Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonlarda Değer Bulma
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,
f(x)={2x+5,x<2x2−2x,x≥2f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 2 \\ x^2 - 2x, & x \ge 2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(a))=3f(f(a)) = 3 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    -4
  2. -1Cevap
  3. C
    0
  4. D
    2
  5. E
    3

Cevap

Eşitliği sağlayan gerçel sayıların toplamı -1'dir.
Bileşke fonksiyonun tanımından yola çıkarak f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapıldığında f(y)=3f(y) = 3 elde edilir. Bu eşitliği sağlayan geçerli değerler parçalı fonksiyonun dalları kontrol edilerek y=−1y = -1 ve y=3y = 3 olarak bulunur. Daha sonra f(a)=−1f(a) = -1 ve f(a)=3f(a) = 3 denklemleri yine parçalı tanımların sınırları kontrol edilerek çözüldüğünde geçerli aa değerlerinin −3-3, −1-1 ve 33 olduğu görülür. Bu değerlerin toplamı −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(a))=3f(f(a)) = 3 eşitliğinde f(a)=yf(a) = y değişken değiştirmesi yapılır.
f(y)=3f(y) = 3 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyon sorularında dıştaki fonksiyondan başlayarak adım adım ilerlemek çözümü kolaylaştırır.
2
f(y)=3f(y) = 3 eşitliğini sağlayan yy değerleri parçalı fonksiyonun kurallarına göre bulunur. y<2y < 2 için 2y+5=32y + 5 = 3 ve y≥2y \ge 2 için y2−2y=3y^2 - 2y = 3 denklemleri çözülür.
y<2y < 2 için y=−1y = -1 (bu değer 22'den küç��k olduğu için geçerlidir). y≥2y \ge 2 için y2−2y−3=0  ⟹  (y−3)(y+1)=0y^2 - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0 denkleminin köklerinden y=3y = 3 geçerlidir (y=−1y = -1 bu aralıkta olmadığı için elenir). Böylece yy değeri −1-1 veya 33 olmalıdır.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bulunan her değerin, o kuralın geçerli olduğu tanım aralığında olup olmadığı denetlenmelidir.
3
f(a)=−1f(a) = -1 ve f(a)=3f(a) = 3 denklemleri ayrı ayrı çözülerek aa değerleri bulunur.
f(a)=−1f(a) = -1 için: a<2  ⟹  2a+5=−1  ⟹  a=−3a < 2 \implies 2a + 5 = -1 \implies a = -3 (geçerli); a≥2  ⟹  a2−2a=−1  ⟹  (a−1)2=0  ⟹  a=1a \ge 2 \implies a^2 - 2a = -1 \implies (a - 1)^2 = 0 \implies a = 1 (geçersiz, çünkü 1<21 < 2). f(a)=3f(a) = 3 için: a<2  ⟹  2a+5=3  ⟹  a=−1a < 2 \implies 2a + 5 = 3 \implies a = -1 (geçerli); a≥2  ⟹  a2−2a=3  ⟹  (a−3)(a+1)=0  ⟹  a=3a \ge 2 \implies a^2 - 2a = 3 \implies (a - 3)(a + 1) = 0 \implies a = 3 (geçerli) ve a=−1a = -1 (geçersiz, çünkü −1<2-1 < 2).
Elde edilen yy değerleri içteki f(a)f(a) fonksiyonuna eşitlenerek asıl bilinmeyen olan aa değerleri elde edilir.
4
Bulunan geçerli aa değerleri toplanır.
−3+(−1)+3=−1-3 + (-1) + 3 = -1 bulunur.
Soru bizden denklemi sağlayan tüm aa gerçel sayılarının toplamını talep etmektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bileşke işlemi ve değer bulma
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Bu konudan daha fazla soru