\cos\left(\arcsin(x) - \arctan(2)\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5} denklemini sağlayan x gerçe… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\cos\left(\arcsin(x) - \arctan(2)\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5}

denklemini sağlayan

x

gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 1.6

Denklemi sağlayan köklerin toplamı 1.6'dır.

Verilen denklemde ters trigonometrik fonksiyonlar açı dönüşümleriyle basitleştirilip kosinüs fark formülü uygulandığında

\sqrt{1-x^2} = 2 - 2x

cebirsel denklemine ulaşılır. Bu denklemin çözümü için

x \le 1

şartı altında karesi alındığında

5x^2 - 8x + 3 = 0

elde edilir. Çözüm kümesi

\{1, 0.6\}

olup her iki değer de tanımlı aralıktadır. Bu köklerin toplamı

1.6

yapmaktadır.

Değişken dönüşümü yapılması

\arcsin(x) = a \implies \sin(a) = x

\arctan(2) = b \implies \tan(b) = 2

Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlenebilir açılara dönüştürmek için.

Açıların diğer trigonometrik değerlerinin bulunması

\cos(a) = \sqrt{1-x^2}

\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}}

\cos(b) = \frac{1}{\sqrt{5}}

Kosinüs fark formülünde kullanılacak bileşenleri elde etmek için.

Kosinüs fark formülünün uygulanması

\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}}

Verilen

\cos(a-b)

ifadesini açıp değeriyle eşitlemek için.

Cebirsel ifadenin sadeleştirilmesi ve denklemin kurulması

\sqrt{1-x^2} + 2x = 2 \implies \sqrt{1-x^2} = 2 - 2x

Kökleri bulabilmek amacıyla denklemi tek bir kareköklü ifadeye indirgemek için.

Karesinin alınması ve köklerin belirlenmesi

x_1 = 1

x_2 = 0.6

kökleri bulunur. Köklerin toplamı

1 + 0.6 = 1.6

elde edilir.

İkinci dereceden denklemi çözüp koşullara uygun kökleri toplamak için.

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları ile toplam-fark formüllerinin birlikte uygulanması.

Soru