Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyonlarda Değer Bulma
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={4−2x,x<1x−4,x≥1f(x) = \begin{cases} 4 - 2x, & x < 1 \\ x - 4, & x \ge 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f(f(a))=2f(f(a)) = 2 eşitliğini sağlayan aa gerçek sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -12
  2. B
    10
  3. 9Cevap
  4. D
    14
  5. E
    15

Cevap

Eşitliği sağlayan gerçek sayıların toplamı 9'dur.
f(f(a))=2f(f(a)) = 2 eşitliğini sağlayan aa gerçek sayıları −1-1 ve 1010 değerleridir. Bu değerlerin toplamı −1+10=9-1 + 10 = 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(a))=2f(f(a)) = 2 eşitliğinde f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapılarak f(y)=2f(y) = 2 denklemi elde edilir.
f(y)=2f(y) = 2 denkleminin çözümü aranır.
Bileşke fonksiyonu dıştan içe doğru çözmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
f(y)=2f(y) = 2 eşitliği parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu iki aralık için ayrı ayrı çözülür:
- y<1y < 1 için: 4−2y=2  ⟹  −2y=−2  ⟹  y=14 - 2y = 2 \implies -2y = -2 \implies y = 1 elde edilir. Ancak bulduğumuz y=1y = 1 değeri y<1y < 1 koşulunu sağlamadığı için bu aralıktan bir çözüm gelmez.
- y≥1y \ge 1 için: y−4=2  ⟹  y=6y - 4 = 2 \implies y = 6 elde edilir. Bulduğumuz 66 değeri y≥1y \ge 1 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.
Geçerli aralık koşullarına göre f(a)=6f(a) = 6 elde edilir.
Parçalı fonksiyonlarda her bir aralık için elde edilen sonuçların, o aralığın tanım kümesine uygunluğu denetlenmelidir.
3
f(a)=6f(a) = 6 denklemi parçalı fonksiyonun aralıklarına göre çözülür:
- a<1a < 1 için: 4−2a=6  ⟹  −2a=2  ⟹  a=−14 - 2a = 6 \implies -2a = 2 \implies a = -1 elde edilir. Bulduğumuz −1-1 değeri a<1a < 1 koşulunu sağladığından geçerli bir çözümdür.
- a≥1a \ge 1 için: a−4=6  ⟹  a=10a - 4 = 6 \implies a = 10 elde edilir. Bulduğumuz 1010 değeri a≥1a \ge 1 koşulunu sağladığından geçerli bir çözümdür.
aa gerçek sayısının alabileceği değerler −1-1 ve 1010 olarak bulunur.
İçteki fonksiyonun değerini sağlayan girdi parametreleri belirlenir.
4
Bulunan geçerli aa değerleri toplanır: −1+10=9-1 + 10 = 9.
Toplamın sonucu 9 olarak hesaplanır.
Soruda istenen değerlerin toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon denklemlerinin çözümü.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Bu konudan daha fazla soru