Examkin

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

24 soru

Tüm türler24Çoktan seçmeli12Sayısal12
Soru 1Soru →
cos⁡(arcsin⁡(−12))\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{\sqrt{3}}{2}

Cevap

32\frac{\sqrt{3}}{2}
Ters sinüs fonksiyonunun değer aralığı [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] olduğundan arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} olur. Bu değer dıştaki kosinüs fonksiyonuna yazıldığında cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters sinüs fonksiyonunun değer kümesini belirleme
−π2≤arcsin⁡(x)≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(x) \leq \frac{\pi}{2}
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun çıktısı [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] aralığında olmalıdır.
2
arcsin⁡(−12)\arcsin(-\frac{1}{2}) ifadesinin değerini bulma
−π6-\frac{\pi}{6}
sin⁡(−π6)=−12\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} olduğundan ve bu değer [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] aralığında kaldığından aranan açı −π6-\frac{\pi}{6} (veya −30∘-30^\circ) olur.
3
cos⁡(−π6)\cos(-\frac{\pi}{6}) değerini hesaplama
32\frac{\sqrt{3}}{2}
Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon özelliği (cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x)) kullanılarak cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda değer kümesi sınırları ve kosinüs çift fonksiyon özelliği.
Soru 2Soru →

arctan⁡(x−2)=π4\arctan(x - 2) = \frac{\pi}{4} olduğuna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemi sağlayan xx değeri 3'tür.
Ters tanjant fonksiyonunun tanımı gereği arctan⁡(x−2)=π4\arctan(x - 2) = \frac{\pi}{4} ifadesi x−2=tan⁡(π4)x - 2 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) eşitliğine denktir. tan⁡(π4)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 olduğu bilindiğinden, x−2=1x - 2 = 1 denkleminden x=3x = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters tanjant fonksiyonunun tanımını uygulayarak denklemi tanjant fonksiyonu cinsinden ifade edin.
x−2=tan⁡(π4)x - 2 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)
arctan⁡(u)=v  ⟺  tan⁡(v)=u\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u temel tanımı gereğidir.
2
Bilinen özel açının tanjant değerini denklemde yerine yazın.
x−2=1x - 2 = 1
π4\frac{\pi}{4} radyanlık (45∘45^\circ) açının tanjant değeri 1'e eşittir.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek bilinmeyeni yalnız bırakın.
x=3x = 3
x−2=1x - 2 = 1 denkleminde −2-2 eşitliğin karşı tarafına +2+2 olarak geçirilerek xx değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı
Soru 3Soru →
f(x)=arcsin⁡(2x1+x2)+arccos⁡(1−x21+x2)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

3π[f(2−3)+f(3)]\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right]

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sayısal değeri 4'tür.
Tanım ve değer aralıklarına dikkat edilerek yapılan hesaplamalarda, f(2−3)=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} ve f(3)=πf(\sqrt{3}) = \pi olarak bulunur. Bu değerlerin toplamının 3π\frac{3}{\pi} katı alındığında sonuç 4 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
x=2−3x = 2-\sqrt{3} değerini 2x1+x2\frac{2x}{1+x^2} ve 1−x21+x2\frac{1-x^2}{1+x^2} ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.
x2=(2−3)2=7−43x^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 7-4\sqrt{3}

2x1+x2=2(2−3)1+7−43=4−238−43=12\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{1+7-4\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}

1−x21+x2=1−(7−43)8−43=−6+438−43=23(2−3)4(2−3)=32\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-(7-4\sqrt{3})}{8-4\sqrt{3}} = \frac{-6+4\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Ters trigonometrik fonksiyonların içindeki cebirsel argümanları hesaplamak için.
2
f(2−3)f(2-\sqrt{3}) değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirelim.
f(2−3)=arcsin⁡(12)+arccos⁡(32)f(2-\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

arcsin⁡(12)=π6vearccos⁡(32)=π6\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{ve} \quad \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}

f(2−3)=π6+π6=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}
arcsin⁡\arcsin ve arccos⁡\arccos fonksiyonlarının [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] ve [0,π][0, \pi] değer aralıklarındaki karşılıklarını bulmak için.
3
x=3x = \sqrt{3} değerini 2x1+x2\frac{2x}{1+x^2} ve 1−x21+x2\frac{1-x^2}{1+x^2} ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.
2x1+x2=231+3=32\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2\sqrt{3}}{1+3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

1−x21+x2=1−31+3=−12\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-3}{1+3} = -\frac{1}{2}
x=3x = \sqrt{3} noktası için fonksiyonun argümanlarını belirlemek için.
4
f(3)f(\sqrt{3}) değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirip ters trigonometrik fonksiyonların temel değer aralıklarına göre hesaplayalım.
f(3)=arcsin⁡(32)+arccos⁡(−12)f(\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)

arcsin⁡(32)=π3\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}

arccos⁡(−12)=π−π3=2π3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

f(3)=π3+2π3=πf(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi
arccos⁡(y)\arccos(y) fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan, kosinüsü −1/2-1/2 olan açı 2π3\frac{2\pi}{3} olmalıdır.
5
Elde edilen f(2−3)=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} ve f(3)=πf(\sqrt{3}) = \pi değerlerini ana ifadede yerine koyalım.
3π[f(2−3)+f(3)]=3π(π3+π)=3π⋅4π3=4\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right] = \frac{3}{\pi} \left( \frac{\pi}{3} + \pi \right) = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{3} = 4
İstenen cebirsel ifadenin nihai sayısal sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları (özellikle arccos⁡\arccos ve arcsin⁡\arcsin sınırları)
Soru 4Soru →
f(x)=arcsin⁡(2x−3)f(x) = \arcsin(2x - 3)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,2][1, 2]

Cevap

[1,2][1, 2] aralığı
Ters sinüs fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının [−1,1][-1, 1] kapalı aralığında yer alması gerekir. Bu kurala göre oluşturulan −1≤2x−3≤1-1 \le 2x - 3 \le 1 eşitsizliği çözüldüğünde 1≤x≤21 \le x \le 2 elde edilir ve bu da [1,2][1, 2] aralığına karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin fonksiyonunun tanım aralığını belirleme.
f(x)=arcsin⁡(u)f(x) = \arcsin(u) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır. Bu soruda u=2x−3u = 2x - 3 olduğundan −1≤2x−3≤1-1 \le 2x - 3 \le 1 elde edilir.
arcsin fonksiyonu, sinüs fonksiyonunun [−1,1][-1, 1] aralığındaki değerlerine karşılık gelen açıları bulduğu için tanım kümesi [−1,1][-1, 1] ile sınırlıdır.
2
Elde edilen eşitsizliği çözerek xx değişkenini yalnız bırakma.
−1≤2x−3≤1-1 \le 2x - 3 \le 1 eşitsizliğinde her tarafa 3 eklenirse 2≤2x≤42 \le 2x \le 4 elde edilir. Ardından her taraf 2'ye bölünürse 1≤x≤21 \le x \le 2 bulunur.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için xx değişkeninin alabileceği değer aralığı elde edilmelidir.

Anahtar Kavram

Ters sinüs (arcsin) fonksiyonunun tanım kümesi [−1,1][-1, 1] aralığıdır. Bir f(x)=arcsin⁡(g(x))f(x) = \arcsin(g(x)) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak için −1≤g(x)≤1-1 \le g(x) \le 1 eşitsizliği çözülür.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 5Soru →
f(x)=arctan⁡(1x2+x+1)f(x) = \arctan\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right)

olmak üzere,

tan⁡(f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(20))\tan\big(f(1) + f(2) + f(3) + \dots + f(20)\big)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1011\frac{10}{11}

Cevap

Doğru cevap olan 10/11 değeri, teleskopik toplam ve tanjant fark formülünün doğru uygulanması ile elde edilir.
Doğru cevap olan 10/11 değeri, genel terimin fark biçiminde yazılmasıyla elde edilen teleskopik toplamın sonucuna tanjant fark formülünün doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimin paydasındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak düzenleyin.
1x2+x+1=(x+1)−x1+x(x+1)\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{(x+1) - x}{1 + x(x+1)}
Ters tanjant fark formülüne benzetmek amacıyla ifadeyi bu şekilde düzenliyoruz.
2
arctan⁡(a−b1+ab)=arctan⁡(a)−arctan⁡(b)\arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right) = \arctan(a) - \arctan(b) özdeşliğini genel terime uygulayın.
f(x)=arctan⁡(x+1)−arctan⁡(x)f(x) = \arctan(x+1) - \arctan(x)
Fonksiyonu ardışık iki terimin farkı biçiminde yazarak teleskopik toplam elde etmek hedeflenmiştir.
3
x=1x = 1'den x=20x = 20'ye kadar olan terimleri yazarak toplayın.
T=f(1)+f(2)+⋯+f(20)=arctan⁡(21)−arctan⁡(1)T = f(1) + f(2) + \dots + f(20) = \arctan(21) - \arctan(1)
Ara terimlerin birbirini sadeleştirmesi sayesinde toplamın sade hali bulunur.
4
tan⁡(T)=tan⁡(arctan⁡(21)−arctan⁡(1))\tan(T) = \tan(\arctan(21) - \arctan(1)) ifadesini hesaplamak için tanjant fark formülünü uygulayın.
tan⁡(T)=21−11+21⋅1=2022=1011\tan(T) = \frac{21 - 1}{1 + 21 \cdot 1} = \frac{20}{22} = \frac{10}{11}
tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} formülü kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ve Trigonometrik Özdeşlikler
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 6Soru →
θ=arcsin⁡(−513)\theta = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right) olduğuna göre, 13⋅cos⁡θ13 \cdot \cos\theta ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Ters sinüsün tanımından sin⁡θ=−5/13\sin\theta = -5/13 elde edilir. Değer aralığı [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] olduğundan açı dördüncü bölgededir. Dördüncü bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡θ=12/13\cos\theta = 12/13 olur. Dolayısıyla 13⋅cos⁡θ=1213 \cdot \cos\theta = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyon tanımından açının sinüs değerini bulma
sin⁡θ=−513\sin\theta = -\frac{5}{13} ve θ∈[−π2,π2]\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arcsin⁡(x)=y  ⟺  sin⁡(y)=x\arcsin(x) = y \iff \sin(y) = x tanımı gereği.
2
Açının değer aralığına göre bölgesini ve kosinüsün işaretini belirleme
θ\theta açısı dördüncü bölgededir, dolayısıyla cos⁡θ>0\cos\theta > 0 olur.
Sinüs değeri negatif ve θ∈[−π/2,π/2]\theta \in [-\pi/2, \pi/2] olduğundan açı dördüncü bölgededir.
3
Kosinüs de��erini hesaplama
cos⁡θ=1213\cos\theta = \frac{12}{13}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 temel trigonometrik özdeşliğinden.
4
Nihai değeri hesaplama
13⋅cos⁡θ=1213 \cdot \cos\theta = 12
Bulunan kosinüs değerinin 13 ile çarpılması istenmiştir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla değer hesaplama.

Alternatif Yöntem

Dik kenarları 5 ve 12, hipotenüsü 13 olan bir dik üçgen yardımıyla da doğrudan oran bulunabilir, bölge analiziyle işaret teyit edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 7Soru →

Gerçel sayılar kümesinin bir AA alt kümesinde tanımlı

f(x)=arccos⁡(x−12)−π3f(x) = \sqrt{\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) - \frac{\pi}{3}}

fonksiyonu veriliyor. Buna göre, bu fonksiyonun en geniş tanım kümesi olan AA aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−1,2][-1, 2]

Cevap

[−1,2][-1, 2] kapalı aralığı
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için ilk olarak arccos fonksiyonunun içinin [−1,1][-1, 1] aralığında kalması gerekir, bu da bize x∈[−1,3]x \in [-1, 3] koşulunu verir. İkinci olarak karekökün içinin negatif olmaması gerekliliğinden arccos⁡(x−12)≥π3\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \ge \frac{\pi}{3} elde edilir. arccos fonksiyonunun değer aralığı [0,π][0, \pi] olduğundan bu ifade π3≤arccos⁡(x−12)≤π\frac{\pi}{3} \le \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \le \pi biçiminde yazılır. Kosinüs fonksiyonu bu aralıkta azalan olduğundan, eşitsizlik yön değiştirerek cos⁡(π)≤x−12≤cos⁡(π/3)\cos(\pi) \le \frac{x-1}{2} \le \cos(\pi/3) haline gelir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x∈[−1,2]x \in [-1, 2] elde edilir. Her iki koşulun kesişimi ise [−1,2][-1, 2] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
arccos fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek
−1≤x−12≤1  ⟹  −2≤x−1≤2  ⟹  −1≤x≤3-1 \le \frac{x-1}{2} \le 1 \implies -2 \le x-1 \le 2 \implies -1 \le x \le 3
arccos(u) ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için u ifadesinin [−1,1][-1, 1] aralığında olması gerekir.
2
Karekökün tanımlılık şartını uygulamak
arccos⁡(x−12)−π3≥0  ⟹  arccos⁡(x−12)≥π3\arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) - \frac{\pi}{3} \ge 0 \implies \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \ge \frac{\pi}{3}
Gerçel sayılarda çift dereceli köklü bir ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
Eşitsizliği arccos fonksiyonunun değer aralığına göre düzenlemek
π3≤arccos⁡(x−12)≤π\frac{\pi}{3} \le \arccos\left(\frac{x-1}{2}\right) \le \pi
arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığıd��r.
4
Kosinüs fonksiyonunun azalanlık özelliğini kullanarak x değerlerini bulmak
cos⁡(π)≤x−12≤υcos⁡(π/3)  ⟹  −1≤x−12≤12  ⟹  −2≤x−1≤1  ⟹  −1≤x≤2\cos(\pi) \le \frac{x-1}{2} \le υ\cos(\pi/3) \implies -1 \le \frac{x-1}{2} \le \frac{1}{2} \implies -2 \le x-1 \le 1 \implies -1 \le x \le 2
Kosinüs fonksiyonu [0,π][0, \pi] aralığında azalan bir fonksiyon oldu��undan, eşitsizliğe kosinüs uygulandığında eşitsizlik yön değiştirir.
5
Elde edilen iki aralığın kesişimini almak
[−1,3]∩[−1,2]=[−1,2][-1, 3] \cap [-1, 2] = [-1, 2]
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için bulunan aralıkların kesişim kümesi alınır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arccos fonksiyonunun tanım kümesinin [−1,1][-1, 1], değer kümesinin [0,π][0, \pi] olması ve bu aralıkta azalan bir karakter sergilemesi.
Soru 8Soru →
arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3)\arctan(x) + \arctan(x + 1) = \arctan(3)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı için 3x3x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 13\frac{1}{3} olup, bu değerin 33 katı 11'dir.
Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınıp toplam formülü uygulandığında rasyonel bir denklem elde edilir. Bu denklemin düzenlenmesiyle oluşan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde x = 1/3 ve x = -2 değerleri bulunur. Ancak arctan fonksiyonunun değer kümesi (-\pi/2, \pi/2) olduğundan, iki negatif terimin toplamı pozitif olan \arctan(3) değerine eşit olamaz. Bu sebeple x = -2 kökü elenir ve geriye yalnızca x = 1/3 kalır. Bu değerin 3 katı ise 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının tanjantını almak
tan⁡(arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1))=tan⁡(arctan⁡(3))=3\tan(\arctan(x) + \arctan(x+1)) = \tan(\arctan(3)) = 3
Ters trigonometrik ifadeleri cebirsel ifadelere dönüştürmek amacıyla eşitliğin her iki tarafına tanjant fonksiyonu uygulanır.
2
Tanjant toplam formülünü uygulamak
x+(x+1)1−x(x+1)=3\frac{x + (x+1)}{1 - x(x+1)} = 3
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} toplam formülü ve tan⁡(arctan⁡(u))=u\tan(\arctan(u)) = u özdeşliği kullanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden denkleme dönüştürmek
3x2+5x−2=03x^2 + 5x - 2 = 0
İçler dışlar çarpımı yapılarak payda sıfırdan farklı kabulüyle cebirsel ifade sadeleştirilir.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırmak ve kökleri bulmak
(3x−1)(x+2)=0  ⟹  x=13 veya x=−2(3x-1)(x+2) = 0 \implies x = \frac{1}{3} \text{ veya } x = -2
Denklemin sıfır noktalarını (köklerini) belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Bulunan köklerin ters tanjant fonksiyonunun tanım ve değer aralıklarına uygunluğunu denetlemek
x=13x = \frac{1}{3} denklemi sağlar, x=−2x = -2 denklemi sağlamaz.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer aralığı (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2) olduğundan, x=−2x = -2 için sol taraftaki her iki terim de negatif açılar üretir ve toplamları negatif olur. Ancak sağ taraftaki arctan⁡(3)\arctan(3) değeri pozitiftir. Bu nedenle x=−2x = -2 kökü elenir.
6
İstenen 3x3x değerini hesaplamak
3x=13x = 1
Bulunan geçerli x=1/3x = 1/3 kökünün 33 katı alınır.

Anahtar Kavram

Ters tanjant fonksiyonunun değer kümeleri ile tanjant toplam formülünün uygulanması
Soru 9Soru →
arcsin⁡(x)−arccos⁡(x)=arcsin⁡(3x−2)\arcsin(x) - \arccos(x) = \arcsin(3x - 2) olduğuna göre, bu denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Denklemi sağlayan ve tam sayı olmayan gerçel sayı kökü 0.5'tir.
Denklemin çözümü sonucunda elde edilen kökler x = 1 ve x = 0.5 olup, tam sayı olmayan kök 0.5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik özdeşliğin uygulanması
\arccos(x) yerine \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) yazılması
Denklemi tek bir ters trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek amacıyla \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} özdeşliği kullanılır.
2
Denklemin düzenlenmesi
2\arcsin(x) - \frac{\pi}{2} = \arcsin(3x - 2)
Denklemi sadeleştirip her iki tarafın sinüsünü alabilmek için düzenleme yapılır.
3
Değişken dönüşümü ve sinüs fonksiyonunun uygulanması
−cos⁡(2α)=3x−2-\cos(2\alpha) = 3x - 2
\arcsin(x) = \alpha dönüşümüyle \sin(2\alpha - \frac{\pi}{2}) = 3x - 2 elde edilir ve \sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\theta) indirgemesi uygulanır.
4
Yarım açı formülü ile cebirsel denklemin elde edilmesi
2x^2 - 3x + 1 = 0
\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) = 1 - 2x^2 yarım açı formülü yerine yazılıp denklem düzenlenir.
5
Denkleminin çözülmesi ve uygun kökün seçilmesi
x = 0.5
İkinci dereceden denklemin kökleri x = 1 ve x = 0.5'tir. Soruda tam sayı olmayan gerçel kök istendiği için x = 0.5 alınır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Özellikleri ve Denklemleri
Soru 10Soru →
arctan⁡(x−1)+arctan⁡(x)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3x)\arctan(x-1) + \arctan(x) + \arctan(x+1) = \arctan(3x)

eşitliğini sağlayan pozitif xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Eşitliği sağlayan pozitif gerçel sayı 1/2 (veya 0,5) değeridir.
Denklem düzenlenip her iki tarafın tanjantı alındığında 2x/(2−x2)=2x/(1+3x2)2x/(2-x^2) = 2x/(1+3x^2) eşitliği elde edilir. Buradan 2x=02x = 0 veya 2−x2=1+3x22-x^2 = 1+3x^2 olmalıdır. Pozitif kök arandığından x2=1/4x^2 = 1/4 eşitliğinden x=1/2x = 1/2 (veya 0,5) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri gruplandırma ve düzenleme
arctan⁡(x−1)+arctan⁡(x+1)=arctan⁡(3x)−arctan⁡(x)\arctan(x-1) + \arctan(x+1) = \arctan(3x) - \arctan(x)
Tanjant toplam ve fark formüllerini her iki tarafa uygulayarak sade bir cebirsel denklem elde etmek hedeflenmiştir.
2
Tanjant toplam-fark formüllerini uygulama
(x−1)+(x+1)1−(x−1)(x+1)=3x−x1+3x2\frac{(x-1) + (x+1)}{1 - (x-1)(x+1)} = \frac{3x - x}{1 + 3x^2}
Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınarak ters trigonometrik fonksiyonlardan cebirsel ifadelere geçiş yapılmıştır.
3
Cebirsel eşitliği sadeleştirme ve çözme
2x2−x2=2x1+3x2  ⟹  2x(1+3x2)=2x(2−x2)\frac{2x}{2-x^2} = \frac{2x}{1+3x^2} \implies 2x(1+3x^2) = 2x(2-x^2)
İçler dışlar çarpımı yapılarak denklemin tüm olası köklerini veren ortak çarpan parantezine alınabilir duruma getirilmiştir.
4
Kökleri bulma ve pozitiflik şartını kontrol etme
2x(4x2−1)=0  ⟹  x=0, x=−12, x=122x(4x^2 - 1) = 0 \implies x = 0,\ x = -\frac{1}{2},\ x = \frac{1}{2}
Bulunan kökler arasından sadece pozitif olan gerçel sayı değeri seçilmiştir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyon denklemlerinin tanjant toplam-fark formülleri yardımıyla cebirsel denklemlere dönüştürülmesi.
Soru 11Soru →
arcsin⁡(sin⁡(4π3))+arccos⁡(cos⁡(−π6))+arctan⁡(tan⁡(7π4))\arcsin\left(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) + \arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) + \arctan\left(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −5π12-\frac{5\pi}{12}

Cevap

−5π12-\frac{5\pi}{12}
Doğru cevap, her bir fonksiyonun esas değer aralığındaki karşılıkları doğru hesaplandığında elde edilen değerdir. İlk terim olan arksinüs ifadesinin karşılığı üçüncü bölgedeki sinüsün negatifliği ve fonksiyonun değer aralığı gözetilerek −π3-\frac{\pi}{3} olarak bulunur. İkinci terim olan arkkosinüs ifadesi için kosinüsün çift fonksiyon olması ve arkkosinüsün değer aralığının pozitif olmasından dolayı π6\frac{\pi}{6} elde edilir. Üçüncü terim olan arctanjant ifadesi ise dördüncü bölgedeki negatiflik nedeniyle −π4-\frac{\pi}{4} değerini alır. Bu üç değerin toplamı −5π12-\frac{5\pi}{12} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terim olan arcsin⁡(sin⁡(4π3))\arcsin\left(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) ifadesini hesaplayınız.
−π3-\frac{\pi}{3}
sin⁡(4π3)=−sin⁡(π3)=−32\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olur. arcsin⁡(y)\arcsin(y) fonksiyonunun değer kümesi [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığı olduğundan, arcsin⁡(−32)=−π3\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} olarak bulunur.
2
İkinci terim olan arccos⁡(cos⁡(−π6))\arccos\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) ifadesini hesaplayınız.
π6\frac{\pi}{6}
cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} olur. arccos⁡(y)\arccos(y) fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığı olduğundan, arccos⁡(32)=π6\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} olarak bulunur.
3
Üçüncü terim olan arctan⁡(tan⁡(7π4))\arctan\left(\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) ifadesini hesaplayınız.
−π4-\frac{\pi}{4}
tan⁡(7π4)=−tan⁡(π4)=−1\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 olur. arctan⁡(y)\arctan(y) fonksiyonunun değer kümesi (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) aralığı olduğundan, arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} olarak bulunur.
4
Bulunan değerleri toplayarak sonucu bulunuz.
−5π12-\frac{5\pi}{12}
−π3+π6−π4=−4π+2π−3π12=−5π12-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{-4\pi + 2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Değer Kümesi Sınırları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 12Soru →
f(x)=cos⁡(arcsin⁡(x)+arccos⁡(x2))f(x) = \cos\left(\arcsin(x) + \arccos(x^2)\right)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f(x)=0f(x) = 0 denklemini sağlayan xx ger��el sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Denklemi sağlayan xx değerlerinin toplamı 00 olur.
Denklemin tüm gerçel kökleri −1-1, 00 ve 11 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 00 olduğundan, sıfır değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme ve cos⁡\cos fonksiyonunun sıfır olduğu genel şartı yazma.
xx değişkeni [−1,1][-1, 1] aralığında olmalıdır. f(x)=0f(x) = 0 olması için arccos⁡(x2)+arcsin⁡(x)\arccos(x^2) + \arcsin(x) ifadesi cos⁡\cos fonksiyonunu sıfır yapan bir açıya eşit olmalıdır.
arcsin⁡(x)\arcsin(x) ve arccos⁡(x2)\arccos(x^2) fonksiyonlarının tanımlı olması için xx ve x2x^2 değerleri [−1,1][-1, 1] aralığında yer almalıdır.
2
Açının alabileceği değer aralığını belirleme.
−π2≤arcsin⁡(x)≤π2-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x) \le \frac{\pi}{2} ve 0≤arccos⁡(x2)≤π0 \le \arccos(x^2) \le \pi olduğundan, bu iki ifadenin toplamı olan θ\theta açısı [−π2,3π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındadır. Bu aralıkta cos⁡(θ)=0\cos(\theta) = 0 şartını sağlayan θ\theta değerleri −π2-\frac{\pi}{2}, π2\frac{\pi}{2} ve 3π2\frac{3\pi}{2} olur.
Ters trigonometrik fonksiyonların değer kümelerinin sınırları kullanılarak toplamın alabileceği tüm olası a��ılar bulunur.
3
Belirlenen açı değerleri için xx denklemlerini çözme.
θ=−π2\theta = -\frac{\pi}{2} için x=−1x = -1 bulunur (çünkü arcsin⁡(−1)=−π2\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} ve arccos⁡(1)=0\arccos(1) = 0). θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} için gerçel kök yoktur. θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} için arccos⁡(x2)+arcsin⁡(x)=π2\arccos(x^2) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2} denkleminden arccos⁡(x2)=arccos⁡(x)\arccos(x^2) = \arccos(x) elde edilir. Buradan x2=xx^2 = x denklemi çözülerek x=0x = 0 ve x=1x = 1 bulunur.
Ters trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri ve özdeşlikleri (arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}) kullanılarak gerçel kökler tespit edilir.
4
Bulunan tüm gerçel kökleri toplayarak sonucu bulma.
Gerçel kökler −1-1, 00 ve 11 olup, toplamları (−1)+0+1=0(-1) + 0 + 1 = 0 bulunur.
Soruda istenen xx gerçel sayılarının toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları ile trigonometrik denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 13Soru →
arcsin⁡(x)+arccos⁡(2x)=5π6\arcsin(x) + \arccos(2x) = \frac{5\pi}{6}

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayısı −0.5-0.5 olarak bulunur.
Denklemin çözümünde elde edilen 3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} eşitliğinin sol ve sağ taraflarının işaret uyumundan dolayı x≤0x \le 0 olması gerekir. Karesi alındığında x2=1/4x^2 = 1/4 çıkan denklemin tek geçerli kökü x=−0.5x = -0.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları belirlenir.
x∈[−0.5,0.5]x \in [-0.5, 0.5]
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun tanımlı olması için x∈[−1,1]x \in [-1, 1] ve arccos⁡(2x)\arccos(2x) fonksiyonunun tanımlı olması için 2x∈[−1,1]  ⟹  x∈[−0.5,0.5]2x \in [-1, 1] \implies x \in [-0.5, 0.5] olmalıdır.
2
arcsin⁡(x)=α\arcsin(x) = \alpha değişken değiştirmesi yapılır.
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]
Ters trigonometrik fonksiyon tanımından dolayı arcsin⁡(x)=α  ⟺  sin⁡α=x\arcsin(x) = \alpha \iff \sin\alpha = x olur ve α\alpha açısı [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] aralığında yer alır.
3
Eşitlik α\alpha cinsinden düzenlenerek her iki tarafın kosinüsü alınır.
2x=cos⁡(5π/6−α)2x = \cos(5\pi/6 - \alpha)
arccos⁡(2x)=5π/6−α\arccos(2x) = 5\pi/6 - \alpha eşitliğinden ters fonksiyon tanımı kullanılarak kosinüs değeri çekilir.
4
Kosinüs fark formülü açılır ve bilinen trigonometrik değerler yerine yazılır.
2x=−32cos⁡α+12sin⁡α2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha
cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B formülü uygulanır. Burada cos⁡(5π/6)=−32\cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve sin⁡(5π/6)=12\sin(5\pi/6) = \frac{1}{2} değerleri kullanılır.
5
sin⁡α\sin\alpha ve cos⁡α\cos\alpha değerleri xx cinsinden yerine yazılıp denklem düzenlenir.
3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} ve x≤0x \le 0
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2] olduğundan cos⁡α=1−x2≥0\cos\alpha = \sqrt{1-x^2} \ge 0 olur. Eşitliğin sağ tarafı negatif veya sıfır olduğundan sol tarafın da negatif veya sıfır olması için x≤0x \le 0 olmalıdır.
6
Her iki tarafın karesi alınarak denklem çözülür.
x=−0.5x = -0.5
9x2=3(1−x2)  ⟹  12x2=3  ⟹  x2=1/4  ⟹  x=±1/29x^2 = 3(1-x^2) \implies 12x^2 = 3 \implies x^2 = 1/4 \implies x = \pm 1/2. Ancak x≤0x \le 0 koşulundan dolayı pozitif kök elenir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda değer aralığı sınırlamaları ve trigonometrik denklemlerin cebirsel çözümü
Soru 14Soru →
cos⁡(arcsin⁡(−45)+arctan⁡(512))\cos\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{12}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5665\frac{56}{65}

Cevap

İfadenin doğru değeri 5665\frac{56}{65}'tir.
Doğru yanıt olan değer, arcsin⁡(−45)\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) açısının 4. bölgede yer alması nedeniyle kosinüsünün pozitif (35\frac{3}{5}) olması ve kosinüs toplam formülünün doğru işaretlerle uygulanması sonucu 3665−(−2065)=5665\frac{36}{65} - \left(-\frac{20}{65}\right) = \frac{56}{65} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(−45)=x\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) = x dönüşümü yapılarak xx açısının trigonometrik değerleri belirlenir.
sin⁡(x)=−45\sin(x) = -\frac{4}{5} ve cos⁡(x)=35\cos(x) = \frac{3}{5} bulunur.
arcsin⁡\arcsin fonksiyonunun değer kümesi [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] aralığıdır. Girdi negatif olduğundan, xx açısı 4. bölgededir (x∈[−π2,0]x \in [-\frac{\pi}{2}, 0]). Bu bölgede sinüs negatif, kosinüs ise pozitiftir.
2
arctan⁡(512)=y\arctan\left(\frac{5}{12}\right) = y dönüşümü yapılarak yy açısının trigonometrik değerleri belirlenir.
tan⁡(y)=512\tan(y) = \frac{5}{12}, sin⁡(y)=513\sin(y) = \frac{5}{13} ve cos⁡(y)=1213\cos(y) = \frac{12}{13} bulunur.
arctan⁡\arctan fonksiyonunun değer kümesi (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) aralığıdır. Girdi pozitif olduğundan, yy açısı 1. bölgededir (y∈(0,π2)y \in (0, \frac{\pi}{2})).
3
Kosinüs toplam formülü kullanılarak ifadenin değeri hesaplanır.
cos⁡(x+y)=cos⁡(x)cos⁡(y)−sin⁡(x)sin⁡(y)=(35)(1213)−(−45)(513)=3665+2065=5665\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65} bulunur.
İki açının toplamının kosinüsü cos⁡(x+y)=cos⁡(x)cos⁡(y)−sin⁡(x)sin⁡(y)\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) bağıntısı ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıklarının belirlenmesi ve trigonometrik toplam formüllerinin uygulanması.
Soru 15Soru →
tan⁡(arcsin⁡(35)+arccot(2))\tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) + \text{arccot}(2)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.
Verilen ters trigonometrik ifadeler açılara eşitlendiğinde elde edilen trigonometrik değerler, dik üçgen bağıntıları yardımıyla tanjant değerlerine dönüştürülür. Ardından tanjant toplam formülü uygulanarak ifadenin sayısal değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyonları açılara eşitleme
arcsin⁡(35)=α  ⟹  sin⁡α=35\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \alpha \implies \sin\alpha = \frac{3}{5} ve arccot(2)=β  ⟹  cot⁡β=2\text{arccot}(2) = \beta \implies \cot\beta = 2
Ters trigonometrik fonksiyonların temel tanımını kullanarak açısal karşılıklarını belirlemek için.
2
Açıların tanjant değerlerini hesaplama
tan⁡α=34\tan\alpha = \frac{3}{4} ve tan⁡β=12\tan\beta = \frac{1}{2}
Toplam formülünde kullanmak üzere dik üçgen tanımı ve trigonometrik özdeşliklerden yararlanmak için.
3
Tanjant toplam formülünü uygulayarak sonucu bulma
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡α⋅tan⁡β=2\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta} = 2
İstenen toplam açısının tanjantını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda açı dönüşümü ve toplam formüllerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, koordinat düzleminde eğimleri sırasıyla 3/43/4 ve 1/21/2 olan iki doğrunun eğim açılarının toplamı dikkate alınabilir. Bu doğruların oluşturduğu toplam açının tanjantı doğrudan iki doğrunun kesişim geometrisinden elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →
arcsin⁡(x)=arctan⁡(2x)\arcsin(x) = \arctan(2x)

denklemini sağlayan sıfırdan farklı xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −34-\frac{3}{4}

Cevap

Sıfırdan farklı gerçel köklerin çarpımı olan negatif rasyonel sayı doğru cevaptır.
Denklemin sıfırdan farklı çözümleri olan kökler, ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları dikkate alınarak 32\frac{\sqrt{3}}{2} ve −32-\frac{\sqrt{3}}{2} olarak bulunur. Bu iki gerçel sayının çarpılmasıyla doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik ifadelerin eşit olduğu açı değeri tanımlanır.
arcsin⁡(x)=θ\arcsin(x) = \theta ve arctan⁡(2x)=θ\arctan(2x) = \theta olsun. Burada θ∈(−π/2,π/2)\theta \in (-\pi/2, \pi/2) ve x∈[−1,1]x \in [-1, 1] aralığındadır.
Ters trigonometrik fonksiyonları ortak bir açı değişkenine bağlamak için.
2
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak trigonometrik denklemler yazılır.
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x ve tan⁡(θ)=2x\tan(\theta) = 2x
Denklemi çözmek için ters fonksiyon ifadelerini normal trigonometrik fonksiyonlara dönüştürmek gerekir.
3
İki denklemdeki ortak değişken kullanılarak tek bir trigonometrik denklem elde edilir.
tan⁡(θ)=2sin⁡(θ)\tan(\theta) = 2\sin(\theta)
Her iki eşitlikteki xx değişkeni birbiriyle ilişkilendirilerek tek bilinmeyenli bir denklem kurulur.
4
Trigonometrik denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
sin⁡(θ)cos⁡(θ)=2sin⁡(θ)  ⟹  sin⁡(θ)(1cos⁡(θ)−2)=0\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 2\sin(\theta) \implies \sin(\theta)\left(\frac{1}{\cos(\theta)} - 2\right) = 0
Tanjant fonksiyonunun sinüs/kosinüs açılımı yapılıp ortak terim parantezine alınması kökleri bulmayı sağlar.
5
Çarpanların her biri sıfıra eşitlenerek olası açı değerleri belirlenir.
sin⁡(θ)=0  ⟹  θ=0  ⟹  x=0\sin(\theta) = 0 \implies \theta = 0 \implies x = 0 veya cos⁡(θ)=12  ⟹  θ=±π3\cos(\theta) = \frac{1}{2} \implies \theta = \pm\frac{\pi}{3}
Denklemi sağlayan tüm θ\theta değerlerinin bulunması hedeflenir.
6
Sıfırdan farklı θ\theta açıları için xx kökleri hesaplanır.
θ=π3  ⟹  x=sin⁡(π3)=32\theta = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve θ=−π3  ⟹  x=sin⁡(−π3)=−32\theta = -\frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x eşitliği kullanılarak aranan sıfırdan farklı kökler elde edilir.
7
Elde edilen sıfırdan farklı köklerin çarpımı hesaplanır.
(32)⋅(−32)=−34\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{4}
Soruda istenen sıfırdan farklı köklerin çarpımına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümelerine uygun olarak denklemlerin çözülmesi ve özel açıların kullanılması.
Soru 17Soru →
f(x)=12πarctan⁡(x2−4x+5)f(x) = \frac{12}{\pi} \arctan(x^2 - 4x + 5)

fonksiyonunun g��rüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonun görüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı 12'dir.
Fonksiyonun görüntü kümesi [3,6)[3, 6) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar 3, 4 ve 5 olup toplamları 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki fonksiyonun en küçük değerini ve değer aralığını belirleme.
x2−4x+5x^2 - 4x + 5 ifadesinin alabileceği en küçük değer 1'dir ve değer aralığı [1,∞)[1, \infty) olur.
Arctan fonksiyonunun argümanının sınırlarını belirlemek için parabolün tepe noktasını kullandık.
2
Arctan fonksiyonunun değer sınırlarını hesaplama.
arctan⁡(x2−4x+5)\arctan(x^2 - 4x + 5) ifadesinin değer aralığı [π4,π2)[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) olur.
Arctan fonksiyonunun artan özelliğini ve sonsuzdaki limit değerini kullanarak sınırları belirledik.
3
Fonksiyonun katsayısını uygulayarak görüntü kümesini ve tam sayıların toplamını bulma.
Görüntü kümesi [3,6)[3, 6) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 12'dir.
Görüntü kümesindeki tam sayıları (3, 4 ve 5) belirleyip toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve limit değerlerinin parabolün tepe noktası ile birleştirilerek fonksiyonun görüntü kümesinin bulunması.
Soru 18Soru →
f(x)=arcsin⁡(2x−15)+arctan⁡(x−1)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) + \arctan\left(\sqrt{x-1}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, bileşenlerinin tanım kümelerinin kesişimidir. arcsin teriminden -2 <= x <= 3 ve köklü terimden x >= 1 koşulları elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi olan [1, 3] aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3 olup, bunların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(2x−15)\arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
−2≤x≤3-2 \le x \le 3
arcsin⁡(u)\arcsin(u) fonksiyonunun tanım kümesi [−1,1][-1, 1] aralığıdır. Dolayısıyla −1≤2x−15≤1-1 \le \frac{2x-1}{5} \le 1 olmalıdır. Buradan −5≤2x−1≤5⇒−4≤2x≤6⇒−2≤x≤3-5 \le 2x - 1 \le 5 \Rightarrow -4 \le 2x \le 6 \Rightarrow -2 \le x \le 3 elde edilir.
2
arctan⁡(x−1)\arctan\left(\sqrt{x-1}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
x≥1x \ge 1
arctan⁡(u)\arctan(u) fonksiyonu tüm gerçel sayılar için tanımlıdır. Ancak x−1\sqrt{x-1} ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içinin negatif olmaması, yani x−1≥0⇒x≥1x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 olması gerekir.
3
İki ifadenin tanım kümelerinin kesişimini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulma.
1≤x≤31 \le x \le 3
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu yüzden −2≤x≤3-2 \le x \le 3 ve x≥1x \ge 1 eşitsizliklerinin kesişimi alınır.
4
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini belirleme.
1, 2 ve 3
[1,3][1, 3] kapalı aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3'tür.
5
Belirlenen tam sayıların toplamını hesaplama.
6
1, 2 ve 3 sayılarının toplamı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 eder.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arcsin(x) fonksiyonunun tanım kümesinin [-1, 1] aralığı olması ve fonksiyonların en geniş tanım kümelerinin kesişim yöntemiyle bulunması.
Soru 19Soru →
cos⁡(arcsin⁡(−12)+arccot(−3))\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −12-\frac{1}{2}

Cevap

İfadenin doğru değeri −12-\frac{1}{2} olarak bulunur.
Ters trigonometrik fonksiyonların standart değer kümelerine göre, sinüsü −12-\frac{1}{2} olan açı −π6-\frac{\pi}{6} ve kotanjantı −3-\sqrt{3} olan açı 5π6\frac{5\pi}{6} olarak bulunur. Bu iki açının toplamı 2π3\frac{2\pi}{3} olup, bu açının kosinüs değeri −12-\frac{1}{2}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(−12)\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) ifadesinin değerini bulmak.
−π6-\frac{\pi}{6}
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun değer kümesi [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığıdır. Bu aralıkta sinüsü −12-\frac{1}{2} olan açı −π6-\frac{\pi}{6} radyandır.
2
arccot(−3)\text{arccot}\left(-\sqrt{3}\right) ifadesinin değerini bulmak.
5π6\frac{5\pi}{6}
arccot(x)\text{arccot}(x) fonksiyonunun değer kümesi (0,π)(0, \pi) aralığıdır. Bu aralıkta kotanjantı −3-\sqrt{3} olan açı 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.
3
Elde edilen açı değerlerini toplamak.
2π3\frac{2\pi}{3}
−π6+5π6=4π6=2π3-\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} işlemiyle toplam açı bulunur.
4
Bulunan toplam açının kosinüs değerini hesaplamak.
−12-\frac{1}{2}
cos⁡(2π3)=cos⁡(π−π3)=−cos⁡(π3)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} eşitliği kullanılır.

Anahtar Kavram

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Değer Kümeleri ve Özel Açı Değerleri
Soru 20Soru →
cos⁡(2arctan⁡(2)−arcsin⁡(35))\cos\left(2\arctan(2) - \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 00

Cevap

0
Verilen ters trigonometrik ifadeler açılara dönüştürüldüğünde soru cos⁡(2α−β)\cos(2\alpha - \beta) değerini bulmaya indirgenir. Dik üçgenlerden elde edilen oranlar ve yarım açı formülleriyle cos⁡(2α)=−35\cos(2\alpha) = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2α)=45\sin(2\alpha) = \frac{4}{5} bulunur. Bu değerler fark formülünde yerine konulduğunda terimler birbirini yok eder ve sonuç 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
arctan⁡(2)=α\arctan(2) = \alpha ve arcsin⁡(35)=β\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \beta dönüşümleri yapılır.
tan⁡(α)=2\tan(\alpha) = 2 ve sin⁡(β)=35\sin(\beta) = \frac{3}{5} elde edilir. Buradan dik üçgenler yardımıyla diğer oranlar belirlenir: sin⁡(α)=25\sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}}, cos⁡(α)=15\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}} ve cos⁡(β)=45\cos(\beta) = \frac{4}{5} olur.
Ters trigonometrik ifadeleri cebirsel olarak ifade edebilmek için açı dönüşümü uygulanır.
2
cos⁡(2α)\cos(2\alpha) ve sin⁡(2α)\sin(2\alpha) değerleri yarım açı formülleriyle hesaplanır.
cos⁡(2α)=2cos⁡2(α)−1=2(15)−1=−35\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 2\left(\frac{1}{5}\right) - 1 = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2α)=2sin⁡(α)cos⁡(α)=2(25)(15)=45\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{4}{5} bulunur.
İstenen cos⁡(2α−β)\cos(2\alpha - \beta) ifadesini açmak için yarım açı değerlerine ihtiyaç vardır.
3
cos⁡(2α−β)=cos⁡(2α)cos⁡(β)+sin⁡(2α)sin⁡(β)\cos(2\alpha - \beta) = \cos(2\alpha)\cos(\beta) + \sin(2\alpha)\sin(\beta) fark formülü uygulanır.
cos⁡(2α−β)=(−35)(45)+(45)(35)=−1225+1225=0\cos(2\alpha - \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0 bulunur.
Fark formülü kullanılarak ifadenin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonları açılara dönüştürme ve yarım açı ile fark formüllerini uygulama
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin