Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonlarda Değer Bulma
Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,
f(x)={2x+14,x<−24−x,x≥−2f(x) = \begin{cases} 2x + 14, & x < -2 \\ 4 - x, & x \ge -2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(a))=6f(f(a)) = 6 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    -6
  2. -3Cevap
  3. C
    -2
  4. D
    -1
  5. E
    -5

Cevap

Eşitliği sağlayan aa değerlerinin toplamı −3-3'tür.
Doğru seçenekte verilen −3-3 değeri, f(f(a))=6f(f(a)) = 6 denklemini sağlayan tüm geçerli aa gerçel sayılarının (−9-9, −8-8, 66, 88) toplamıdır. Bu değerlerin her biri fonksiyonun ilgili tanım aralığı koşullarına tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(f(a))=6f(f(a)) = 6 eşitliğinde f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapılarak f(y)=6f(y) = 6 denklemi kurulur.
f(y)=6f(y) = 6 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyonu dıştan içe doğru çözebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
f(y)=6f(y) = 6 denklemi, parçalı fonksiyonun tanım aralıklarına göre incelenir:
1) y<−2y < -2 ise: 2y+14=6  ⟹  2y=−8  ⟹  y=−42y + 14 = 6 \implies 2y = -8 \implies y = -4. Bulunan −4-4 değeri −4<−2-4 < -2 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
2) y≥−2y \ge -2 ise: 4−y=6  ⟹  y=−24 - y = 6 \implies y = -2. Bulunan −2-2 değeri −2≥−2-2 \ge -2 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
yy değeri −4-4 veya −2-2 olabilir.
Parçalı fonksiyonun her iki dalından gelebilecek olası çözümler belirlenir ve aralık kısıtlarına uygunlukları test edilir.
3
f(a)=−4f(a) = -4 ve f(a)=−2f(a) = -2 denklemleri ayrı ayrı çözülür.

f(a)=−4f(a) = -4 durumu için:
- a<−2  ⟹  2a+14=−4  ⟹  a=−9a < -2 \implies 2a + 14 = -4 \implies a = -9 (geçerli).
- a≥−2  ⟹  4−a=−4  ⟹  a=8a \ge -2 \implies 4 - a = -4 \implies a = 8 (geçerli).

f(a)=−2f(a) = -2 durumu için:
- a<−2  ⟹  2a+14=−2  ⟹  a=−8a < -2 \implies 2a + 14 = -2 \implies a = -8 (geçerli).
- a≥−2  ⟹  4−a=−2  ⟹  a=6a \ge -2 \implies 4 - a = -2 \implies a = 6 (geçerli).
aa değerleri kümesi {−9,−8,6,8}\{-9, -8, 6, 8\} olarak bulunur.
Her bir yy değeri için fonksiyonun kuralları tekrar işletilerek asıl girdi olan aa değerlerine ulaşılır.
4
Elde edilen tüm geçerli aa değerleri toplanır: (−9)+(−8)+6+8(-9) + (-8) + 6 + 8.
−3-3
Bulunan çözümlerin toplamı hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon denklemlerinin çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Bu konudan daha fazla soru