Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonlarda Değer Bulma
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için
f(n)={n+3,n tek isen2,n c¸ift isef(n) = \begin{cases} n + 3, & n \text{ tek ise} \\ \frac{n}{2}, & n \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(f(a)))=5f(f(f(a))) = 5 eşitliğini sağlayan iki basamaklı aa doğal sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    54
  2. B
    57
  3. 71Cevap
  4. D
    75
  5. E
    85

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı a doğal sayılarının toplamı 71'dir.
Eşitliği sağlayan iki basamaklı a değerleri sırasıyla 14, 17 ve 40 olup bu sayıların toplamı 71'dir. Bu değerler fonksiyonun tanımındaki tek ve çift olma koşullarını tam olarak sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(f(a)))=5f(f(f(a))) = 5 eşitliğinde en dıştaki fonksiyonu çözmek için f(x)=5f(x) = 5 denklemi kurulur.
x=10x = 10 bulunur.
xx tek ise x+3=5  ⟹  x=2x+3=5 \implies x=2 (çelişki, çünkü 2 çifttir). xx çift ise x/2=5  ⟹  x=10x/2=5 \implies x=10 (çiftlik koşuluna uygundur).
2
f(f(a))=10f(f(a)) = 10 eşitliğinden f(y)=10f(y) = 10 denklemi çözülür.
y=7y = 7 veya y=20y = 20 bulunur.
yy tek ise y+3=10  ⟹  y=7y+3=10 \implies y=7 (teklik koşuluna uygundur). yy çift ise y/2=10  ⟹  y=20y/2=10 \implies y=20 (çiftlik koşuluna uygundur).
3
f(a)=7f(a) = 7 ve f(a)=20f(a) = 20 durumları için a değerleri belirlenir.
aa değerleri 14, 17 ve 40 olarak elde edilir.
f(a)=7f(a)=7 için a çift olmalıdır ve a/2=7  ⟹  a=14a/2=7 \implies a=14. f(a)=20f(a)=20 için a tek ise a+3=20  ⟹  a=17a+3=20 \implies a=17, çift ise a/2=20  ⟹  a=40a/2=20 \implies a=40 olur.
4
Elde edilen iki basamaklı a değerlerinin toplamı hesaplanır.
14+17+40=7114 + 17 + 40 = 71 bulunur.
Eşitliği sağlayan iki basamaklı tüm a doğal sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve fonksiyonel denklemleri tersten çözme
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Bu konudan daha fazla soru