Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonlarda Değer Bulma

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={2x+5,x<311−3x,x≥3f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 3 \\ 11 - 3x, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(f(x))=1f(f(x)) = 1 eşitliğini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

  1. 00Cevap
  2. B
    239\frac{23}{9}
  3. C
    11
  4. D
    −56-\frac{5}{6}
  5. E
    56\frac{5}{6}

Cevap

Eşitliği sağlayan gerçel sayıların toplamı sıfırdır.
Denklem f(x)=uf(x) = u dönüşümüyle dıştan içe doğru çözüldüğünde uu için iki geçerli değer bulunur. Bu değerlerin her biri için f(x)=uf(x) = u eşitliğini sağlayan xx değerleri arandığında tanım aralığı koşullarına uyan üç farklı kök (−72-\frac{7}{2}, 133\frac{13}{3} ve −56-\frac{5}{6}) elde edilir. Bunların toplamı ise sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon denkleminde değişken dönüşümü yapılması
f(x)=uf(x) = u dönüşümü yapıldığında f(f(x))=1f(f(x)) = 1 denklemi f(u)=1f(u) = 1 şekline dönüşür.
İç içe geçmiş fonksiyon ifadelerini adım adım ve sistemli bir şekilde çözebilmek için.
2
Parçalı fonksiyon kurallarına göre f(u)=1f(u) = 1 denkleminin çözülmesi
Birinci durum (u<3u < 3): 2u+5=1  ⟹  2u=−4  ⟹  u=−22u + 5 = 1 \implies 2u = -4 \implies u = -2 elde edilir. Bu değer u<3u < 3 koşulunu sağladığı için geçerlidir. İkinci durum (u≥3u \ge 3): 11−3u=1  ⟹  3u=10  ⟹  u=10311 - 3u = 1 \implies 3u = 10 \implies u = \frac{10}{3} elde edilir. Bu değer de u≥3u \ge 3 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
uu değerinin hangi aralıkta bulunduğuna göre fonksiyonun ilgili parçalarını eşitlemek için.
3
f(x)=−2f(x) = -2 denkleminin çözülmesi
x<3x < 3 için: 2x+5=−2  ⟹  x=−722x + 5 = -2 \implies x = -\frac{7}{2} (koşulu sağlar). x≥3x \ge 3 için: 11−3x=−2  ⟹  3x=13  ⟹  x=13311 - 3x = -2 \implies 3x = 13 \implies x = \frac{13}{3} (koşulu sağlar).
İlk uu değeri üzerinden olası xx gerçel sayılarını bulmak için.
4
f(x)=103f(x) = \frac{10}{3} denkleminin çözülmesi
x<3x < 3 için: 2x+5=103  ⟹  2x=−53  ⟹  x=−562x + 5 = \frac{10}{3} \implies 2x = -\frac{5}{3} \implies x = -\frac{5}{6} (koşulu sağlar). x≥3x \ge 3 için: 11−3x=103  ⟹  3x=233  ⟹  x=23911 - 3x = \frac{10}{3} \implies 3x = \frac{23}{3} \implies x = \frac{23}{9} elde edilir. Ancak x=239≈256x = \frac{23}{9} \approx 2{}56 olup x≥3x \ge 3 koşulunu sağlamaz. Bu yüzden bu değer çözüm kümesine alınmaz.
İkinci uu değeri üzerinden olası xx gerçel sayılarını bulmak ve tanım aralığı testini yapmak için.
5
Geçerli xx değerlerinin toplanması
Toplam =−72+133−56=−21+26−56=06=0= -\frac{7}{2} + \frac{13}{3} - \frac{5}{6} = \frac{-21 + 26 - 5}{6} = \frac{0}{6} = 0 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve tanım kümesi aralık kontrolü
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Bu konudan daha fazla soru