Examkin

Tekrarlı Permütasyon

22 soru

Tüm türler22Çoktan seçmeli12Sayısal10
Soru 21Soru →

Bir kimya laboratuvarındaki stantta yan yana dizilmek üzere 3 adet özdeş mavi kapaklı, 3 adet özdeş kırmızı kapaklı ve 1 adet yeşil kapaklı olmak üzere toplam 7 adet deney tüpü bulunmaktadır.

Yeşil kapaklı deney tüpü standın en solunda veya en sağında yer almamak şartıyla, bu 7 deney tüpü stantta yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Yeşil kapaklı deney tüpünün en sol veya en sağda yer almadığı toplam dizilim sayısı 100'dür.
Yeşil tüpün stantta yer alabileceği 7 konum vardır. En sol ve en sağdaki konumlar hariç tutulduğunda, yeşil tüpün yerleşebileceği 5 orta konum kalır. Yeşil tüp bu 5 konumdan birine yerleştirildikten sonra, kalan 6 konuma 3 özdeş mavi ve 3 özdeş kırmızı tüp 6!3!×3!=20\frac{6!}{3! \times 3!} = 20 farklı şekilde dizilebilir. Buradan toplam geçerli dizilim sayısı 5×20=1005 \times 20 = 100 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm tüplerin herhangi bir kısıtlama olmaksızın stanttaki toplam dizilim sayısı hesaplanır.
3 adet mavi, 3 adet kırmızı ve 1 adet yeşil tüpün toplam dizilim sayısı: 7!3!×3!×1!=140\frac{7!}{3! \times 3! \times 1!} = 140 olarak bulunur.
Kısıtlamasız tüm durumların sayısını elde etmek için tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.
2
Yeşil tüpün en solda veya en sağda yer aldığı (istenmeyen) durumların sayısı hesaplanır.
Yeşil tüp en solda olduğunda kalan 6 tüp 6!3!×3!=20\frac{6!}{3! \times 3!} = 20 farklı şekilde dizilir. Yeşil tüp en sağda olduğunda da aynı şekilde 20 farklı dizilim oluşur. İstenmeyen toplam durum sayısı 20+20=4020 + 20 = 40 olur.
Yeşil tüpün uçlarda olma durumları kısıtlamaya uymayan durumları oluşturur.
3
Toplam dizilim sayısından istenmeyen durumların sayısı çıkarılarak geçerli dizilim sayısı bulunur.
140−40=100140 - 40 = 100 geçerli dizilim elde edilir.
İstenen durum sayısı, tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon
Soru 22Soru →

Bir spor salonunun dambıl standında yan yana bulunan 7 boş bölmeye; renkleri dışında özdeş olan 3 siyah, 2 gri ve 2 kırmızı dambıl yerleştirilecektir.

Kırmızı dambılların yan yana gelmemesi şartıyla, bu dambıllar standa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Dambılların kırmızı olanlarının yan yana gelmediği toplam dizilim sayısı 150'dir.
Kırmızı dambılların yan yana gelmediği dizilimlerin sayısını bulmak için tüm dizilimlerin sayısından, kırmızı dambılların yan yana olduğu dizilimlerin sayısı çıkarılır. Tüm dizilimlerin sayısı 210, kırmızı dambılların yan yana olduğu durumların sayısı ise 60 olduğundan, aralarındaki fark 150 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Herhangi bir kısıtlama olmadan tüm olası dizilimlerin sayısını tekrarlı permütasyon formülüyle hesaplayalım.
Toplam dambıl sayısı 7'dir (3 siyah, 2 gri, 2 kırmızı). Tüm dizilimlerin sayısı: 7!3!⋅2!⋅2!=50406⋅2⋅2=210\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = 210 olarak bulunur.
Kısıtlamasız durumların tamamını belirlemek için.
2
Kırmızı dambılların yan yana olduğu (istenmeyen) dizilimlerin sayısını hesaplayalım.
2 kırmızı dambıl yan yana olacağından bunları tek bir paket (KK) gibi düşünelim. Bu durumda dizilecek elemanlar: 3 siyah, 2 gri ve 1 paket (KK) olmak üzere toplam 6 elemandır. Bu elemanların dizilim sayısı: 6!3!⋅2!⋅1!=7206⋅2=60\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2} = 60 olarak bulunur.
İstenmeyen durumların sayısını tüm durumlardan çıkarmak amacıyla hesaplamak için.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak istenen koşula uygun dizilim sayısını bulalım.
210−60=150210 - 60 = 150 dizilim elde edilir.
Kırmızı dambılların yan yana gelmediği durum sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyonda belirli elemanların yan yana gelmediği durumları bulmak için tüm durumlardan yan yana oldukları durumlar çıkarılır.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak boşluk (gap) metodu kullanılabilir. Önce 3 siyah ve 2 gri dambıl yan yana dizilir. Bu dambıllar özdeş olduğundan dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur. Bu 5 dambılın arasında ve uçlarında toplam 6 boş yer oluşur (_ D1 _ D2 _ D3 _ D4 _ D5 _). Kırmızı dambılların yan yana gelmemesi için bu 6 boşluktan 2 tanesi seçilir. Seçim sayısı (62)=15\binom{6}{2} = 15 olur. Kırmızı dambıllar özdeş olduğundan yerleştirme tek şekilde yapılır. Buradan toplam durum sayısı 10×15=15010 \times 15 = 150 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Tekrarlı Permütasyon Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin