Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTekrarlı Permütasyon

Bir spor salonunun dambıl standında yan yana bulunan 7 boş bölmeye; renkleri dışında özdeş olan 3 siyah, 2 gri ve 2 kırmızı dambıl yerleştirilecektir.

Kırmızı dambılların yan yana gelmemesi şartıyla, bu dambıllar standa kaç farklı şekilde dizilebilir?

  1. A
    90
  2. B
    120
  3. 150Cevap
  4. D
    180
  5. E
    210

Cevap

Dambılların kırmızı olanlarının yan yana gelmediği toplam dizilim sayısı 150'dir.
Kırmızı dambılların yan yana gelmediği dizilimlerin sayısını bulmak için tüm dizilimlerin sayısından, kırmızı dambılların yan yana olduğu dizilimlerin sayısı çıkarılır. Tüm dizilimlerin sayısı 210, kırmızı dambılların yan yana olduğu durumların sayısı ise 60 olduğundan, aralarındaki fark 150 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Herhangi bir kısıtlama olmadan tüm olası dizilimlerin sayısını tekrarlı permütasyon formülüyle hesaplayalım.
Toplam dambıl sayısı 7'dir (3 siyah, 2 gri, 2 kırmızı). Tüm dizilimlerin sayısı: 7!3!⋅2!⋅2!=50406⋅2⋅2=210\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = 210 olarak bulunur.
Kısıtlamasız durumların tamamını belirlemek için.
2
Kırmızı dambılların yan yana olduğu (istenmeyen) dizilimlerin sayısını hesaplayalım.
2 kırmızı dambıl yan yana olacağından bunları tek bir paket (KK) gibi düşünelim. Bu durumda dizilecek elemanlar: 3 siyah, 2 gri ve 1 paket (KK) olmak üzere toplam 6 elemandır. Bu elemanların dizilim sayısı: 6!3!⋅2!⋅1!=7206⋅2=60\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2} = 60 olarak bulunur.
İstenmeyen durumların sayısını tüm durumlardan çıkarmak amacıyla hesaplamak için.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak istenen koşula uygun dizilim sayısını bulalım.
210−60=150210 - 60 = 150 dizilim elde edilir.
Kırmızı dambılların yan yana gelmediği durum sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyonda belirli elemanların yan yana gelmediği durumları bulmak için tüm durumlardan yan yana oldukları durumlar çıkarılır.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak boşluk (gap) metodu kullanılabilir. Önce 3 siyah ve 2 gri dambıl yan yana dizilir. Bu dambıllar özdeş olduğundan dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur. Bu 5 dambılın arasında ve uçlarında toplam 6 boş yer oluşur (_ D1 _ D2 _ D3 _ D4 _ D5 _). Kırmızı dambılların yan yana gelmemesi için bu 6 boşluktan 2 tanesi seçilir. Seçim sayısı (62)=15\binom{6}{2} = 15 olur. Kırmızı dambıllar özdeş olduğundan yerleştirme tek şekilde yapılır. Buradan toplam durum sayısı 10×15=15010 \times 15 = 150 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru