Examkin

Fonksiyonlarda Değer Bulma

28 soru

Soru 1Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu, 11 dışındaki tüm gerçel sayılar için

f(x)+2f(x+2x−1)=3xf(x) + 2 f\left(\frac{x+2}{x-1}\right) = 3x

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(f(3))f(f(3)) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İçten dışa doğru yapılan işlem adımları sonucunda f(3)=2f(3) = 2 ve ardından f(2)=6f(2) = 6 elde edilir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte sırasıyla x=3x = 3 ve x=5/2x = 5/2 yazılıp ortak çözüm yapıldığında f(3)=2f(3) = 2 değeri elde edilir. f(f(3))=f(2)f(f(3)) = f(2) değerini bulmak için ise x=2x = 2 ve x=4x = 4 yazılıp oluşan yeni denklem sistemi çözüldüğünde f(2)=6f(2) = 6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(3)f(3) değerine ulaşmak amacıyla verilen fonksiyonel denklemde x=3x = 3 yazılır.
f(3)+2f(3+23−1)=3(3)  ⟹  f(3)+2f(52)=9f(3) + 2 f\left(\frac{3+2}{3-1}\right) = 3(3) \implies f(3) + 2 f\left(\frac{5}{2}\right) = 9 denklemi elde edilir.
f(3)f(3) değerini içeren ilk denklemi oluşturmak.
2
Oluşan denklemdeki diğer bilinmeyen olan f(52)f\left(\frac{5}{2}\right) ifadesini bulmak için x=52x = \frac{5}{2} yazılır.
f(52)+2f(5/2+25/2−1)=3(52)  ⟹  f(52)+2f(3)=152f\left(\frac{5}{2}\right) + 2 f\left(\frac{5/2+2}{5/2-1}\right) = 3\left(\frac{5}{2}\right) \implies f\left(\frac{5}{2}\right) + 2 f(3) = \frac{15}{2} denklemi elde edilir.
f(3)f(3) ve f(52)f\left(\frac{5}{2}\right) değerlerine bağlı ikinci bir denklem elde ederek iki bilinmeyenli bir sistem kurmak.
3
Elde edilen bu iki denklem ortak çözülerek f(3)f(3) de��eri hesaplanır.
f(3)=af(3) = a ve f(52)=bf\left(\frac{5}{2}\right) = b olsun.
a+2b=9a + 2b = 9
2a+b=152  ⟹  4a+2b=152a + b = \frac{15}{2} \implies 4a + 2b = 15 olur.
İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında:
3a=6  ⟹  a=f(3)=23a = 6 \implies a = f(3) = 2 bulunur.
Bileşke fonksiyonun iç kısmının değerini netleştirmek.
4
f(f(3))=f(2)f(f(3)) = f(2) değerine ulaşmak amacıyla ana denklemde x=2x = 2 yazılır.
f(2)+2f(2+22−1)=3(2)  ⟹  f(2)+2f(4)=6f(2) + 2 f\left(\frac{2+2}{2-1}\right) = 3(2) \implies f(2) + 2 f(4) = 6 denklemi elde edilir.
f(2)f(2) değerini içeren ilk denklemi kurmak.
5
Denklemdeki diğer bilinmeyen olan f(4)f(4) ifadesini bulmak için x=4x = 4 yazılır.
f(4)+2f(4+24−1)=3(4)  ⟹  f(4)+2f(2)=12f(4) + 2 f\left(\frac{4+2}{4-1}\right) = 3(4) \implies f(4) + 2 f(2) = 12 denklemi elde edilir.
f(2)f(2) ve f(4)f(4) değerlerine bağlı ikinci bir denklem elde ederek yeni bir sistem kurmak.
6
Elde edilen yeni iki denklem ortak çözülerek f(2)f(2) değeri hesaplanır.
f(2)=cf(2) = c ve f(4)=df(4) = d olsun.
c+2d=6c + 2d = 6
2c+d=12  ⟹  4c+2d=242c + d = 12 \implies 4c + 2d = 24 olur.
İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında:
3c=18  ⟹  c=f(2)=63c = 18 \implies c = f(2) = 6 bulunur.
Bileşke fonksiyonun dış değerini hesaplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde uygun değerler yazılarak elde edilen çok bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla fonksiyon değerlerini hesaplama.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={2x+3,x<53x−7,x≥5f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x < 5 \\ 3x - 7, & x \ge 5 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(3))f(f(3)) ifadesinin değeri ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İfadenin doğru değeri 20'dir.
Verilen parçalı fonksiyonda f(3) değeri için 3 < 5 olduğundan üstteki kural uygulanır ve 9 elde edilir. f(f(3)) yani f(9) değeri için ise 9 >= 5 olduğundan alttaki kural uygulanır ve 20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki fonksiyon değeri olan f(3) hesaplanır.
f(3) = 9
3 < 5 olduğundan f(x) = 2x + 3 dalı kullanılır: 2(3) + 3 = 9.
2
Bulunan değer dıştaki fonksiyona yazılıp f(9) hesaplan��r.
f(9) = 20
9 >= 5 olduğundan f(x) = 3x - 7 dalı kullanılır: 3(9) - 7 = 20.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda girdinin değerine göre uygun dalın seçilerek değer bulma işleminin yapılması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bir ff fonksiyonu için
f(2x+3)=x2−3x+4f(2x + 3) = x^2 - 3x + 4
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(7)f(7) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Fonksiyonun değeri 2 olarak bulunur.
Doğru değer olan 2'yi bulmak için fonksiyonun girdisi olan 2x+32x + 3 ifadesi 7'ye eşitlenir. Buradan x=2x = 2 elde edilir. Fonksiyonun kuralında xx yerine 2 yazıldığında f(7)=22−3(2)+4=4−6+4=2f(7) = 2^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Girdiyi eşitleme
2x+3=72x + 3 = 7 denkleminden x=2x = 2 bulunur.
f(7)f(7) değerini elde etmek için fonksiyonun içindeki ifadenin 77 olması gerekir.
2
Değişkeni yerine yazma
x=2x = 2 değeri kuralda yerine yazıldığında f(7)=22−3(2)+4f(7) = 2^2 - 3(2) + 4 elde edilir.
xx değerinin fonksiyondaki karşılığını hesaplamak için.
3
Aritmetik hesaplama
4−6+4=24 - 6 + 4 = 2 bulunur.
İşlem önceliğine göre toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 4Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu f(x)=−3xf(x) = -3x biçiminde tanımlanıyor. aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere, abab ve baba iki basamaklı doğal sayılardır. f(ab)+f(ba)>−198f(ab) + f(ba) > -198 olduğuna göre, bu eşitsizliği sağlayan en büyük a+ba+b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En büyük a+ba+b toplamı 5 olmalıdır.
Verilen fonksiyon tanımına göre iki basamaklı sayıların çözümlenmiş halleri fonksiyonda yerine yazıldığında −33(a+b)>−198-33(a+b) > -198 eşitsizliği elde edilir. Negatif sayıya bölme kuralı gereğince yön değiştirilerek a+b<6a+b < 6 sonucuna ulaşılır. aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olduğundan bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı değeri 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıları çözümleme
ab=10a+bab = 10a + b ve ba=10b+aba = 10b + a
Fonksiyon girdilerini basamak değerlerine göre ifade etmek için.
2
Fonksiyon değerlerini hesaplama
f(ab)=−3(10a+b)=−30a−3bf(ab) = -3(10a + b) = -30a - 3b ve f(ba)=−3(10b+a)=−30b−3af(ba) = -3(10b + a) = -30b - 3a
f(x)=−3xf(x) = -3x kuralına göre girdileri yerine yazmak için.
3
Fonksiyon de��erlerini toplama ve sadeleştirme
f(ab)+f(ba)=−33(a+b)f(ab) + f(ba) = -33(a + b)
Verilen eşitsizlikteki sol tarafı tek bir terim haline getirmek için.
4
Eşitsizliği çözme
−33(a+b)>−198  ⟹  a+b<6-33(a+b) > -198 \implies a+b < 6
Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıya bölerken yönü tersine çevirmek için.
5
Kısıtlamalara göre en büyük değeri belirleme
a+ba+b en çok 5 olabilir.
aa ve bb rakam olduğu için a+ba+b toplamı tam sayı olmalıdır ve 6'dan küçük en büyük tam sayı 5'tir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma işlemi yapılırken değişken yerine cebirsel ifadelerin yazılması ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonda doğrudan aa ve bb yerine uygun rakamlar seçilip denenerek de eşitsizlik kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={3x−1,x rasyonel isex2−a,x irrasyonel isef(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x \text{ rasyonel ise} \\ x^2 - a, & x \text{ irrasyonel ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

f(f(2))=8f(f(\sqrt{2})) = 8

olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 4'tür.
İçteki fonksiyonun girdisi olan karekök iki sayısı irrasyonel olduğu için fonksiyonun ikinci kuralı işletilir ve iki eksi a elde edilir. İki eksi a ifadesinin rasyonel olması durumunda fonksiyonun birinci kuralından a sayısı eksi bir rasyonel sayısı olarak bulunur. İki eksi a ifadesinin irrasyonel olması durumunda ise fonksiyonun ikinci kuralından a kare eksi beş a eksi dört eşittir sıfır denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri irrasyonel olup toplamları beştir. Her iki durumdan elde edilen tüm farklı a değerlerinin toplamı ise eksi bir ile beşin toplamından dört olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyondaki iç değeri hesaplamak için 2\sqrt{2} sayısının türünü belirleyip ilgili fonksiyon satırını uygulayalım.
2\sqrt{2} sayısı irrasyonel bir sayı olduğundan ikinci satır kullanılır: f(2)=(2)2−a=2−af(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - a = 2 - a elde edilir.
Parçalı fonksiyon kuralların�� doğru girdi değerine göre başlatmak için.
2
Elde edilen sonucu bileşke eşitliğinde yerine yazarak çözülmesi gereken denklemi kuralım.
f(f(2))=f(2−a)=8f(f(\sqrt{2})) = f(2 - a) = 8 denklemi elde edilir. Bu adımda 2−a2 - a ifadesinin rasyonel veya irrasyonel olma durumlarına göre iki farklı inceleme yapmalıyız.
2−a2 - a ifadesinin sayı kümesi aa değerine göre değiştiğinden tüm olasılıkları kapsamak için.
3
1. Durum: 2−a2 - a ifadesinin rasyonel sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda aa da bir rasyonel sayı olmalıdır. Fonksiyonun rasyonel sayılar için tanımlanan birinci satırını kullanalım.
3(2−a)−1=8  ⟹  6−3a−1=8  ⟹  5−3a=8  ⟹  3a=−3  ⟹  a=−13(2 - a) - 1 = 8 \implies 6 - 3a - 1 = 8 \implies 5 - 3a = 8 \implies 3a = -3 \implies a = -1 bulunur. a=−1a = -1 rasyonel bir sayı olduğundan bu çözüm geçerlidir.
Girdinin rasyonel olduğu varsayımı altındaki tutarlı aa değerini bulmak için.
4
2. Durum: 2−a2 - a ifadesinin irrasyonel sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda aa da bir irrasyonel sayı olmalıdır. Fonksiyonun ikinci satırını kullanalım.
(2−a)2−a=8  ⟹  4−4a+a2−a=8  ⟹  a2−5a−4=0(2 - a)^2 - a = 8 \implies 4 - 4a + a^2 - a = 8 \implies a^2 - 5a - 4 = 0 denklemi elde edilir.
Girdinin irrasyonel olduğu varsayımı altındaki aa değerlerini belirleyecek denklemi kurmak için.
5
Elde edilen ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin varlığını ve irrasyonel olup olmadıklarını kontrol edip, kökler toplamını bulalım.
Δ=(−5)2−4(1)(−4)=41>0\Delta = (-5)^2 - 4(1)(-4) = 41 > 0 olduğundan iki farklı gerçek kök vardır. Diskriminant tam kare olmadığından kökler irrasyoneldir ve 2−a2 - a ifadesi de irrasyonel kalır. Kökler toplamı −b/a-b/a formülüyle 55 olarak bulunur.
İkinci durumdan gelen geçerli aa değerlerinin toplamına doğrudan ulaşmak için.
6
Bulunan tüm geçerli aa değerlerini toplayalım.
a1+(a2+a3)=−1+5=4a_1 + (a_2 + a_3) = -1 + 5 = 4 bulunur.
Soruda istenen toplam değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma adımları ve sayı kümelerinin rasyonel/irrasyonel olarak sınıflandırılması.
Soru 6Soru →
f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5

olmak üzere,

f(f(a))=1f(f(a)) = 1

eşitliğini sağlayan aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitliği sağlayan aa gerçel sayısı 4'tür.
İç içe fonksiyonlarda f(f(a))=1f(f(a)) = 1 eşitliğini çözmek için dıştan içe doğru gidilir. f(y)=1f(y) = 1 eşitliğini sağlayan yy değeri 2y−5=1  ⟹  y=32y - 5 = 1 \implies y = 3 olarak bulunur. Dolayısıyla f(a)=3f(a) = 3 olmalıdır. Buradan 2a−5=3  ⟹  a=42a - 5 = 3 \implies a = 4 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Dıştaki fonksiyonun girdisini bulmak için f(y)=1f(y) = 1 eşitliğini kurun.
2y−5=1  ⟹  2y=6  ⟹  y=32y - 5 = 1 \implies 2y = 6 \implies y = 3 elde edilir. Yani f(a)=3f(a) = 3 olmalıdır.
Bileşke fonksiyonlarda işlem sırası dıştan içe doğru çözümlenir.
2
f(a)=3f(a) = 3 eşitliğini sağlayan aa değerini bulmak için fonksiyon kuralını uygulayın.
2a−5=3  ⟹  2a=8  ⟹  a=42a - 5 = 3 \implies 2a = 8 \implies a = 4 bulunur.
f(a)f(a) ifadesinin kuralı 2a−52a - 5 olduğu için bu ifade 3'e eşitlenir.

Anahtar Kavram

Bileşke veya iç içe geçmiş fonksiyon denklemlerinde adım adım değer bulma.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun kuralını doğrudan bileşke şeklinde yazabiliriz: f(f(x))=2(2x−5)−5=4x−15f(f(x)) = 2(2x - 5) - 5 = 4x - 15. Bu ifadeyi 1'e eşitlersek 4a−15=1  ⟹  4a=16  ⟹  a=44a - 15 = 1 \implies 4a = 16 \implies a = 4 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 7Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(n)={2n+1,n tek isen−3,n c¸ift isef(n) = \begin{cases} 2n + 1, & n \text{ tek ise} \\ n - 3, & n \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tan��mlanıyor.

Buna göre, f(5)+f(2)f(5) + f(2) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

f(5) + f(2) toplamının değeri 10'dur.
Verilen fonksiyon parçalı bir fonksiyondur. Girdi tek sayı ise 2n+12n+1, çift sayı ise n−3n-3 kuralı uygulanır. 5 tek sayı olduğu için f(5)=2⋅5+1=11f(5) = 2 \cdot 5 + 1 = 11 olur. 2 çift sayı olduğu için f(2)=2−3=−1f(2) = 2 - 3 = -1 olur. Bu iki değer toplandığında 11+(−1)=1011 + (-1) = 10 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(5)f(5) değerini hesaplamak için 5 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip uygun fonksiyon kuralını seçmek.
5 bir tek sayı olduğundan, f(n)=2n+1f(n) = 2n + 1 kural�� uygulanır: f(5)=2⋅5+1=11f(5) = 2 \cdot 5 + 1 = 11.
Fonksiyon parçalı tanımlanmıştır ve girdinin tek veya çift olmasına göre farklı kurallar işletilmektedir.
2
f(2)f(2) değerini hesaplamak için 2 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip uygun fonksiyon kuralını seçmek.
2 bir çift sayı olduğundan, f(n)=n−3f(n) = n - 3 kuralı uygulanır: f(2)=2−3=−1f(2) = 2 - 3 = -1.
Çift girdiler için tanımlanan kuralı doğru uygulamak gerekir.
3
Elde edilen f(5)f(5) ve f(2)f(2) değerlerini toplamak.
f(5)+f(2)=11+(−1)=10f(5) + f(2) = 11 + (-1) = 10.
Soruda bizden bu iki değerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda verilen girdinin koşuluna uygun olan dalı belirleyerek fonksiyon değerini bulma.

Alternatif Yöntem

Alternatif bir pratik yöntem bulunmamaktadır; parçalı fonksiyon sorularında her bir değerin tanım aralığına göre ayrı ayrı hesaplanması en doğrudan ve güvenli yoldur.
Tahmini Süre:45s
Soru 8Soru →
Tanım kümesi gerçel sayılar olan ff fonksiyonu,
f(x)={3x+11,x<−12−x,x≥−1f(x) = \begin{cases} 3x + 11, & x < -1 \\ 2 - x, & x \ge -1 \end{cases}
kuralı ile veriliyor.
Buna göre, f(f(a))=5f(f(a)) = 5 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −13-\frac{1}{3}

Cevap

Eşitliği sağlayan ger��el sayıların toplamı −13-\frac{1}{3} değeridir.
Bileşke fonksiyon yapısında f(f(a))=5f(f(a)) = 5 eşitliğini çözmek için öncelikle f(a)=yf(a) = y denilerek dıştaki fonksiyon için f(y)=5f(y) = 5 denklemi çözülür. Parçalı fonksiyonun dalları incelendiğinde, y<−1y < -1 için 3y+11=5⇒y=−23y + 11 = 5 \Rightarrow y = -2 değeri aralık şartını sağladığından geçerlidir. y≥−1y \ge -1 için 2−y=5⇒y=−32 - y = 5 \Rightarrow y = -3 değeri ise aralık şartını sağlamadığından elenir. Dolayısıyla yalnızca f(a)=−2f(a) = -2 eşitliği çözülür. Buradan a<−1a < -1 için a=−13/3a = -13/3 ve a≥−1a \ge -1 için a=4a = 4 değerleri elde edilir. Bu iki gerçel sayının toplamı ise −1/3-1/3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon eşitliğini çözmek amacıyla dıştaki fonksiyonu ele alarak f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapmak.
f(y)=5f(y) = 5 denklemi elde edilir.
İç içe geçmiş fonksiyon yapısını basitleştirmek ve adım adım çözüm üretmek.
2
f(y)=5f(y) = 5 denklemini fonksiyonun her iki parçası için ayrı ayrı çözmek ve bulduğumuz yy değerlerinin tanımlı aralık şartlarını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
y<−1y < -1 dalı için: 3y+11=5⇒3y=−6⇒y=−23y + 11 = 5 \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2 bulunur. −2<−1-2 < -1 şartı sağlandığı için bu değer kabul edilir. y≥−1y \ge -1 dalı için: 2−y=5⇒y=−32 - y = 5 \Rightarrow y = -3 bulunur. Ancak −3≥−1-3 \ge -1 şartı sağlanmadığı için bu değer elenir.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda elde edilen değerlerin ilgili parçanın tanım aralığına uygun olması zorunludur.
3
Kabul edilen tek değer olan f(a)=−2f(a) = -2 denklemini, fonksiyonun kurallarına göre yine iki durum için ayrı ayrı çözmek.
a<−1a < -1 dalı için: 3a+11=−2⇒3a=−13⇒a=−1333a + 11 = -2 \Rightarrow 3a = -13 \Rightarrow a = -\frac{13}{3} bulunur. Bu değer şartı sağlar. a≥−1a \ge -1 dalı için: 2−a=−2⇒a=42 - a = -2 \Rightarrow a = 4 bulunur. Bu değer de şartı sağlar.
f(a)=−2f(a) = -2 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarını bulmak.
4
Bulunan geçerli aa değerlerini toplamak.
−133+4=−13-\frac{13}{3} + 4 = -\frac{1}{3} elde edilir.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda iç içe (bileşke) değer bulma ve aralık kontrolü yapılması
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için
f(2x−1)=x2+af(2x - 1) = x^2 + a
eşitliği sağlanmaktadır.
f(3)=11f(3) = 11 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İstenen fonksiyon değeri 8'dir.
Verilen f(2x−1)=x2+af(2x - 1) = x^2 + a kuralında f(3)=11f(3) = 11 bilgisini kullanmak için girdiyi 33 yapan değer belirlenir. Buradan 2x−1=3  ⟹  x=22x - 1 = 3 \implies x = 2 bulunur. Bulunan değer yerine yazıldığında f(3)=22+a  ⟹  11=4+a  ⟹  a=7f(3) = 2^2 + a \implies 11 = 4 + a \implies a = 7 olarak elde edilir. Fonksiyonun kuralı f(2x−1)=x2+7f(2x - 1) = x^2 + 7 şeklindedir. Bizden istenen f(1)f(1) değerini bulmak için girdiyi 11 yapan değer belirlenir: 2x−1=1  ⟹  x=12x - 1 = 1 \implies x = 1 olur. Bu değer kuralda yerine yazıldığında f(1)=12+7=8f(1) = 1^2 + 7 = 8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(3)=11f(3) = 11 eşitliğini kullanmak üzere, fonksiyonun girdisini 33 yapan xx değerini bulalım.
2x−1=3  ⟹  2x=4  ⟹  x=22x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2 bulunur.
Fonksiyonun kuralında verilen parantez içi ifadeyi bilinen girdi değerine eşitlememiz gerekir.
2
Bulduğumuz x=2x = 2 değerini fonksiyon kuralında yerine yazarak aa sabitini hesaplayalım.
f(2(2)−1)=22+a  ⟹  f(3)=4+a  ⟹  11=4+a  ⟹  a=7f(2(2) - 1) = 2^2 + a \implies f(3) = 4 + a \implies 11 = 4 + a \implies a = 7 elde edilir.
Fonksiyonun kuralını eksiksiz tanımlayabilmek için bilinmeyen sabit sayıyı bulmalıyız.
3
f(1)f(1) değerini bulabilmek için fonksiyonun girdisini 11 yapan xx değerini belirleyip fonksiyonda yerine koyalım.
2x−1=1  ⟹  2x=2  ⟹  x=12x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1 olur. Kuralda yerine yazarsak; f(1)=12+7=8f(1) = 1^2 + 7 = 8 bulunur.
Fonksiyonda istenen değeri hesaplamak için uygun bağımsız değişken değerini yerine yazarak işlemi tamamlarız.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonda belirli bir değer için sonuç bulunurken, fonksiyonun girdisini oluşturan ifadenin tamamı hedeflenen sayıya eşitlenerek değişkenin alması gereken değer belirlenir ve kuralda yerine yazılır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 10Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={x2−1,x<22x+a,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x < 2 \\ 2x + a, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

f(f(3))=15f(f(3)) = 15

eşitliğini sağlayan aa gerçek sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Koşulu sağlayan a gerçek sayılarının toplamı -9'dur.
Doğru cevap olan seçenekteki değer (-9), f(3) = 6 + a girdisinin parçalı fonksiyondaki sınır koşullarına göre iki ayrı durumda incelenmesiyle bulunur. Birinci durumda a < -4 koşulu altında a = -10 elde edilir. İkinci durumda a >= -4 koşulu altında a = 1 elde edilir. Bu değerlerin toplamı -9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak f(3) değerini bulmak için parçalı fonksiyonun tanım kümesi aralıkları incelenir.
3 sayısı 2'den büyük veya eşit olduğundan ikinci dal (2x + a) kullanılır. Buradan f(3) = 2(3) + a = 6 + a elde edilir.
Parçalı fonksiyonda girdinin aralığına uygun olan fonksiyon dalının seçilmesi gerekir.
2
Bulunan f(3) değeri f(f(3)) = 15 eşitliğinde yerine yazılarak yeni denklem oluşturulur.
f(6 + a) = 15 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği içteki fonksiyonun çıktısı, dıştaki fonksiyonun girdisi olur.
3
Girdi olan 6 + a ifadesinin 2'den küçük olduğu durum (6 + a < 2 yani a < -4) incelenir.
Bu durumda birinci dal kullanılır: (6 + a)^2 - 1 = 15. Buradan (6 + a)^2 = 16 bulunur. Çözüm olarak 6 + a = 4 veya 6 + a = -4 elde edilir. Buradan a = -2 veya a = -10 bulunur. Başlangıçtaki a < -4 koşulunu yalnızca a = -10 sağlar.
Parçalı fonksiyonun birinci dalının kullanılabilmesi için girdinin 2'den küçük olması koşulunun sağlanması şarttır.
4
Girdi olan 6 + a ifadesinin 2'den büyük veya eşit olduğu durum (6 + a >= 2 yani a >= -4) incelenir.
Bu durumda ikinci dal kullanılır: 2(6 + a) + a = 15. Denklemi düzenlersek 12 + 3a = 15, buradan 3a = 3 ve a = 1 bulunur. Bulunan a = 1 değeri a >= -4 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
Parçalı fonksiyonun ikinci dalının kullanılabilmesi için girdinin 2'den büyük veya eşit olması koşulunun sağlanması şarttır.
5
Bulunan geçerli a değerleri toplanır.
-10 + 1 = -9 elde edilir.
Soruda a gerçek sayılarının alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma işlemlerinde, girdinin ait olduğu aralığa göre uygun dalın seçilmesi ve bilinmeyen parametrelerin bu aralık koşullarına göre denetlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →
f(x+1)=2x−3f(x + 1) = 2x - 3
g(x−1)=x2+1g(x - 1) = x^2 + 1

eşitliklerini sağlayan ff ve gg fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, f(3)+g(1)f(3) + g(1) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen f(3) ve g(1) değerleri için gerekli x değişkenleri belirlenip fonksiyonlarda yerine yazıldığında toplamın sonucu 6 olarak elde edilir.
Fonksiyonların kurallarında girdiyi istenen değere ulaştıran bağımsız değişken değerleri doğru şekilde bulunmuş ve yerlerine yazılmıştır. f(x + 1) ifadesinde x + 1 = 3 için x = 2 yazılıp f(3) = 1 bulunmuştur. g(x - 1) ifadesinde x - 1 = 1 için x = 2 yazılıp g(1) = 5 bulunmuştur. Bu değerlerin toplamı 1 + 5 = 6 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(3) değerini hesaplamak amacıyla f(x + 1) ifadesinin girdisini 3 yapan x değeri bulunur.
x+1=3  ⟹  x=2x + 1 = 3 \implies x = 2
Fonksiyonun kuralını uygulamak için girdi değerine karşılık gelen bağımsız değişkenin bulunması gerekir.
2
Bulunan x = 2 değeri f(x + 1) = 2x - 3 eşitliğinde yerine yazılır.
f(3)=2(2)−3=1f(3) = 2(2) - 3 = 1
Fonksiyonun 3 noktasındaki değerini elde etmek için.
3
g(1) değerini hesaplamak amacıyla g(x - 1) ifadesinin girdisini 1 yapan x değeri bulunur.
x−1=1  ⟹  x=2x - 1 = 1 \implies x = 2
Fonksiyonun kuralını uygulamak için girdi değerine karşılık gelen bağımsız değişkenin belirlenmesi gerekir.
4
Bulunan x = 2 değeri g(x - 1) = x^2 + 1 eşitliğinde yerine yazılır.
g(1)=22+1=5g(1) = 2^2 + 1 = 5
g fonksiyonunun 1 noktasındaki değerini bulmak için.
5
Elde edilen f(3) ve g(1) değerleri toplanır.
f(3)+g(1)=1+5=6f(3) + g(1) = 1 + 5 = 6
Soru kökünde bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Alternatif Yöntem

Öncelikle fonksiyonların kuralları f(x) ve g(x) şeklinde elde edilebilir. f(x + 1) = 2x - 3 ifadesinde x yerine x - 1 yazılırsa f(x) = 2(x - 1) - 3 = 2x - 5 olur. Buradan f(3) = 2(3) - 5 = 1 elde edilir. g(x - 1) = x^2 + 1 ifadesinde x yerine x + 1 yazılırsa g(x) = (x + 1)^2 + 1 olur. Buradan g(1) = (1 + 1)^2 + 1 = 5 elde edilir. Toplamları ise 1 + 5 = 6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →
İki basamaklı xyxy doğal sayısı için bir ff fonksiyonu
f(xy)={2x+y,x<y3x−y,x≥yf(xy) = \begin{cases} 2x + y, & x < y \\ 3x - y, & x \ge y \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f(ab)=14f(ab) = 14 eşitliğini sağlayan en büyük iki basamaklı abab doğal sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

En büyük iki basamaklı ab sayısı 77'dir.
Elde edilen tüm iki basamaklı abab adayları {38,46,51,64,77}\{38, 46, 51, 64, 77\} kümesidir. Bu değerler arasında en büyük olanı 77'dir ve bu sayı a≥ba \ge b (7≥77 \ge 7) koşulunu sağladığından ikinci dal üzerinden f(77)=3(7)−7=14f(77) = 3(7) - 7 = 14 eşitliğini doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun parçalı yapısına göre abab sayısının basamakları için a<ba < b ve a≥ba \ge b durumlarını belirlemek.
x=ax = a ve y=by = b alınarak iki farklı dal incelenir.
f(ab)f(ab) değerini hesaplamak için basamakların büyüklük ilişkisine göre hangi kuralın uygulanacağını saptamak gerekir.
2
Birinci durum olan a<ba < b koşulunu incelemek: 2a+b=14  ⟹  b=14−2a2a + b = 14 \implies b = 14 - 2a denklemini çözmek.
bb bir rakam olduğundan 14−2a≤9  ⟹  2a≥5  ⟹  a≥314 - 2a \le 9 \implies 2a \ge 5 \implies a \ge 3 olur. a<b  ⟹  a<14−2a  ⟹  3a<14  ⟹  a≤4a < b \implies a < 14 - 2a \implies 3a < 14 \implies a \le 4 elde edilir. Bu aralıkta a=3  ⟹  b=8a = 3 \implies b = 8 (3838 sayısı) ve a=4  ⟹  b=6a = 4 \implies b = 6 (4646 sayısı) bulunur.
Birinci kuralı ve onun koşulunu sağlayan tüm iki basamaklı sayıları belirlemek için.
3
İkinci durum olan a≥ba \ge b koşulunu incelemek: 3a−b=14  ⟹  b=3a−143a - b = 14 \implies b = 3a - 14 denklemini çözmek.
bb bir rakam olduğundan 0≤3a−14≤9  ⟹  14≤3a≤23  ⟹  a∈{5,6,7}0 \le 3a - 14 \le 9 \implies 14 \le 3a \le 23 \implies a \in \{5, 6, 7\} olur. a≥b  ⟹  a≥3a−14  ⟹  2a≤14  ⟹  a≤7a \ge b \implies a \ge 3a - 14 \implies 2a \le 14 \implies a \le 7 elde edilir. Buradan a=5  ⟹  b=1a = 5 \implies b = 1 (5151 sayısı), a=6  ⟹  b=4a = 6 \implies b = 4 (6464 sayısı) ve a=7  ⟹  b=7a = 7 \implies b = 7 (7777 sayısı) bulunur.
İkinci kuralı ve onun koşulunu sağlayan tüm iki basamaklı sayıları belirlemek için.
4
Bulunan tüm çözümler içinden en büyük olanı seçmek.
Çözüm kümesi {38,46,51,64,77}\{38, 46, 51, 64, 77\} olup en büyük eleman 77'dir.
Soruda istenen en büyük iki basamaklı abab doğal sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve basamak analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={4−2x,x<1x−4,x≥1f(x) = \begin{cases} 4 - 2x, & x < 1 \\ x - 4, & x \ge 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f(f(a))=2f(f(a)) = 2 eşitliğini sağlayan aa gerçek sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitliği sağlayan gerçek sayıların toplamı 9'dur.
f(f(a))=2f(f(a)) = 2 eşitliğini sağlayan aa gerçek sayıları −1-1 ve 1010 değerleridir. Bu değerlerin toplamı −1+10=9-1 + 10 = 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(a))=2f(f(a)) = 2 eşitliğinde f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapılarak f(y)=2f(y) = 2 denklemi elde edilir.
f(y)=2f(y) = 2 denkleminin çözümü aranır.
Bileşke fonksiyonu dıştan içe doğru çözmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
f(y)=2f(y) = 2 eşitliği parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu iki aralık için ayrı ayrı çözülür:
- y<1y < 1 için: 4−2y=2  ⟹  −2y=−2  ⟹  y=14 - 2y = 2 \implies -2y = -2 \implies y = 1 elde edilir. Ancak bulduğumuz y=1y = 1 değeri y<1y < 1 koşulunu sağlamadığı için bu aralıktan bir çözüm gelmez.
- y≥1y \ge 1 için: y−4=2  ⟹  y=6y - 4 = 2 \implies y = 6 elde edilir. Bulduğumuz 66 değeri y≥1y \ge 1 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.
Geçerli aralık koşullarına göre f(a)=6f(a) = 6 elde edilir.
Parçalı fonksiyonlarda her bir aralık için elde edilen sonuçların, o aralığın tanım kümesine uygunluğu denetlenmelidir.
3
f(a)=6f(a) = 6 denklemi parçalı fonksiyonun aralıklarına göre çözülür:
- a<1a < 1 için: 4−2a=6  ⟹  −2a=2  ⟹  a=−14 - 2a = 6 \implies -2a = 2 \implies a = -1 elde edilir. Bulduğumuz −1-1 değeri a<1a < 1 koşulunu sağladığından geçerli bir çözümdür.
- a≥1a \ge 1 için: a−4=6  ⟹  a=10a - 4 = 6 \implies a = 10 elde edilir. Bulduğumuz 1010 değeri a≥1a \ge 1 koşulunu sağladığından geçerli bir çözümdür.
aa gerçek sayısının alabileceği değerler −1-1 ve 1010 olarak bulunur.
İçteki fonksiyonun değerini sağlayan girdi parametreleri belirlenir.
4
Bulunan geçerli aa değerleri toplanır: −1+10=9-1 + 10 = 9.
Toplamın sonucu 9 olarak hesaplanır.
Soruda istenen değerlerin toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon denklemlerinin çözümü.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için
f(n)={n−3,n tek isef(n2)+1,n c¸ift isef(n) = \begin{cases} n - 3, & n \text{ tek ise} \\ f\left(\frac{n}{2}\right) + 1, & n \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(a)=5f(a) = 5 eşitliğini sağlayan iki basamaklı aa doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

İki basamaklı a doğal sayılarının toplamı 150'dir.
Fonksiyon tanımına göre pozitif bir a sayısı a = 2^k * m (m tek sayı) olarak yazıldığında, f(a) = m - 3 + k eşitliği sağlanır. f(a) = 5 olması için m + k = 8 olmalıdır. m tek sayı ve k >= 0 koşulunu sağlayan iki basamaklı a değerleri 14, 40 ve 96'dır. Bu sayıların toplamı 150 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun kuralını a=2k⋅ma = 2^k \cdot m (mm tek sayı ve k≥0k \ge 0 tam sayı) genel gösterimi için ifade etmek.
f(a)=(m−3)+kf(a) = (m - 3) + k genel formülü elde edilir.
Çift sayılar için her 2'ye bölme işleminde fonksiyona 1 eklendiğinden, kk adet bölme işlemi sonunda tek sayı olan mm değerine ulaşılır.
2
f(a)=5f(a) = 5 eşitliğini genel formüle uygulamak ve mm ile kk arasındaki ilişkiyi bulmak.
(m−3)+k=5  ⟹  m+k=8(m - 3) + k = 5 \implies m + k = 8 denklemi elde edilir.
İstenen fonksiyon değerine ulaşmak için mm ve kk değişkenlerinin alabileceği değerlerin sınırlarını belirlemek gerekir.
3
mm değerinin tek sayı ve k≥0k \ge 0 tam sayı olması koşullarını kullanarak olası (m,k)(m, k) ikililerini ve bunlara karşılık gelen aa değerlerini belirlemek.
m=1  ⟹  k=7  ⟹  a=128m=1 \implies k=7 \implies a=128, m=3  ⟹  k=5  ⟹  a=96m=3 \implies k=5 \implies a=96, m=5  ⟹  k=3  ⟹  a=40m=5 \implies k=3 \implies a=40 ve m=7  ⟹  k=1  ⟹  a=14m=7 \implies k=1 \implies a=14 değerleri bulunur.
mm pozitif tek tam sayı olmak zorundadır, bu yüzden mm değeri sadece 1, 3, 5 ve 7 değerlerini alabilir.
4
Bulunan aa değerlerinden iki basamaklı olanları seçip toplamak.
İki basamaklı sayılar 14, 40 ve 96 olup, toplamları 14+40+96=15014 + 40 + 96 = 150 olarak hesaplanır.
Soru kökündeki 'iki basamaklı' koşulu gereği 128 değeri elenir ve kalan uygun değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Parçalı/İndirgemeli Fonksiyonlar
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 15Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için, her xx gerçel sayısı için
f(2x+1)=3⋅f(x)−x+2f(2x + 1) = 3 \cdot f(x) - x + 2
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(7)f(7) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Otuz sekiz
Verilen fonksiyonda sırasıyla x=1x = 1 yazılarak f(3)=13f(3) = 13 elde edilir, ardından x=3x = 3 yazılarak f(7)=3⋅13−3+2=38f(7) = 3 \cdot 13 - 3 + 2 = 38 değerine ulaşılır. Bu nedenle doğru cevap otuz sekizdir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon denkleminde f(3)f(3) değerine ulaşmak için xx yerine 11 yazılır.
f(2⋅1+1)=3⋅f(1)−1+2  ⟹  f(3)=3⋅4+1=13f(2 \cdot 1 + 1) = 3 \cdot f(1) - 1 + 2 \implies f(3) = 3 \cdot 4 + 1 = 13 bulunur.
f(1)f(1) değeri bilindiği için bu değerden yararlanarak bir sonraki adım olan f(3)f(3) elde edilir.
2
f(7)f(7) değerine ulaşmak için denklemde xx yerine 33 yazılır.
f(2⋅3+1)=3⋅f(3)−3+2  ⟹  f(7)=3⋅13−1=38f(2 \cdot 3 + 1) = 3 \cdot f(3) - 3 + 2 \implies f(7) = 3 \cdot 13 - 1 = 38 bulunur.
Bir önceki adımda bulunan f(3)=13f(3) = 13 değeri kullanılarak nihai hedef olan f(7)f(7) değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma işleminde, verilen bağımsız değişkenlerin yerine uygun değerlerin adım adım yazılarak istenen çıktıya ulaşılması.
Soru 16Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x+1)=a⋅x−1f(x + 1) = a \cdot x - 1
eşitliğini sağlamaktadır.
f(f(3))=11f(f(3)) = 11
olduğuna göre, pozitif aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Pozitif a gerçel sayısı 3 değerine eşittir.
Doğru cevaba ulaşmak için sırasıyla f(3) = 2a - 1 ve f(2a - 1) = 2a^2 - 2a - 1 = 11 adımları uygulanır. Buradan elde edilen ikinci dereceden denklemin pozitif kökü 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(3) değerini elde etmek amacıyla x + 1 = 3 denkleminden x = 2 değeri bulunur ve f(x + 1) ifadesinde yerine yazılır.
f(3) = 2a - 1 elde edilir.
İçteki f(3) ifadesinin değerini a cinsinden belirlemek.
2
Bulunan f(3) = 2a - 1 değeri f(f(3)) ifadesinde yerine yazılarak f(2a - 1) elde edilir.
f(f(3)) = f(2a - 1) olur.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği içteki değer dıştaki fonksiyonun girdisi yapılır.
3
f(2a - 1) değerini bulmak için x + 1 = 2a - 1 denkleminden x = 2a - 2 değeri bulunur ve f(x + 1) ifadesinde yerine yazılır.
f(2a - 1) = a(2a - 2) - 1 = 2a^2 - 2a - 1 elde edilir.
Fonksiyonun kuralını yeni girdi için uygulamak.
4
f(f(3)) = 11 eşitliği kullanılarak 2a^2 - 2a - 1 = 11 denklemi oluşturulur ve düzenlenir.
2a^2 - 2a - 12 = 0, buradan da a^2 - a - 6 = 0 denklemi elde edilir.
a bilinmeyenini bulmak için ikinci dereceden denklem elde etmek.
5
a^2 - a - 6 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılır ve pozitif kök belirlenir.
(a - 3)(a + 2) = 0 eşitliğinden a = 3 veya a = -2 bulunur. Pozitif gerçel sayı şartından dolayı a = 3 seçilir.
Denklemin köklerini bulup pozitif olanı belirlemek.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Bileşke İşlemi
Soru 17Soru →
Gerçel sayılar k��mesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+x⋅f(−x)=x2+3x+4f(x) + x \cdot f(-x) = x^2 + 3x + 4
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen f(2) değeri 2'dir.
Verilen fonksiyonda x yerine sırasıyla 2 ve -2 yazıldığında f(2) + 2f(-2) = 14 ve f(-2) - 2f(2) = 2 denklemleri elde edilir. İkinci denklemden f(-2) = 2f(2) + 2 değeri birinci denklemde yerine yazıldığında 5f(2) + 4 = 14 bağıntısı elde edilir ve buradan f(2) = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde x yerine 2 yazılır.
f(2) + 2f(-2) = 2^2 + 3(2) + 4 = 14 elde edilir.
f(2) ve f(-2) değerleri arasında birinci bağıntıyı kurmak amacıyla bu adım uygulanır.
2
Verilen denklemde x yerine -2 yazılır.
f(-2) - 2f(2) = (-2)^2 + 3(-2) + 4 = 2 elde edilir.
f(2) ve f(-2) değerleri arasında ikinci bağıntıyı kurarak iki bilinmeyenli bir sistem elde etmek amacıyla bu adım uygulanır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.
İkinci denklemden f(-2) = 2f(2) + 2 çekilir. Bu ifade birinci denklemde yerine yazıldığında: f(2) + 2(2f(2) + 2) = 14 => 5f(2) + 4 = 14 => 5f(2) = 10 => f(2) = 2 bulunur.
Sistemdeki bilinmeyenlerden f(2) değerini yalnız bırakıp çözüme ulaşmak amacıyla yerine koyma yöntemi uygulanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulmak için x değişkeni yerine uygun sayılar yazılarak elde edilen denklem sistemleri çözülür.
Soru 18Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu,

f(x)={2x+a,x<2x2−3,x≥2f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 2 \\ x^2 - 3, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

f(f(1))=6f(f(1)) = 6

olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen f(f(1))=6f(f(1)) = 6 eşitliğinde ilk olarak içteki f(1)f(1) hesaplanır. 1<21 < 2 olduğundan üstteki kural kullanılır ve f(1)=a+2f(1) = a + 2 bulunur. Daha sonra f(a+2)=6f(a+2) = 6 denklemi çözülür. Girdinin büyüklüğüne göre iki durum incelenir: a+2<2a+2 < 2 durumundan elde edilen a=2/3a = 2/3 değeri kabul edilen aralığa uymaz. a+2≥2a+2 \ge 2 durumundan elde edilen (a+2)2=9(a+2)^2 = 9 denkleminin köklerinden olan 11 değeri aralık koşulunu sağladığı için doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)f(1) değerini bulunuz.
f(1)=2(1)+a=a+2f(1) = 2(1) + a = a + 2
1<21 < 2 olduğu için fonksiyonun üstteki dalı olan 2x+a2x+a kuralı uygulanır.
2
f(f(1))=6f(f(1)) = 6 denklemini yazınız ve birinci dalı inceleyiniz.
a+2<2⇒a<0a+2 < 2 \Rightarrow a < 0 için f(a+2)=2(a+2)+a=3a+4=6⇒a=2/3f(a+2) = 2(a+2) + a = 3a+4 = 6 \Rightarrow a = 2/3
Eğer girdi a+2<2a+2 < 2 ise üstteki dal kullanıl��r. Ancak bulunan a=2/3a = 2/3 değeri a<0a < 0 koşulunu sağlamadığı için bu durumdan çözüm gelmez.
3
İkinci dalı inceleyiniz.
a+2≥2⇒a≥0a+2 \ge 2 \Rightarrow a \ge 0 için f(a+2)=(a+2)2−3=6⇒(a+2)2=9f(a+2) = (a+2)^2 - 3 = 6 \Rightarrow (a+2)^2 = 9
Eğer girdi a+2≥2a+2 \ge 2 ise alttaki dal kullanılır.
4
Elde edilen karesel denklemi çözüp koşulu kontrol ediniz.
a+2=3⇒a=1a+2 = 3 \Rightarrow a = 1 veya a+2=−3⇒a=−5a+2 = -3 \Rightarrow a = -5. a≥0a \ge 0 koşulunu sağlayan tek değer a=1a = 1'dir.
Karesi 9 olan sayılar 3 ve -3'tür. İkinci dalın geçerli olması için a≥0a \ge 0 olmalıdır, bu yüzden sadece 1 değeri kabul edilir.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Aralık Kontrolü
Soru 19Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu,

f(x)={3x−1,−2x≥−4x2+2,−2x<−4f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & -2x \ge -4 \\ x^2 + 2, & -2x < -4 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, f(3)+f(1)f(3) + f(1) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
Parçalı fonksiyonun kurallarını belirleyen −2x≥−4-2x \ge -4 eşitsizliği çözüldüğünde x≤2x \le 2 elde edilir. Dolayısıyla x>2x > 2 için fonksiyonun ikinci kuralı (x2+2x^2 + 2), x≤2x \le 2 için ise birinci kuralı (3x−13x - 1) geçerlidir. Bu durumda f(3)=32+2=11f(3) = 3^2 + 2 = 11 ve f(1)=3(1)−1=2f(1) = 3(1) - 1 = 2 olarak bulunur. Toplamları ise 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralıklarını belirlemek için eşitsizlikleri çözün.
−2x≥−4-2x \ge -4 eşitsizliğinin her iki tarafı −2-2'ye bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve x≤2x \le 2 elde edilir. Bu durumda ikinci aralık olan −2x<−4-2x < -4 ise x>2x > 2 olur.
Fonksiyonun hangi değer için hangi dalı kullanacağını belirlemek amacıyla eşitsizliklerin çözülmesi gerekir.
2
f(3)f(3) değerini hesaplayın.
3>23 > 2 olduğu için ikinci dal (x2+2x^2 + 2) kullanılır: f(3)=32+2=9+2=11f(3) = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11 bulunur.
Verilen girdi 3 sayısı 2'den büyük olduğu için fonksiyonun ikinci kuralına uyar.
3
f(1)f(1) değerini hesaplayın.
1≤21 \le 2 olduğu için birinci dal (3x−13x - 1) kullanılır: f(1)=3(1)−1=2f(1) = 3(1) - 1 = 2 bulunur.
Verilen girdi 1 sayısı 2'den küçük veya eşit olduğu için fonksiyonun birinci kuralına uyar.
4
Elde edilen değerleri toplayın.
f(3)+f(1)=11+2=13f(3) + f(1) = 11 + 2 = 13 elde edilir.
Soruda bizden bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve eşitsizlik çözümü
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 20Soru →

Bir ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır:

f(x)={2x+12,x<16−2x,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 12, & x < 1 \\ 6 - 2x, & x \ge 1 \end{cases}

Buna göre, f(f(x))=8f(f(x)) = 8 eşitliğini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Eşitliği sağlayan x gerçel sayılarının toplamı -3 değerine eşittir.
Bileşke fonksiyonun dıştan içe çözülmesiyle f(y) = 8 denklemini sağlayan tek geçerli y değeri y = -2 olarak bulunur. y = f(x) olduğundan f(x) = -2 denklemi çözülür ve parçalı fonksiyonun dallarından x = -7 ve x = 4 kökleri elde edilir. Bu köklerin toplamı -3 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak f(f(x)) = 8 eşitliğinde f(x) = y dönüşümü yapılır ve f(y) = 8 denklemi kurulur.
f(y) = 8 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyonun dış katmanını çözerek içteki f(x) ifadesinin alabileceği değerleri bulmak.
2
f(y) = 8 denklemi parçalı fonksiyonun y < 1 ve y >= 1 olmak üzere iki dalı için ayrı ayrı çözülür. Birinci dal için 2y + 12 = 8 denklemi, ikinci dal için 6 - 2y = 8 denklemi kurulur.
Birinci daldan y = -2 elde edilir ve -2 < 1 koşulunu sağladığı için geçerlidir. İkinci daldan y = -1 elde edilir ancak -1 >= 1 koşulunu sağlamadığı için geçersizdir. Buradan f(x) = -2 bulunur.
Parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu aralıklara göre değişkenin alabileceği uygun değerleri belirlemek.
3
f(x) = -2 denklemi parçalı fonksiyonun iki dalı için çözülür. x < 1 için 2x + 12 = -2 denklemi, x >= 1 için 6 - 2x = -2 denklemi kurulur.
Birinci daldan x = -7 (koşulu sağlar) ve ikinci daldan x = 4 (koşulu sağlar) elde edilir.
İçteki fonksiyonun alabileceği değere karşılık gelen tüm x gerçel sayılarını bulmak.
4
Bulunan geçerli x değerleri toplanır: (-7) + 4.
-3
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon denklemlerinde değişken dönüşümü yapılması ve parçalı fonksiyonlarda elde edilen köklerin tanım aralıklarına uygunluğunun denetlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Fonksiyonlarda Değer Bulma Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin