x ve y pozitif tam sayılardır. 8!10!+9!=3x⋅y olduğuna göre, y sayısının alabileceği en küçük değer için x kaçtır?
1
2
3
4
6
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 2
Cevap
En küçük pozitif tam sayı olan 11 değeri için aranan değer 2'dir.
Verilen rasyonel ifadenin payı 9! parantezine alınıp paydadaki 8! ile sadeleştirildiğinde 99 sayısı elde edilir. 99=32⋅11 olduğundan, y pozitif tam sayısının en küçük değeri için y=11 ve x=2 olmalıdır.
Adım Adım Çözüm
1
Pay kısmındaki 10!+9! ifadesini ortak çarpan parantezine alma
10!=10⋅9! olduğu için ifade 9!⋅(10+1)=11⋅9! şeklinde yazılır.
Toplama işlemini çarpanlarına ayırarak sadeleştirmeye hazır hale getirmek.
2
Elde edilen ifadeyi paydadaki 8! ile sadeleştirme
8!11⋅9!=11⋅8!9⋅8!=11⋅9=99 bulunur.
Kesirli ifadeyi tam sayı haline getirmek.
3
99 sayısını asal çarpanlarına ayırma ve değişkenleri belirleme
99=9⋅11=32⋅11 elde edilir. Bu durumda 32⋅11=3x⋅y eşitliği sağlanır. y sayısının alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri için y=11 seçilmelidir, bu durumda x=2 olur.
y değerini en küçük tutarak 3x ifadesinin çarpan gücünü maksimize etmek.
Anahtar Kavram
Faktöriyelli İfadelerde Ortak Paranteze Alma ve Sadeleştirme ile Asal Çarpanlara Ayırma