Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
aa bir gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
(a2−5)x+3a<4x−5(a^2 - 5)x + 3a < 4x - 5
eşitsizliğinin çözüm kümesi (1,∞)(1, \infty) olduğuna göre, aa kaçtır?
  1. A
    -4
  2. 1Cevap
  3. C
    2
  4. D
    3
  5. E
    4

Cevap

1
Doğru cevap 1'dir. Eşitsizlik düzenlendiğinde (a2−9)x<−3a−5(a^2 - 9)x < -3a - 5 elde edilir. Çözüm kümesinin (1,∞)(1, \infty) yani x>1x > 1 olması için eşitsizliğin yön değiştirmesi gerekir. Bu durum, her iki tarafın bölündüğü a2−9a^2 - 9 ifadesinin negatif olmasını (a2−9<0a^2 - 9 < 0) gerektirir. Sınır değeri eşitliğinden elde edilen 1 değeri bu şartı sağlarken, -4 değeri sağlamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlikteki terimleri xx parantezine alarak düzenleyelim.
(a2−9)x<−3a−5(a^2 - 9)x < -3a - 5 elde edilir.
Eşitsizliği birinci dereceden bir bilinmeyenli standart formda yazmak için.
2
Eşitsizliğin çözüm kümesinin (1,∞)(1, \infty) yani x>1x > 1 olduğunu kullanarak yön değişimini analiz edelim.
Eşitsizlik yön değiştirdiği için (<< sembolü >> sembolüne dönüştüğü için) xx'in katsayıs�� olan a2−9a^2 - 9 ifadesinin negatif olması gerektiği bulunur (a2−9<0a^2 - 9 < 0 yani −3<a<3-3 < a < 3 shift).
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
3
Sınır değerini bulmak için sınır denklemini kuralım ve çözelim.
−3a−5a2−9=1  ⟹  −3a−5=a2−9  ⟹  a2+3a−4=0\frac{-3a - 5}{a^2 - 9} = 1 \implies -3a - 5 = a^2 - 9 \implies a^2 + 3a - 4 = 0 Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (a+4)(a−1)=0(a + 4)(a - 1) = 0 elde edilir. Buradan a=−4a = -4 veya a=1a = 1 bulunur.
Çözüm kümesinin sınır değerinin 1 olmasını sağlamak için.
4
Bulunan aa değerlerinin a2−9<0a^2 - 9 < 0 şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
a=−4a = -4 için (−4)2−9=7>0(-4)^2 - 9 = 7 > 0 (şartı sağlamaz).
a=1a = 1 için 12−9=−8<01^2 - 9 = -8 < 0 (şartı sağlar). Dolayısıyla a=1a = 1 olmalıdır.
Sadece negatif bir sayıya bölme durumunda yön değiştirme kuralının geçerli olduğunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru