Yatay ve sürtünmesiz bir düzlemde durmakta olan m kütleli bir kutu, yay sabiti k olan esne… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Yatay ve sürtünmesiz bir düzlemde durmakta olan $m$ kütleli bir kutu, yay sabiti $k$ olan esnek bir yayın $x$ kadar sıkıştırılmasıyla elde edilen enerjiyle fırlatılıyor. Yaydan ayrılan kutu, sürtünmesiz eğik düzlemde tırmanarak en fazla $h$ yüksekliğine ulaşabiliyor. Kutunun yaydan ayrıldığı andaki sürati ise $v$ oluyor.

Buna göre, aynı yay yine $x$ kadar sıkıştırılıp önüne kütlesi $2m$ olan başka bir kutu konularak serbest bırakılırsa, yeni kutunun yaydan ayrılma sürati ( $v$ ) ve eğik düzlemde çıkabileceği maksimum yükseklik ( $h$ ) ilk duruma göre nasıl değişir?

Sürat azalır, yükseklik azalır.Cevap
B
Sürat azalır, yükseklik değişmez.
C
Sürat değişmez, yükseklik azalır.
D
Sürat değişmez, yükseklik değişmez.
E
Sürat azalır, yükseklik artar.

Cevap

Yeni kutunun yaydan ayrılma sürati azalır ve eğik düzlemde çıkabileceği maksimum yükseklik de azalır.

Sürtünmesiz ortamda mekanik enerji korunur. Yay aynı miktarda sıkıştırıldığı için sisteme aktarılan toplam mekanik enerji sabittir ve

E = \frac{1}{2}kx^2

kadardır. Yatay düzlemde yaydan kurtulan kutunun sahip olduğu kinetik enerji bu değere eşittir:

E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2

. Kütle (

m

) artırıldığında, aynı enerjiyi elde etmek için gereken sürat (

v

) azalmalıdır. Eğik düzlemde ulaşılan maksimum yükseklikteki yer çekimi potansiyel enerjisi de toplam mekanik enerjiye eşittir:

E_p = mgh = \frac{1}{2}kx^2

. Enerji sabitken kütle (

m

) artırılırsa maksimum yükseklik (

h

) de azalmalıdır. Dolayısıyla her iki nicelik de azalır.

Adım Adım Çözüm

Sistemdeki ilk enerjiyi ve bu enerjinin yatay düzlemdeki kinetik enerjiye dönüşümünü yazalım.

Yay

x

kadar sıkıştırıldığında depolanan esneklik potansiyel enerjisi

E_{yay} = \frac{1}{2}kx^2

olur. Sürtünmesiz ortamda bu enerji tamamen kutunun kinetik enerjisine dönüşür:

\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2

. Buradan sürat

v = x\sqrt{\frac{k}{m}}

olarak bulunur.

Sürtünmesiz yatay düzlemde mekanik enerji korunur ve yaydaki potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşür.

Yaydan ayrılan kutunun eğik düzlemde çıkabileceği maksimum yüksekliği enerjinin korunumu ile ilişkilendirelim.

Maksimum yükseklikte kutunun sürati anlık olarak sıfır olur ve tüm kinetik enerji yer çekimi potansiyel enerjisine dönüşür:

\frac{1}{2}kx^2 = mgh

. Buradan yükseklik

h = \frac{kx^2}{2mg}

olarak bulunur.

Sürtünmesiz eğik düzlemde de mekanik enerji korunur, dolayısıyla başlangıçtaki toplam enerji maksimum yükseklikteki potansiyel enerjiye eşittir.

Kutunun kütlesi

2m

yapıldığında sürat ve yüksekliğin nasıl etkileneceğini analiz edelim.

Sürat ifadesi

v' = x\sqrt{\frac{k}{2m}} = \frac{v}{\sqrt{2}}

olduğundan azalır. Yükseklik ifadesi

h' = \frac{kx^2}{2(2m)g} = \frac{h}{2}

olduğundan azalır.

Yay aynı miktar sıkıştırıldığı için başlangıçtaki toplam enerji sabittir. Sabit enerji altında kütlenin artması hem süratin hem de çıkılabilecek yüksekliğin azalmasına neden olur.

Anahtar Kavram

Sürtünmesiz ortamlarda mekanik enerji korunur. Bu sistemde esneklik potansiyel enerjisi sırasıyla kinetik enerjiye ve yer çekimi potansiyel enerjisine dönüşmektedir. Başlangıçtaki toplam enerji sabit tutulup kütle artırıldığında, bu enerji daha büyük bir kütleye paylaştırılacağı için hem hız hem de yükseklik azalır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru