Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları, her

x

gerçel sayısı için

(f + 2g)(x) = 3x^2 - x + 4

(2f - g)(x) = x^2 + 3x - 2

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $(f \cdot g)(2)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İstenen

(f \cdot g)(2)

değeri 24 olarak bulunur.

Verilen iki fonksiyon denkleminde

x = 2

yazılarak

f(2) + 2g(2) = 14

ve

2f(2) - g(2) = 8

denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde

f(2) = 6

ve

g(2) = 4

bulunur. Fonksiyonlarda çarpma işleminin tanımı gereği

(f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = 6 \cdot 4 = 24

sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliklerde

x = 2

yazılarak

f(2)

ve

g(2)

değerlerine bağlı denklemleri oluşturalım.

f(2) + 2g(2) = 14

ve

2f(2) - g(2) = 8

elde edilir.

x = 2

noktasındaki fonksiyon değerlerini bulmak amacıyla değişkenlerin yerine 2 yazarız.

2

f(2) = u

ve

g(2) = v

d��nüşümü ile elde edilen sistemi çözelim.

u = 6

ve

v = 4

bulunur, yani

f(2) = 6

ve

g(2) = 4

olur.

İkinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklemle topladığımızda

5u = 30 \implies u = 6

elde edilir. Bu değer denklemlerden birinde yerine yazıldığında

v = 4

bulunur.

3

Fonksiyonlarda çarpma işlemi kuralını uygulayarak sonuca ulaşalım.

(f \cdot g)(2) = 6 \cdot 4 = 24

olarak bulunur.

Çarpım fonksiyonunun bir noktadaki değeri, fonksiyonların o noktadaki değerlerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda dört işlem kuralları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, bire bir ve örten $f$ ve $g$ fonksiyonları için

f(x) = 2x + 5

(f \circ g)^{-1}(x) = 3x - 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $g(2)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

g(2) değeri -2'dir.

Verilen

(f \circ g)^{-1}(x) = 3x - 1

eşitliğinde ters fonksiyon tanımı kullanıldığında

(f \circ g)(3x - 1) = x

yani

f(g(3x - 1)) = x

eşitliğine ulaşılır.

f(x) = 2x + 5

kuralı uygulandığında

2g(3x - 1) + 5 = x

denklemi elde edilir. Buradan

g(3x - 1) = \frac{x - 5}{2}

bulunur. İstenen

g(2)

değerini elde etmek amacıyla parantez içini 2'ye eşitlemek için

3x - 1 = 2 \implies x = 1

seçilir. Sonuç olarak

g(2) = \frac{1 - 5}{2} = -2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ters fonksiyon tanımını kullanarak bileşke fonksiyonun kendisini elde etme.

f(g(3x - 1)) = x

Bir fonksiyonun tersi için

h^{-1}(x) = y \iff h(y) = x

kuralı geçerlidir.

2

f(x) = 2x + 5

kuralını bileşke ifadesinde yerine yazma.

2g(3x - 1) + 5 = x

f(g(3x - 1))

ifadesini elde etmek için

f

fonksiyonundaki girdi yerine

g(3x - 1)

yazılır.

3

g(3x - 1)

ifadesini yalnız b��rakma.

g(3x - 1) = \frac{x - 5}{2}

Eşitliğin her iki tarafından 5 çıkarılıp 2'ye bölünerek

g

fonksiyonunun kuralına ulaşılır.

4

g(2)

değerini hesaplamak için uygun

x

değerini bulup yerine koyma.

3x - 1 = 2 \implies x = 1

için

g(2) = \frac{1 - 5}{2} = -2

Fonksiyonun girdisini 2 yapmak için gereken bağımsız değişken değeri belirlenir ve fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Tersi ve Değer Bulma

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 3 \text{ ise} \\ 10 - x, & x \geq 3 \text{ ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f(1) + f(4)$ toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

f(1) + f(4) toplamının değeri 13'tür.

f(1) değerini bulmak için x = 1 değeri x < 3 aralığına uyduğundan 2x + 5 formülünde yerine yazılarak 7 bulunur. f(4) değerini bulmak için x = 4 değeri x >= 3 aralığına uyduğundan 10 - x formülünde yerine yazılarak 6 bulunur. Bu iki değerin toplamından 7 + 6 = 13 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(1) değerini hesaplama

f(1) = 7

1 sayısı 3'ten küçük olduğu için fonksiyonun üst dalındaki 2x + 5 kuralı uygulanır.

2

f(4) değerini hesaplama

f(4) = 6

4 sayısı 3'ten büyük veya eşit olduğu için fonksiyonun alt dalındaki 10 - x kuralı uygulanır.

3

Değerlerin toplamını bulma

7 + 6 = 13

İstenen f(1) + f(4) toplamına ulaşmak için bulduğumuz iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda bir noktadaki fonksiyon değerini bulmak için noktanın yer aldığı aralığa karşılık gelen kural kullanılır.

Soru 4Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan bir

f

çift fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(x) + x \cdot f(-x) = 2x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + 3

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $a + b + f(1)$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İşlemler sonucunda a + b + f(1) toplamının değeri 10 olarak bulunur.

Verilen

f

fonksiyonunun çift olma özelliği (

f(-x) = f(x)

) kullanılarak fonksiyonel denklem düzenlenir. Denklemde kritik noktalar (

x = -1

,

x = 1

,

x = 2

,

x = -2

) yerine yazılarak elde edilen denklem sisteminden

a = 2

,

b = 3

ve

f(1) = 5

değerleri tek türlü belirlenir. Bu değerlerin toplamı

10

yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Çift fonksiyon özelliğini kullanarak fonksiyonel denklemi düzenlemek

f(x) \cdot (1+x) = 2x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + 3

f

çift fonksiyon olduğundan her

x

için

f(-x) = f(x)

eşitliği geçerlidir.

2

x = -1

değerini denklemde yerine yazarak

a

ve

b

arasında ilk ilişkiyi bulmak

b - a = 1

x = -1

için eşitliğin sol tarafı

f(-1) \cdot 0 = 0

olur, bu durumda sağ taraf da sıfıra eşit olmalıdır.

3

x = 2

ve

x = -2

değerlerini yazıp

f(2) = f(-2)

eşitliğini kullanarak ikinci bir ilişki elde etmek

4a - b = 5

x = 2

için

3f(2) = 4a + 2b + 19

ve

x = -2

için

-f(-2) = 4a - 2b - 13

denklemleri taraf tarafa oranlanarak veya yok etme metoduyla çözülür.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek

a

ve

b

katsayılarını bulmak

a = 2

ve

b = 3

b = a + 1

ifadesi

4a - b = 5

denkleminde yerine yazıldığında

3a = 6 \Rightarrow a = 2

ve

b = 3

bulunur.

5

x = 1

yazarak

f(1)

değerini hesaplamak ve istenen toplamı bulmak

f(1) = 5

ve

a + b + f(1) = 10

2f(1) = 2 + a + b + 3

e��itliğinde bulunan değerler yerine yazıldığında

f(1) = 5

elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun çift fonksiyon olması durumunda

f(-x) = f(x)

eşitliğinin sağlanması ve polinom eşitliği kuralları.

Soru 5Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten bir

f

fonksiyonu için

x = \frac{3 \cdot f(x) - 5}{2 \cdot f(x) + 4}

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $f^{-1}(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangidir?

\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}

\mathbb{R} \setminus \{-2\}

\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{5}{4}\right\}

\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{5}{3}\right\}

\mathbb{R} \setminus \{2\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \mathbb{R} \setminus \{-2\}

Cevap

\mathbb{R} \setminus \{-2\}

Ters fonksiyon tanımı gereği, verilen bağıntıda

x

yalnız bırakıldığı için

f(x)

yerine

x

yazılmasıyla

f^{-1}(x) = \frac{3x-5}{2x+4}

elde edilir. Bu rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapan

x = -2

değeri tanım kümesinde olamayacağından, en geniş tanım kümesi

\mathbb{R} \setminus \{-2\}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

yerine

y

yazılarak eşitlik düzenlenir.

x = \frac{3y - 5}{2y + 4}

elde edilir.

Değişken dönüşümü yaparak ters fonksiyon tanımını uygulamak kolaylaştırılır.

2

Ters fonksiyon tanımı olan

f(y) = x \iff f^{-1}(x) = y

ilişkisi kullanılır.

f^{-1}(y) = \frac{3y - 5}{2y + 4}

olur. Değişken

x

cinsinden yazılırsa

f^{-1}(x) = \frac{3x - 5}{2x + 4}

bulunur.

Eşitlikte

x

yalnız bırakılmış olduğundan, doğrudan ters fonksiyonun kuralına geçiş yapılır.

3

Elde edilen rasyonel fonksiyonun paydayı sıfır yapan değeri bulunur ve reel sayılardan çıkarılır.

2x + 4 = 0 \implies x = -2

olup en geniş tanım kümesi

\mathbb{R} \setminus \{-2\}

olarak bulunur.

Rasyonel ifadeler payda sıfır olduğunda tanımsızdır, bu yüzden bu nokta tanım kümesinden çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanım kümesi

Soru 6Soru →

Aşağıda tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen fonksiyonlardan hangisi bire bir ve örten bir fonksiyondur?

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

f(x) = x^2

f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

,

f(x) = 3x - 1

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

f(x) = 4 - x

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

,

f(x) = x + 3

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

f(x) = |x|

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x) = 4 - x$

Cevap

Gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlı ve kuralı

f(x) = 4 - x

olan fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.

Gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlı

f(x) = 4 - x

fonksiyonunda, her farklı

x

gerçel sayısı için farklı bir

y

değeri elde edilir ve değer kümesindeki her gerçel sayının tanım kümesinde bir karşılığı (

x = 4 - y

) bulunur. Bu nedenle bu fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.

Adım Adım Çözüm

1

Bire birlik tanımını kontrol etmek.

f(a) = f(b) \implies 4 - a = 4 - b \implies a = b

elde edilir. Bu durum, tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsünün de farklı olduğunu gösterir. Dolayısıyla fonksiyon bire birdir.

Bir fonksiyonun bire bir olması için tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir.

2

Örtenlik tanımını kontrol etmek.

Değer kümesinden seçilen herhangi bir

y \in \mathbb{R}

için

4 - x = y \implies x = 4 - y

olur. Her

y

gerçel sayısı için

4 - y

de bir gerçel sayı olduğundan tanım kümesinde her zaman bir karşılığı vardır.

Değer kümesinde açıkta eleman kalmaması, yani değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir elemanla eşleşmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bire bir ve örten olması, tanım ve değer kümelerindeki elemanların bire bir eşleşmesine ve değer kümesinde açıkta eleman kalmamasına bağlıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

Aşağıda tanım ve de��er kümeleri ile kuralları verilen bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir?

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

,

f(x) = x - 5

g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

,

g(x) = \frac{x + 1}{2}

h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

h(x) = \frac{3}{x - 2}

k: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}

,

k(x) = \sqrt{2 - x}

s: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

,

s(x) = 2x - 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $s: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ , $s(x) = 2x - 3$

Cevap

s: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

,

s(x) = 2x - 3

bağıntısı

s: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

,

s(x) = 2x - 3

bağıntısında tanım kümesindeki her

x

tam sayısı için

2x-3

değeri de her zaman bir tam sayı (yani değer kümesinin elemanı) olur. Ayrıca her elemanın yalnızca bir görüntüsü olduğu için bu bağıntı bir fonksiyon belirtir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyon olma şartlarının belirlenmesi

Bir bağıntının fonksiyon belirtebilmesi için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnız bir görüntüsü olmalı ve tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

Fonksiyon tanımının temel kurallarını uygulamak için.

2

Bağıntıların kurallarının ve sayı kümelerinin incelenmesi

Seçeneklerdeki sayı kümeleri (

\mathbb{N}

,

\mathbb{Z}

,

\mathbb{R}

,

\mathbb{R}^+

) dikkate alınarak her bağıntının elemanları eşleyip eşlemediği kontrol edilir.

Sayı kümelerinin özelliklerinin (örneğin doğal sayıların 0'dan başlaması, tam sayıların küsuratlı olmaması vb.) fonksiyon kuralına etkisini belirlemek için.

3

Doğru seçeneğin doğrulanması

s(x) = 2x - 3

kuralı her

x

tam sayısı için benzersiz bir

2x-3

tam sayısı üretir. Dolayısıyla

s: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

bağıntısı bir fonksiyondur.

Tanım kümesindeki hiçbir elemanın açıkta kalmadığını ve her elemanın tek bir tam sayıya gittiğini göstermek için.

Anahtar Kavram

Fonksiyon Olma Şartları ve Tanım Kümesi İlişkisi

Soru 8Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanıml��

f

doğrusal fonksiyonu için

f(1) = 5

f(3) = 11

olduğuna göre,

f(0)

değeri kaçtır?

3

5

2

8

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2

Doğrusal fonksiyonlar

f(x) = ax + b

biçiminde tanımlanır. Verilen

f(1) = 5

ifadesinden

a + b = 5

ve

f(3) = 11

ifadesinden

3a + b = 11

eşitlikleri elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında

2a = 6 \implies a = 3

olur. Bulunan değer birinci denklemde yerine yazıldığında

3 + b = 5 \implies b = 2

bulunur. Bizden istenen

f(0)

değeri doğrudan

b

sabitine eşit olduğundan doğru yanıt 2 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrusal fonksiyonun genel formülü yazılır.

f(x) = ax + b

şeklinde bir denklem kurulur.

Doğrusal fonksiyonlar genel olarak birinci dereceden bir bilinmeyenli ifadelerdir.

2

Verilen

f(1) = 5

ve

f(3) = 11

değerleri formülde yerine yazılır.

a + b = 5

ve

3a + b = 11

denklemleri elde edilir.

Fonksiyondaki değişkenlerin yerine verilen değerler yazılarak katsayılara bağlı bir denklem sistemi oluşturulur.

3

Oluşturulan iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.

3a + b = 11

denkleminden

a + b = 5

denklemi çıkarılarak

2a = 6 \implies a = 3

bulunur.

İki denklem arasındaki fark alınarak sabit terim olan

b

yok edilir ve eğim katsay��sı olan

a

değeri hesaplanır.

4

Bulunan

a = 3

değeri denklemlerden birinde yerine yazılarak

b

hesaplanır.

3 + b = 5 \implies b = 2

olarak elde edilir.

Sistemdeki bilinmeyenlerden bir diğeri olan sabit terimin bulunması hedeflenir.

5

f(0)

değeri genel fonksiyon formülünde yerine yazılarak hesaplanır.

f(0) = a \cdot 0 + b = b = 2

bulunur.

Fonksiyonun sıfır noktasındaki değeri doğrudan sabit terimi olan

b

değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Doğrusal fonksiyon denklemi kurma ve iki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla katsayıları bulma.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 9Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten bir

f

fonksiyonu i��in

f(x) = \frac{ax + 4}{bx - 2}

ve

f(x) = f^{-1}(x)

eşitlikleri sağlanmaktadır.

$f(3) = 10$ olduğuna göre, $f(a+b+1)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

f(a+b+1)

değeri

6

olarak bulunur.

Verilen

f(x) = f^{-1}(x)

koşulundan

a = 2

elde edilir. Ardından

f(3) = 10

eşitliğinden

b = 1

bulunur. Son olarak

f(a+b+1) = f(4)

değeri fonksiyonda yerine yazılarak

6

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunun tersini bulup

f(x) = f^{-1}(x)

eşitliğini kurmak

a = 2

Bir rasyonel fonksiyonun kendisiyle tersinin eşit olabilmesi için paydaki

x

'li terimin katsayısı ile paydadaki sabit terimin zıt işaretli ve eşit olması gerekir.

2

f(3) = 10

değerini fonksiyonda yerine yazarak

b

değerini bulmak

b = 1

Fonksiyonun tam kuralını elde etmek için bilinmeyen

b

katsayısı bulunmalıdır.

3

İstenen

f(a+b+1)

ifadesini

f(4)

şeklinde yazıp hesaplamak

6

a = 2

ve

b = 1

değerleri yerine yazıldığında aranan ifade

f(4)

olur ve

f(4) = \frac{2(4)+4}{4-2} = 6

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun tersi kendisine eşit olduğunda, paydaki

x

'in katsayısı ile paydadaki sabit terim yer ve işaret değiştirerek birbirine eşitlenir.

Soru 10Soru →

a

ve

b

birer gerçel sayı olmak üzere,

f: [a, \infty) \rightarrow [b, \infty)

f(x) = x^2 - 4x + 7

fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

Buna göre, $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

3

4

5

7

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5

Fonksiyonun bire bir olması için tanım kümesi parabolün tepe noktasının apsisi olan 2'den başlamalı veya 2'den büyük olmalıdır (

a \geq 2

). Örtenlik şartı gereği değer kümesinin başlangıç sınırı olan

b

, tanım kümesindeki en küçük elemanın görüntüsüne eşit olmalıdır (

b = f(a) = a^2 - 4a + 7

). Bu durumda elde edilen

a^2 - 3a + 7

ifadesi,

a \geq 2

koşulu altında en küçük değerini sınır noktası olan

a = 2

için alır ve toplam 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesi sınırın�� belirlemek.

a \geq 2

olmalıdır.

f(x) = x^2 - 4x + 7

parabolünün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-4}{2(1)} = 2

olup, fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesi tepe noktasının sağında veya solunda olmalıdır. Tanım kümesi

[a, \infty)

şeklinde verildiğinden

a \geq 2

olmalıdır.

2

Fonksiyonun örten olabilmesi için değer kümesi sınırını belirlemek.

b = a^2 - 4a + 7

olmalıdır.

a \geq 2

aralığında

f(x)

artan bir fonksiyondur. Dolayısıyla en küçük değerini

x = a

noktasında alır ve görüntü kümesi

[f(a), \infty)

olur. Fonksiyonun örten olması için değer kümesi

[b, \infty)

ile görüntü kümesi eşit olmalıdır, yani

b = f(a) = a^2 - 4a + 7

olmalıdır.

3

a + b

toplamını tek değişken cinsinden yazıp en k��çük değerini bulmak.

En küçük değer 5'tir.

a + b = a + (a^2 - 4a + 7) = a^2 - 3a + 7

elde edilir. Bu ifadenin tepe noktası

1,5

değerindedir. Ancak

a \geq 2

olması gerektiğinden, ifade

a = 2

sınır değerinde en küçük değerini alır. Buradan

2^2 - 3(2) + 7 = 5

bulunur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabol) kısıtlı aralıklarda bire bir ve örten olma koşulları

Alternatif Yöntem

Grafik çizilerek tepe noktasından itibaren fonksiyonun sadece sağ kolunun (

x \geq 2

) alındığı görselleştirilebilir. Bu kolda fonksiyonun daima artan olduğu görülür. En küçük

a+b

değerini bulmak için sınır noktası olan tepe noktasının koordinatları

(2, 3)

doğrudan kullanılarak

2 + 3 = 5

toplamına ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 11Soru →

$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ olmak üzere,

f(x) = 2x + 1

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hem bire bir hem de örten bir fonksiyondur.

Bire birdir fakat örten değildir.

Örtendir fakat bire bir değildir.

Ne bire bir ne de örtendir.

Tanım kümesindeki bazı elemanların değer kümesinde karşılığı olmadığı için fonksiyon değildir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bire birdir fakat örten değildir.

Cevap

Bire birdir fakat örten değildir.

Bire birdir fakat örten değildir ifadesi doğrudur. Çünkü her farklı tam sayının iki katının bir fazlası da farklıdır, bu da bire birliği sağlar. Ancak değer kümesindeki çift sayılar boşta kalır çünkü hiçbir tam sayının iki katının bir fazlası çift sayı olamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Bire birlik özelliğinin incelenmesi

Tanım kümesindeki her

x_1, x_2 \in \mathbb{Z}

için

f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2

bulunur.

Farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması bire birliğin tanımıdır. Bu eşitlik fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir.

2

Örtenlik özelliğinin genel analizi

Değer kümesindeki herhangi bir

y \in \mathbb{Z}

için

y = 2x + 1 \Rightarrow x = \frac{y-1}{2}

elde edilir.

Değer kümesindeki her

y

tam sayısına karşılık gelen

x

değerinin tanım kümesi olan

\mathbb{Z}

'de olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

3

Örtenliği bozan karşıt örneğin bulunması

Örneğin

y = 2

için

x = \frac{1}{2}

olur. Ancak

\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}

olduğundan, değer kümesindeki 2 çift tam sayısının tanım kümesinde bir karşılığı yoktur.

Değer kümesinde en az bir eleman boşta kaldığı için fonksiyon örten değildir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için tanım ve değer kümelerinin eleman özelliklerinin sağlanması gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Bire bir ve örten fonksiyonlar; tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleştiği ve değer kümesinde açıkta eleman kalmadığı fonksiyonlardır.

Buna göre, aşağıda tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen fonksiyonlardan hangisi bire bir ve örten bir fonksiyondur?

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

,

f(x) = x + 3

f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

,

f(x) = 3x

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

f(x) = x^2 - 1

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

f(x) = 2x - 5

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}

,

f(x) = x^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x - 5$

Cevap

Reel sayılardan reel sayılara tanımlı ve her x elemanını 2x - 5 değerine götüren fonksiyon

Reel sayılardan reel sayılara tanımlı

2x - 5

fonksiyonunda, her farklı girdinin farklı çıktısı vardır ve değer kümesindeki her reel sayının tanım kümesinde bir karşılığı bulunur. Bu yüzden hem bire bir hem de örtendir.

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerdeki fonksiyonların bire bir olma durumunu kontrol etme.

Doğal sayılar kümesinde

x + 3

, tam sayılar kümesinde

3x

, reel sayılarda

2x - 5

ve doğal sayılardan tam sayılara

x^2

fonksiyonları bire birdir. Ancak reel sayılarda tanımlı

x^2 - 1

fonksiyonunda

f(1) = f(-1) = 0

olduğundan bire birlik bozulur.

Bire bir fonksiyon tanımına göre farklı girdilerin farklı çıktılara gitmesi gerekir.

2

Seçeneklerdeki fonksiyonların örten olma durumunu tanım ve değer kümelerine göre kontrol etme.

Doğal sayılarda

x + 3

fonksiyonunda

0, 1, 2

açıkta kalır. Tam sayılarda

3x

fonksiyonunda

3

'ün katı olmayan tam sayılar açıkta kalır. Doğal sayılardan tam sayılara

x^2

fonksiyonunda negatif tam sayılar açıkta kalır. Oysa

2x - 5

fonksiyonunda her reel sayı için

x = \frac{y+5}{2}

reel sayısı bulunabileceğinden değer kümesinde açıkta eleman kalmaz.

Örten fonksiyon tanımına göre değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanım ve değer kümelerine bağlı olarak bire birlik ve örtenlik özelliklerinin incelenmesi.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 13Soru →

Gerçek say��lar kümesinde tanımlı

f(x) = \begin{cases} 3x - m, & x \leq 2 \\ x^2 - 4x + n, & x > 2 \end{cases}

fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre,

m + n

toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

2

6

10

8

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10

Fonksiyonun gerçek sayılar kümesinde bire bir ve örten olabilmesi için parçalı tanımlanan doğrusal kısım ile parabolik kısmın görüntü kümelerinin sınır noktasında boşluk veya çakışma yaratmayacak şekilde birleşmesi gerekir.

x \leq 2

için doğrusal kısmın alabileceği en büyük değer

6 - m

,

x > 2

için parabolik kısmın tepe noktasından (

x=2

) itibaren aldığı değerler ise

n - 4

'ten büyüktür. Bu iki sınır değerinin eşit olması durumunda (

6 - m = n - 4

) fonksiyon tüm gerçek sayılarda hem bire bir hem de örten olur. Buradan

m + n = 10

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrusal parçanın (

x \leq 2

) görünt�� kümesini belirlemek.

x \leq 2

için

f(x) = 3x - m

doğrusal fonksiyonu tanımlıdır. Eğim pozitif olduğundan fonksiyon artandır ve en büyük değerini sınır noktası olan

x = 2

değerinde alır. Bu değer

f(2) = 6 - m

olup, doğrusal parçanın görüntü kümesi

(-\infty, 6 - m]

aralığıdır.

Parçalı fonksiyonun genel görüntü kümesini belirlemek ve bire bir/örtenlik analizini yapmak için her bir parçanın sınır değerlerini ve yönünü belirlememiz gerekir.

2

Parabolik parçanın (

x > 2

) görüntü kümesini belirlemek.

x > 2

için

f(x) = x^2 - 4x + n

ikinci dereceden fonksiyonu tanımlıdır. Bu parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-4}{2} = 2

değeridir. Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan ve tepe noktası sınır değerinde bulunduğundan,

x > 2

aralığında fonksiyon daima artandır. Sınır noktası olan

x = 2

için parabolün limiti

2^2 - 4(2) + n = n - 4

olur. Dolayısıyla bu parçanın görüntü kümesi

(n - 4, \infty)

aralığıdır.

Parabolün artan/azalan olduğu aralığı belirlemek ve görüntü kümesinin sınır değerini bulmak için tepe noktasını analiz etmemiz gerekir.

3

Görüntü kümelerini bire bir ve örtenlik koşuluna göre eşitlemek.

Fonksiyonun gerçek sayılarda tanımlı ve örten olabilmesi için her iki parçanın görüntü kümelerinin birleşimi tüm gerçek sayıları (

\mathbb{R}

) oluşturmalıdır. Bire bir olması için ise görüntü kümelerinin kesişimi boş küme olmalıdır. Bu koşullar��n aynı anda sağlanması ancak sınır değerlerinin birbirine eşit olmasıyla mümkündür:

6 - m = n - 4 \implies m + n = 10

elde edilir.

Görüntü kümelerinde boşluk (tanımsızlık/örten olmama) veya çakışma (bire bir olmama) durumunu engellemek için sınır değerleri eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların bire bir ve örtenliği

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun grafiğini çizerek doğrusal parça ile parabolik parçanın

x = 2

apsisli sınır noktasında kopma veya üst üste gelme (çakışma) olmadan birleşmesi gerektiğini görsel olarak görmek de çözüme ulaştırır.

x=2

için

3(2)-m = 2^2-4(2)+n

eşitliğinden doğrudan

m+n=10

bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 14Soru →

Tanım kümesi $A = \{-1, 0, 2\}$ ve değer kümesi $B = \{1, 2, 5\}$ olan bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu,

f(x) = x^2 + 1

kuralı ile tanımlanıyor. Buna göre, $f$ fonksiyonunun bire bir ve örtenlik durumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bire birdir fakat örten değildir

Örtendir fakat bire bir değildir

Bire bir ve örten bir fonksiyondur

Bire bir değildir ve örten değildir

Fonksiyon belirtmez

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bire bir ve örten bir fonksiyondur

Cevap

Bire bir ve örten bir fonksiyondur

Fonksiyonun tanım kümesindeki tüm elemanların görüntüleri (

f(-1)=2

,

f(0)=1

,

f(2)=5

) birbirinden farklı olduğu için fonksiyon bire birdir. Görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşit (

f(A)=B

) olduğundan ve değer kümesinde açıkta eleman kalmadığından fonksiyon örtendir. Bu nedenle fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesindeki her bir elemanın fonksiyon altındaki görüntüsünü hesaplayalım.

f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2

,

f(0) = 0^2 + 1 = 1

ve

f(2) = 2^2 + 1 = 5

olarak bulunur.

Fonksiyonun bire bir ve örten olup olmadığını incelemek için elemanların eşleştiği değerleri bulmamız gerekir.

2

Fonksiyonun örtenlik durumunu inceleyelim.

Görüntü kümesi

f(A) = \{1, 2, 5\}

olur. Değer kümesi

B = \{1, 2, 5\}

olduğuna göre,

f(A) = B

eşitliği sağlanır.

Görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşit olduğunda değer kümesinde açıkta eleman kalmaz ve fonksiyon örten olur.

3

Fonksiyonun bire birlik durumunu inceleyelim.

f(-1) = 2

,

f(0) = 1

ve

f(2) = 5

değerlerinin hepsi birbirinden farklıdır.

Tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü de farklı olduğundan fonksiyon bire birdir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların görüntüleri birbirinden farklı ise fonksiyon bire bir, değer kümesindeki tüm elemanlar en az bir elemanla eşleşmiş ise fonksiyon örtendir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesi üzerinde tanımlı olan

f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9}} + \sqrt{5 - |x|}

fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

En geniş tanım kümesinde 9 farklı tam sayı de��eri vardır.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, köklü ifadelerin içlerinin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması koşullarını sağlayan

[-5, -3) \cup [-2, 3) \cup [4, 5]

kümesidir. Bu kümedeki tam sayılar

\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5\}

olup toplamda 9 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

Köklerin tanımlı olma şartlarının belirlenmesi

\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \geq 0

ve

5 - |x| \geq 0

eşitsizlik sisteminin elde edilmesi.

Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içinin negatif olmaması ve rasyonel ifadelerin paydasının sıfır olmaması şartını uygulamak gerekir.

2

Rasyonel ifadenin eşitsizliğinin çözülmesi

Rasyonel ifadenin tanım aralığının

T_1 = (-\infty, -3) \cup [-2, 3) \cup [4, \infty)

olarak bulunması.

İşaret tablosu yardımıyla rasyonel ifadenin işaret değişimlerini incelemek ve paydayı sıfır yapan noktaları hariç tutarak payı sıfır yapan noktaları dahil etmek.

3

Mutlak değerli kök ifadesinin eşitsizliğinin çözülmesi

İkinci ifadenin tanım aralığının

T_2 = [-5, 5]

olarak bulunması.

|x| \leq 5

eşitsizliğini gerçek sayılarda çözerek sınırları belirlemek.

4

İki tanım kümesinin kesişiminin alınması ve tam sayıların sayılması

En geniş tanım kümesinin

[-5, -3) \cup [-2, 3) \cup [4, 5]

olarak bulunması ve bu kümedeki tam sayıların

\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5\}

olmak üzere 9 adet olarak hesaplanması.

Fonksiyonun her iki bileşeninin de aynı anda tanımlı olduğu ortak tanım kümesini bulmak ve bu kümedeki tam sayıları belirlemek.

Anahtar Kavram

Fonksiyon kavramı ve en geniş tanım kümesinin bulunması için rasyonel, köklü ve mutlak değerli ifadelerin eşitsizlik çözümlerinin kesişiminin alınması.

Soru 16Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ olmak üzere, $f: A \rightarrow A$ tanımlı bire bir ve örten bir $f$ fonksiyonu için,

f(1) + f(2) = 5

f(2) + f(3) = 7

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(4)$ ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

1

2

3

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

f(4) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 3'tür.

Bire bir ve örtenlik kuralları uygulandığında,

f(2) + f(3) = 7

eşitliğini sağlayan tek ikilinin

\{3, 4\}

olduğu görülür. Buradan çıkan iki olası eşleşme durumu incelendiğinde,

f(4)

'ün alabileceği değerler 1 ve 2 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun bire bir ve örtenlik özelliklerini tanım kümesi üzerinde analiz etmek.

f(1)

,

f(2)

,

f(3)

ve

f(4)

değerleri

\{1, 2, 3, 4\}

kümesinin elemanları ile bire bir eşleşmelidir. Dolayısıyla bu değerlerin her biri birbirinden farklı olmalıdır.

Bire bir ve örten fonksiyon tanımı gereği tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olmalı ve değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

2

f(2) + f(3) = 7

eşitliğini sağlayan eleman çiftini belirlemek.

\{1, 2, 3, 4\}

kümesinden toplamları 7 olan tek ikili

\{3, 4\}

'tür. Bu durumda

\{f(2), f(3)\} = \{3, 4\}

olmalıdır.

Kümedeki diğer hiçbir iki elemanın toplamı 7 etmemektedir.

3

f(2) = 4

durumunu incelemek.

f(2) = 4

ise

f(3) = 3

olur.

f(1) + f(2) = 5

eşitliğinden

f(1) + 4 = 5 \implies f(1) = 1

elde edilir. Görüntü kümesinde kalan son eleman olan 2 sayısı

f(4)

'e eşlenir. Yani

f(4) = 2

olur.

Bire bir ve örtenliği korumak için boşta kalan son eleman eşlenmelidir.

4

f(2) = 3

durumunu incelemek.

f(2) = 3

ise

f(3) = 4

olur.

f(1) + f(2) = 5

eşitliğinden

f(1) + 3 = 5 \implies f(1) = 2

elde edilir. Görüntü kümesinde kalan son eleman olan 1 sayısı

f(4)

'e eşlenir. Yani

f(4) = 1

olur.

Bire bir ve örtenliği korumak için boşta kalan son eleman eşlenmelidir.

5

f(4)

'ün alabileceği değerlerin toplamını hesaplamak.

Değerlerin toplamı

2 + 1 = 3

olarak bulunur.

İki farklı durumdan elde edilen olası

f(4)

değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Soru 17Soru →

f: [-3, 3] \rightarrow [-6, 4]

olmak üzere,

f(x) = \begin{cases} 2x + a, & -3 \leq x < -1 \\ -3x + b, & -1 \leq x \leq 0 \\ x + c, & 0 < x \leq 3 \end{cases}

fonksiyonu tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

-3

-1

0

2

-5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Fonksiyonun bire bir ve örten olmasını sağlayan parametre değerlerinin toplamı -1'dir.

Fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için, tanım kümesinin parçalandığı üç alt aralığın fonksiyon altındaki görüntülerinin kesişimleri boş küme olmalı ve birleşimleri değer kümesi olan

[-6, 4]

aralığını tam olarak örtmelidir. Birinci parçanın (

2x+a

) görüntü kümesi

[a-6, a-2)

, ikinci parçanın (

-3x+b

) görüntü kümesi

[b, b+3]

ve üçüncü parçanın (

x+c

) görüntü kümesi

(c, c+3]

şeklindedir. Değer kümesinin toplam uzunluğu 10 birim olduğundan ve görüntü aralıklarının uzunlukları toplamı da

4+3+3=10

birim olduğundan, bu aralıklar boşluk kalmayacak ve üst üste binmeyecek şekilde sıralanmalıdır. Sol uç noktası kapalı olan ilk aralık

[-6, -2)

olacağından

a=0

bulunur. Bu aralığın bittiği

-2

noktasında kapalı başlayan ikinci aralık

[-2, 1]

olacağından

b=-2

elde edilir. Bu aralığın bittiği

1

noktasında açık başlayan son aralık ise

(1, 4]

olacağından

c=1

olur. Buradan parametrelerin toplamı

0 + (-2) + 1 = -1

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parçalı fonksiyonun alt aralıklardaki monotonluk (artanlık/azalanlık) durumlarını belirlemek.

Birinci parça (

2x+a

) pozitif eğimli olduğundan artan, ikinci parça (

-3x+b

) negatif eğimli olduğundan azalan, üçüncü parça (

x+c

) pozitif eğimli olduğundan artandır.

Fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için her bir parçanın kendi aralığındaki görünt�� kümesini (sınır değerlerini) doğru belirlemek gerekir.

2

Her bir parçanın tanım aralığına göre görüntü kümesini parametrik olarak yazmak.

1. parça için

x \in [-3, -1) \implies R_1 = [a - 6, a - 2)

;
2. parça için

x \in [-1, 0] \implies R_2 = [b, b + 3]

(azalan olduğu için sınırlar yön değiştirir);
3. parça için

x \in (0, 3] \implies R_3 = (c, c + 3]

elde edilir.

Bire bir ve örtenlik için bu üç görüntü kümesinin ayrık olması ve birleşimlerinin değer kümesi olan

[-6, 4]

aralığını kaplaması gerekir.

3

Aralık boylarını karşılaştırarak görüntü kümelerinin değer kümesi üzerindeki dizilimini belirlemek.

Değer kümesi

[-6, 4]

aralığının boyu 10 birimdir. Görüntü kümelerinin boyları sırasıyla 4, 3 ve 3 birim olup toplamları

4+3+3=10

birimdir. Bu nedenle aralıklar örtüşmemeli ve uç uca eklenmelidir.

Toplam uzunluğun değer kümesinin uzunluğuna eşit olması, aralıkların uç noktalarının birbirini takip etmesi gerektiğini gösterir.

4

Aralıkların uç noktalarını değer kümesinin sınırlarına eşitleyerek parametreleri çözmek.

En soldaki aralık sol ucu kapalı olan

R_1

olmalıdır:

a - 6 = -6 \implies a = 0

. Böylece

R_1 = [-6, -2)

olur.

R_1

açık bittiğinden, bir sonraki kapalı başlayan aralık

R_2

olmalıdır:

b = -2

. Böylece

R_2 = [-2, 1]

olur.

R_2

kapalı bittiğinden, son aralık sol ucu açık olan

R_3

olmalıdır:

c = 1

. Böylece

R_3 = (1, 4]

olur.

Uç noktaların dahil olma (açık/kapalı) durumlarına dikkat edilerek kesintisiz ve örtüşmeyen bir birleşim kümesi oluşturulur.

5

Bulunan parametre değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak.

a + b + c = 0 + (-2) + 1 = -1

bulunur.

Soruda bizden istenen parametrelerin toplam değeridir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların tanım ve değer kümelerine göre bire bir ve örtenlik analizi

Soru 18Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu, $1$ dışındaki tüm gerçel sayılar için

f(x) + 2 f\left(\frac{x+2}{x-1}\right) = 3x

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(f(3))$ değeri kaçtır?

6

2

0

4

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İçten dışa doğru yapılan işlem adımları sonucunda

f(3) = 2

ve ardından

f(2) = 6

elde edilir.

Verilen fonksiyonel eşitlikte sırasıyla

x = 3

ve

x = 5/2

yazılıp ortak çözüm yapıldığında

f(3) = 2

değeri elde edilir.

f(f(3)) = f(2)

değerini bulmak için ise

x = 2

ve

x = 4

yazılıp oluşan yeni denklem sistemi çözüldüğünde

f(2) = 6

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

f(3)

değerine ulaşmak amacıyla verilen fonksiyonel denklemde

x = 3

yazılır.

f(3) + 2 f\left(\frac{3+2}{3-1}\right) = 3(3) \implies f(3) + 2 f\left(\frac{5}{2}\right) = 9

denklemi elde edilir.

f(3)

değerini içeren ilk denklemi oluşturmak.

2

Oluşan denklemdeki diğer bilinmeyen olan

f\left(\frac{5}{2}\right)

ifadesini bulmak için

x = \frac{5}{2}

yazılır.

f\left(\frac{5}{2}\right) + 2 f\left(\frac{5/2+2}{5/2-1}\right) = 3\left(\frac{5}{2}\right) \implies f\left(\frac{5}{2}\right) + 2 f(3) = \frac{15}{2}

denklemi elde edilir.

f(3)

ve

f\left(\frac{5}{2}\right)

değerlerine bağlı ikinci bir denklem elde ederek iki bilinmeyenli bir sistem kurmak.

3

Elde edilen bu iki denklem ortak çözülerek

f(3)

de��eri hesaplanır.

f(3) = a

ve

f\left(\frac{5}{2}\right) = b

olsun.

a + 2b = 9

2a + b = \frac{15}{2} \implies 4a + 2b = 15

olur.
İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında:

3a = 6 \implies a = f(3) = 2

bulunur.

Bileşke fonksiyonun iç kısmının değerini netleştirmek.

4

f(f(3)) = f(2)

değerine ulaşmak amacıyla ana denklemde

x = 2

yazılır.

f(2) + 2 f\left(\frac{2+2}{2-1}\right) = 3(2) \implies f(2) + 2 f(4) = 6

denklemi elde edilir.

f(2)

değerini içeren ilk denklemi kurmak.

5

Denklemdeki diğer bilinmeyen olan

f(4)

ifadesini bulmak için

x = 4

yazılır.

f(4) + 2 f\left(\frac{4+2}{4-1}\right) = 3(4) \implies f(4) + 2 f(2) = 12

denklemi elde edilir.

f(2)

ve

f(4)

değerlerine bağlı ikinci bir denklem elde ederek yeni bir sistem kurmak.

6

Elde edilen yeni iki denklem ortak çözülerek

f(2)

değeri hesaplanır.

f(2) = c

ve

f(4) = d

olsun.

c + 2d = 6

2c + d = 12 \implies 4c + 2d = 24

olur.
İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında:

3c = 18 \implies c = f(2) = 6

bulunur.

Bileşke fonksiyonun dış değerini hesaplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde uygun değerler yazılarak elde edilen çok bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla fonksiyon değerlerini hesaplama.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 19Soru →

Bire bir ve örten fonksiyon tanımlarını inceleyen bir öğrenci, aşağıdaki üç farklı fonksiyonu ele alıyor:

I. $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ , $f(x) = 2x + 1$
II. $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g(x) = x^2$
III. $h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ , $h(x) = x + 3$

Buna göre; $f$ , $g$ ve $h$ fonksiyonlarından hangileri bire bir olduğu hâlde örten değildir?

Yaln��z I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III

Birinci öncüldeki f fonksiyonu ve üçüncü öncüldeki h fonksiyonu, elemanların farklı elemanlarla eşleşmesi nedeniyle bire birdir. Ancak tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin sınırları nedeniyle değer kümelerinde eşleşmeyen elemanlar kalmaktadır. Dolayısıyla bu iki fonksiyon bire bir olduğu hâlde örten değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci öncüldeki

f(x) = 2x + 1

fonksiyonunun bire birlik ve örtenlik durumunu incelemek.

f

fonksiyonu bire birdir fakat örten değildir.

2a+1 = 2b+1 \implies a=b

olduğundan bire birdir. Değer kümesindeki çift tam sayılara (örneğin

0

veya

2

) ulaşan bir tam sayı bulunamadığı için örten değildir.

2

İkinci öncüldeki

g(x) = x^2

fonksiyonunun bire birlik ve örtenlik durumunu incelemek.

g

fonksiyonu ne bire bir ne de örtendir.

g(-1) = g(1) = 1

olduğundan bire bir değildir. Negatif gerçek sayıların karekökü gerçek sayı olmadığından (örneğin

x^2 = -1

denkleminin gerçel çözümü yoktur) örten değildir.

3

Üçüncü öncüldeki

h(x) = x + 3

fonksiyonunun bire birlik ve örtenlik durumunu incelemek.

h

fonksiyonu bire birdir fakat örten değildir.

a+3 = b+3 \implies a=b

olduğundan bire birdir. Tanım kümesi doğal sayılar olduğundan, değer kümesindeki

0, 1, 2

elemanlarının (

x+3=0 \implies x=-3 \notin \mathbb{N}

) ön görüntüsü yoktur. Dolayısıyla örten değildir.

Anahtar Kavram

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Soru 20Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = |x - 3| + mx + 2

fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

Buna göre, $m$ ger��el sayısının alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(-1, 1)

(-\infty, -1) \cup (1, \infty)

[-1, 1]

(-\infty, -1] \cup [1, \infty)

\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$

Cevap

m gerçel sayısının alabileceği değerlerin kümesi, eksi sonsuz ile eksi bir açık aralığı ile bir ile artı sonsuz açık aralığının birleşimidir.

Gerçel sayılar kümesinde sürekli olan parçalı doğrusal bir fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için her iki parçadaki doğrusal grafiklerin eğimlerinin aynı işaretli olması gerekir. Bu durum

(m+1)(m-1) > 0

eşitsizliğini doğurur. Eşitsizliğin çözüm kümesi ise eksi sonsuz ile eksi bir açık aralığı ile bir ile artı sonsuz açık aralığının birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1

Mutlak değerli ifadenin kritik noktasını belirleyip fonksiyonu parçalı tanımlı yazalım.

Kritik nokta

x = 3

değeridir. Fonksiyon

x \ge 3

ve

x < 3

durumlarına göre ikiye ayrılır.

Mutlak değer dışına çıkarma işlemini doğru yapabilmek için kritik noktaya göre inceleme yapılması gerekir.

2

x \ge 3

için fonksiyonun kuralını belirleyelim.

f(x) = (x - 3) + mx + 2 = (m + 1)x - 1

elde edilir. Bu aralıktaki eğim

m + 1

değeridir.

x \ge 3

iken

|x-3| = x-3

olarak dışarı çıkar.

3

x < 3

için fonksiyonun kuralını belirleyelim.

f(x) = -(x - 3) + mx + 2 = (m - 1)x + 5

elde edilir. Bu aralıktaki eğim

m - 1

değeridir.

x < 3

iken

|x-3| = -(x-3)

olarak dışarı çıkar.

4

Fonksiyonun bire bir ve örten olma koşulunu uygulayalım.

Tanımlı olduğu tüm gerçel sayılarda sürekli olan bu parçalı doğrusal fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için daima artan veya daima azalan olması gerekir. Bu da her iki bölgedeki eğimlerin aynı işaretli olması, yani çarpımlarının pozitif olması anlamına gelir:

(m + 1)(m - 1) > 0

. Buradan

m > 1

veya

m < -1

elde edilir.

Eğimler zıt işaretli olsaydı fonksiyon bir bölgede artarken diğerinde azalacaktı ve yatay doğru testini geçemeyecekti. Eğimlerden biri sıfır olsaydı sabit fonksiyon oluşur ve yine bire birlik bozulurdu.

Anahtar Kavram

Parçalı Doğrusal Fonksiyonların Bire Bir ve Örtenlik Şartı

Fonksiyonlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap