veya kinetik enerji bağıntılarını kullanarak foton ve elektronun toplam enerjilerini karşılaştırın.
Fotonun enerjisi Ef=pcE_{f} = pc iken elektronun toplam enerjisi Ee=p2c2+m02c4E_{e} = \sqrt{p^2 c^2 + m_0^2 c^4} olup, elektronun durgun kütlesi sıfırdan farklı olduğu için Ee>EfE_{e} > E_{f} olur.
Kütleli parçacıkların toplam enerjisi, durgun kütle enerjisini de içerdiğinden aynı momentuma sahip kütlesiz fotondan daha büyüktür.

Anahtar Kavram

de Broglie dalga boyu bağıntısı ve dalga-tanecik ikiliğinde foton ile kütleli parçacıkların karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
De Broglie Dalga Boyu ve İkilik Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin