Examkin

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

24 soru

Tüm türler24Çoktan seçmeli12Sayısal12
Soru 21Soru →
arcsin⁡(x)=arccot(23x)\arcsin(x) = \text{arccot}(2\sqrt{3}x)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Bir bölü iki
Denklemi sağlayan değer bulunurken, ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları (arcsin için [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] ve arccot için (0,π)(0, \pi)) dikkate alınmalıdır. Eşitliğin sağlanabilmesi için ortak değer aralığından dolayı her iki taraf da pozitif bir açıya eşit olmalıdır. Bu durum x>0x > 0 olmasını gerektirir. Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak elde edilen 12x4+x2−1=012x^4 + x^2 - 1 = 0 denkleminden x2=1/4x^2 = 1/4 bulunur. x>0x > 0 koşulunu sağlayan tek kök bir bölü iki değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafını bir θ\theta açısına eşitleyip ters trigonometrik fonksiyonların değer kümelerini incelemek.
θ=arcsin⁡(x)=arccot(23x)\theta = \arcsin(x) = \text{arccot}(2\sqrt{3}x)

Burada arcsin⁡(x)∈[−π/2,π/2]\arcsin(x) \in [-\pi/2, \pi/2] ve arccot(23x)∈(0,π)\text{arccot}(2\sqrt{3}x) \in (0, \pi) olduğundan, eşitliğin sağlanması için ortak değer aralığı θ∈(0,π/2]\theta \in (0, \pi/2] olmalıdır. Bu durum sin⁡(θ)=x>0\sin(\theta) = x > 0 olmasını gerektirir.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımlı oldukları değer aralıkları, bulunacak köklerin işaretini ve geçerliliğini belirler.
2
Trigonometrik tanımları kullanarak cos⁡(θ)\cos(\theta) ifadesini xx cinsinden yazmak.
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x

cot⁡(θ)=23x\cot(\theta) = 2\sqrt{3}x

cos⁡(θ)=cot⁡(θ)⋅sin⁡(θ)=(23x)⋅x=23x2\cos(\theta) = \cot(\theta) \cdot \sin(\theta) = (2\sqrt{3}x) \cdot x = 2\sqrt{3}x^2
Temel trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak tüm ifadeleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
3
sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 temel kimliğini uygulamak ve xx değişkenine bağlı denklemi elde etmek.
x2+(23x2)2=1x^2 + (2\sqrt{3}x^2)^2 = 1

12x4+x2−1=012x^4 + x^2 - 1 = 0
Sinüs ve kosinüs arasındaki temel Pisagor özdeşliğini kullanarak cebirsel bir denklem kurmak.
4
t=x2t = x^2 dönüşümü yaparak elde edilen ikinci dereceden denklemi çözmek.
12t2+t−1=0  ⟹  (4t−1)(3t+1)=012t^2 + t - 1 = 0 \implies (4t - 1)(3t + 1) = 0

Burada t≥0t \ge 0 olması gerektiğinden t=14t = \frac{1}{4} bulunur. Buradan x2=14x^2 = \frac{1}{4} elde edilir.
Dördüncü dereceden bir denklemi, değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denkleme indirgeyerek çarpanlarına ayırmak.
5
x2=14x^2 = \frac{1}{4} denkleminin köklerini bulmak ve tanım aralığına uygun olan kökü seçmek.
x=12x = \frac{1}{2} veya x=−12x = -\frac{1}{2}

İlk adımda belirlenen x>0x > 0 koşulu nedeniyle yalnızca x=12x = \frac{1}{2} değeri çözümdür.
Bulunan cebirsel köklerin, başlangıçtaki ters trigonometrik fonksiyon tanım ve değer aralıklarına uygunluğunu denetlemek.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümeleri ile temel trigonometrik özdeşlikler arasındaki ilişki.
Soru 22Soru →
cos⁡(arcsin⁡(x)−arctan⁡(2))=255\cos\left(\arcsin(x) - \arctan(2)\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5} denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.6

Cevap

Denklemi sağlayan köklerin toplamı 1.6'dır.
Verilen denklemde ters trigonometrik fonksiyonlar açı dönüşümleriyle basitleştirilip kosinüs fark formülü uygulandığında 1−x2=2−2x\sqrt{1-x^2} = 2 - 2x cebirsel denklemine ulaşılır. Bu denklemin çözümü için x≤1x \le 1 şartı altında karesi alındığında 5x2−8x+3=05x^2 - 8x + 3 = 0 elde edilir. Çözüm kümesi {1,0.6}\{1, 0.6\} olup her iki değer de tanımlı aralıktadır. Bu köklerin toplamı 1.61.6 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yapılması
arcsin⁡(x)=a  ⟹  sin⁡(a)=x\arcsin(x) = a \implies \sin(a) = x ve arctan⁡(2)=b  ⟹  tan⁡(b)=2\arctan(2) = b \implies \tan(b) = 2
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlenebilir açılara dönüştürmek için.
2
Açıların diğer trigonometrik değerlerinin bulunması
cos⁡(a)=1−x2\cos(a) = \sqrt{1-x^2}, sin⁡(b)=25\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}} ve cos⁡(b)=15\cos(b) = \frac{1}{\sqrt{5}}
Kosinüs fark formülünde kullanılacak bileşenleri elde etmek için.
3
Kosinüs fark formülünün uygulanması
cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)=25\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}}
Verilen cos⁡(a−b)\cos(a-b) ifadesini açıp değeriyle eşitlemek için.
4
Cebirsel ifadenin sadeleştirilmesi ve denklemin kurulması
1−x2+2x=2  ⟹  1−x2=2−2x\sqrt{1-x^2} + 2x = 2 \implies \sqrt{1-x^2} = 2 - 2x
Kökleri bulabilmek amacıyla denklemi tek bir kareköklü ifadeye indirgemek için.
5
Karesinin alınması ve köklerin belirlenmesi
x1=1x_1 = 1 ve x2=0.6x_2 = 0.6 kökleri bulunur. Köklerin toplamı 1+0.6=1.61 + 0.6 = 1.6 elde edilir.
İkinci dereceden denklemi çözüp koşullara uygun kökleri toplamak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları ile toplam-fark formüllerinin birlikte uygulanması.
Soru 23Soru →
tan⁡(12arccos⁡(−35))\tan\left(\frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İfadenin doğru değeri 22 olmalıdır.
Verilen ifade θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) olarak tanımlandığında, arccos⁡\arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan θ\theta açısı ikinci bölgededir ve cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} olur. Bu açının yarısı olan θ2\frac{\theta}{2} ise birinci bölgede yer alır ve tanjant değeri pozitif olmalıdır. Yarım açı formülü tan⁡2(θ2)=1−cos⁡(θ)1+cos⁡(θ)=1−(−3/5)1+(−3/5)=4\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)} = \frac{1 - (-3/5)}{1 + (-3/5)} = 4 şeklinde işletildiğinde, karekök alındıktan sonra bölge gereği pozitif olan 22 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters kosinüs fonksiyonunun açısını bir değişkene atayarak değer aralığını belirlemek.
θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) olsun. arccos⁡\arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan, cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} eşitliğini sağlayan θ\theta açısı ikinci bölgededir (θ∈(π2,π)\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)).
Ters trigonometrik fonksiyonların temel değer aralıklarına göre açının hangi bölgede olduğunu tespit etmek, işlem yönünü belirlemek için ilk adımdır.
2
Yarım açının bulunduğu bölgeyi ve trigonometrik işaretini analiz etmek.
θ\theta açısı (π2,π)(\frac{\pi}{2}, \pi) aralığında olduğundan, yarım açı olan θ2\frac{\theta}{2} açısı (π4,π2)(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) aralığında, yani birinci bölgede yer alır. Birinci bölgedeki tüm açılar için tanjant değeri pozitif olduğundan tan⁡(θ2)>0\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0 olmalıdır.
Yarım açının tanjant değerinin işaretini doğru saptamak, karekök dışına çıkacak değerin artı veya eksi olacağını belirler.
3
Yarım açı formülü kullanarak tanjant değerini hesaplamak.
tan⁡2(θ2)=1−cos⁡(θ)1+cos⁡(θ)\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)} formülünden yararlanılarak, tan⁡2(θ2)=1−(−35)1+(−35)=8/52/5=4\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{8/5}{2/5} = 4 elde edilir. tan⁡(θ2)>0\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0 olduğu için tan⁡(θ2)=2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 bulunur.
Yarım açının tanjant karesini bulup, bölge analizinden elde edilen pozitif kökü seçerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters kosinüs fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığı ile sınırlıdır. Negatif girdiler için bu açı ikinci bölgededir. İkinci bölgedeki bir açının yarısı birinci bölgeye düşer ve birinci bölgede tanjant pozitiftir.

Alternatif Yöntem

Bütünler açı yardımıyla dik üçgen çizerek çözmek için: θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) ise cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} ve θ\theta bir geniş açıdır. Bu açının bütünleri α=π−θ\alpha = \pi - \theta olsun, böylece cos⁡(α)=35\cos(\alpha) = \frac{3}{5} olur. Kenarları 3-4-5 olan bir dik üçgen çizelim (komşu kenar 3, karşı kenar 4). Komşu kenarı hipotenüs uzunluğu kadar (5 birim) dışarıya doğru uzatarak yeni bir dik üçgen oluşturduğumuzda, oluşan yeni açının tanjantı tan⁡(α2)=43+5=12\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{4}{3+5} = \frac{1}{2} olur. θ2=π2−α2\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} olduğundan, tan⁡(θ2)=tan⁡(π2−α2)=cot⁡(α2)=1tan⁡(α/2)=2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\tan(\alpha/2)} = 2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=arcsin⁡(2x−75)+arccot(116−x2)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x - 7}{5}\right) + \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun her iki teriminin tanımlılık şartları kesiştirildiğinde elde edilen tanım kümesi [1,4)[1, 4) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların (1, 2, 3) toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin fonksiyonunun tanımlılık şartının uygulanması
1≤x≤61 \le x \le 6
arcsin⁡(u)\arcsin(u) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır. −1≤2x−75≤1⇒−5≤2x−7≤5⇒2≤2x≤12⇒1≤x≤6-1 \le \frac{2x-7}{5} \le 1 \Rightarrow -5 \le 2x - 7 \le 5 \Rightarrow 2 \le 2x \le 12 \Rightarrow 1 \le x \le 6 elde edilir.
2
Köklü ve rasyonel ifadenin tanımlılık şartının uygulanması
−4<x<4-4 < x < 4
Paydadaki kareköklü ifadenin tanımlı olması ve tanımsızlık yaratmaması için kök içinin sıfırdan kesinlikle büyük olması gerekir: 16−x2>0⇒x2<16⇒−4<x<416 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 elde edilir.
3
Tanım kümelerinin kesişiminin bulunması
[1,4)[1, 4)
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu nedenle elde edilen aralıkların kesişimi alınır: [1,6]∩(−4,4)=[1,4)[1, 6] \cap (-4, 4) = [1, 4).
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplanması
6
[1,4)[1, 4) yarı açık aralığındaki tam sayı değerleri 1, 2 ve 3'tür. Bu değerlerin toplamı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 yapar.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım kümelerinin bulunması ve kesişim mantığı
ÖncekiSayfa 2 / 2
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin