Examkin

Faktöriyel Kavramı

21 soru

Tüm türler21Çoktan seçmeli13Sayısal6Sıralama2
Soru 1Soru →
8!−7!6!\frac{8! - 7!}{6!}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 49

Cevap

İşlemin sonucu 49 olarak bulunur.
İşlemin payı ortak paranteze alınarak 7!(8−1)=7⋅7!7!(8-1) = 7 \cdot 7! olarak yazılır. Paydadaki 6!6! ile sadeleştirme yapıldığında 7⋅7⋅6!6!=49\frac{7 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 49 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak paranteze alabilmek için büyük olan terimi küçük olana göre açalım.
8!=8⋅7!8! = 8 \cdot 7! yazıldığında pay kısmı 8⋅7!−7!8 \cdot 7! - 7! olur.
Ortak terim olan 7!7! çarpanını belirginleştirmek için.
2
Pay kısmını 7!7! ortak parantezine alalım.
7!⋅(8−1)=7⋅7!7! \cdot (8 - 1) = 7 \cdot 7! elde edilir.
Çıkarma işlemini çarpanlara ayırarak tek bir terim haline getirmek için.
3
Elde edilen ifadeyi paydaya bölüp sadeleştirelim.
7⋅7!6!=7⋅7⋅6!6!=7⋅7=49\frac{7 \cdot 7!}{6!} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 7 \cdot 7 = 49
7!7! ifadesini 7⋅6!7 \cdot 6! şeklinde açarak paydadaki 6!6! ile sadeleştirmek için.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde büyük olan terimi küçük olan cinsinden açarak ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme yapma.
Soru 2Soru →
8!−2⋅7!6!+5!\frac{8! - 2 \cdot 7!}{6! + 5!}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3636

Cevap

İşlemin doğru sonucu 36'dır.
Pay ifadesi 6⋅7!6 \cdot 7! ve payda ifadesi 7⋅5!7 \cdot 5! olarak düzenlendikten sonra oranlandığında, 7!7! terimi 7⋅6⋅5!7 \cdot 6 \cdot 5! şeklinde açılır. Pay ve paydadaki 77 ve 5!5! terimleri sadeleştiğinde geriye kalan 6⋅66 \cdot 6 çarpımından doğru cevap olan 3636 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında bulunan 8!−2⋅7!8! - 2 \cdot 7! ifadesini ortak olan en küçük faktöriyel terimi olan 7!7! parantezine alırız.
8!−2⋅7!=8⋅7!−2⋅7!=7!⋅(8−2)=6⋅7!8! - 2 \cdot 7! = 8 \cdot 7! - 2 \cdot 7! = 7! \cdot (8 - 2) = 6 \cdot 7!
Pay kısmını sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak.
2
Payda kısmında bulunan 6!+5!6! + 5! ifadesini ortak olan en küçük faktöriyel terimi olan 5!5! parantezine alırız.
6!+5!=6⋅5!+5!=5!⋅(6+1)=7⋅5!6! + 5! = 6 \cdot 5! + 5! = 5! \cdot (6 + 1) = 7 \cdot 5!
Payda kısmını sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak.
3
Bulunan pay ve payda ifadelerini kesirde yerine koyup, 7!=7⋅6⋅5!7! = 7 \cdot 6 \cdot 5! açılımını kullanarak sadeleştiririz.
6⋅7!7⋅5!=6⋅7⋅6⋅5!7⋅5!=6⋅6=36\frac{6 \cdot 7!}{7 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{7 \cdot 5!} = 6 \cdot 6 = 36
Ortak çarpanları sadeleştirerek nihai sayısal sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma ve sadeleştirme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Bir nn pozitif tam sayısı için n!n! sayısının farklı asal çarpanlarının sayısı A(n)A(n) ile gösterilmektedir.

Buna göre,
A(n+3)−A(n)=2A(n+3) - A(n) = 2
eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç farklı nn doğal sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Koşulu sağlayan iki basamaklı 6 farklı n doğal sayısı vardır.
Faktöriyel tanımına göre A(n)A(n) değeri, nn sayısına eşit veya küçük asal sayıların adedini verir. A(n+3)−A(n)=2A(n+3) - A(n) = 2 eşitliği ise n+1,n+2,n+3n+1, n+2, n+3 sayılarından tam olarak iki tanesinin asal olmasını gerektirir. Sayıların teklik-çiftlik durumları incelendiğinde nn çift olmalı ve n+1n+1 ile n+3n+3 ikiz asal sayılar olmalıdır. İki basamaklı nn değerleri arasından bu şartı sağlayanlar 10,16,28,40,58,7010, 16, 28, 40, 58, 70 sayıları olup toplam 6 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
A(n)A(n) fonksiyonunun tanımını yapmak.
A(n)A(n) değeri, nn'den küçük veya nn'ye eşit asal sayıların adedidir.
n!n! sayıs��nın asal çarpanları 11 ile nn arasındaki asal sayılardan oluşur.
2
A(n+3)−A(n)=2A(n+3) - A(n) = 2 eşitliğinin anlamını yazmak.
{n+1,n+2,n+3}\{n+1, n+2, n+3\} kümesinde tam olarak 2 tane asal sayı bulunmalıdır.
Bu iki fonksiyon arasındaki fark, aradaki ardışık üç tam sayının içindeki asal sayıların adedini verir.
3
nn sayısının teklik-çiftlik durumunu sorgulamak.
nn sayısı çift olmak zorundadır.
nn tek olduğunda n+1n+1 ve n+3n+3 çift ve 2'den büyük olacağından asal olamazlar, bu da kümedeki asal sayısının en fazla 1 olabilmesine yol açar.
4
nn çift iken asal olabilecek sayıları belirlemek.
n+1n+1 ve n+3n+3 sayılarının ikisi de asal olmalıdır (ikiz asallar).
nn çift olduğunda n+2n+2 çift (ve >2>2) olacağından asal olamaz. Farkın 2 çıkabilmesi için geriye kalan iki sayının da asal olması gerekir.
5
İki basamaklı uygun nn değerlerini listelemek.
nn değerleri 10,16,28,40,58,7010, 16, 28, 40, 58, 70 olmak üzere 6 adettir.
10≤n≤9910 \le n \le 99 aralığında aralarında 2 fark bulunan ve ikisi de asal olan sayı çiftlerinin arasındaki çift sayılar belirlenmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında asal çarpanların bulunması ve ikiz asal sayıların analizi
Soru 4Soru →
x=6!⋅7!x = 6! \cdot 7!
y=5!⋅8!y = 5! \cdot 8!
z=4!⋅9!z = 4! \cdot 9!

Yukarıda verilen xx, yy ve zz sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı x<y<zx < y < z şeklindedir.
Verilen xx, yy ve zz sayıları ortak olan 7!7! çarpanına göre düzenlendiğinde sırasıyla 720⋅7!720 \cdot 7!, 960⋅7!960 \cdot 7! ve 1728⋅7!1728 \cdot 7! değerleri elde edilir. Bu değerlerin katsayıları karşılaştırıldığında 720<960<1728720 < 960 < 1728 olduğu görülür. Dolayısıyla doğru sıralama x<y<zx < y < z şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri karşılaştırabilmek için hepsini ortak bir faktöriyel çarpanı cinsinden ifade edin.
Tüm ifadeleri en küçük faktöriyel çarpanı olan 7!7! cinsinden yazmaya karar veriyoruz.
Farklı faktöriyel terimleri içeren çarpımları doğrudan karşılaştırmak zor olduğundan, ortak bir çarpan belirlemek sıralama yapmayı kolaylaştırır.
2
xx ifadesini düzenleyin.
x=6!⋅7!=720⋅7!x = 6! \cdot 7! = 720 \cdot 7!
6!=7206! = 720 değeri doğrudan yerine yazılır.
3
yy ifadesini 7!7! çarpanına benzeterek düzenleyin.
y=5!⋅8!=120⋅(8⋅7!)=960⋅7!y = 5! \cdot 8! = 120 \cdot (8 \cdot 7!) = 960 \cdot 7!
5!=1205! = 120 ve 8!=8⋅7!8! = 8 \cdot 7! eşitlikleri kullanılarak ortak çarpan elde edilir.
4
zz ifadesini 7!7! çarpanına benzeterek düzenleyin.
z=4!⋅9!=24⋅(9⋅8⋅7!)=24⋅72⋅7!=1728⋅7!z = 4! \cdot 9! = 24 \cdot (9 \cdot 8 \cdot 7!) = 24 \cdot 72 \cdot 7! = 1728 \cdot 7!
4!=244! = 24 ve 9!=9⋅8⋅7!9! = 9 \cdot 8 \cdot 7! eşitlikleri kullanılarak ortak çarpan elde edilir.
5
Bulunan katsayıları karşılaştırarak sıralamayı tamamlayın.
720⋅7!<960⋅7!<1728⋅7!720 \cdot 7! < 960 \cdot 7! < 1728 \cdot 7! olduğundan x<y<zx < y < z sıralaması elde edilir.
720<960<1728720 < 960 < 1728 olduğu için katsayısı küçük olan sayı daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerin büyüklük sıralaması yapılırken, ifadeler uygun şekilde açılarak ortak bir faktöriyel terimi parantezine veya çarpanına indirgenir ve katsayıları karşılaştırılır.
Soru 5Soru →

xx ve yy birden büyük birer tam sayı olmak üzere,

x!⋅(x+1)!=y!x! \cdot (x+1)! = y!

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x+yx + y toplam��nın değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İstenen toplamın değeri 16'dır.
Denklemin her iki tarafı (x+1)!(x+1)! ile bölündüğünde x!=y!(x+1)!x! = \frac{y!}{(x+1)!} elde edilir. Sağ taraf ardışık çarpım olarak yazıldığında x!=(x+2)⋅(x+3)…yx! = (x+2) \cdot (x+3) \dots y olur. x>1x > 1 için bu eşitliği sağlayan tek değer x=6x = 6 olup, 6!=720=8⋅9⋅106! = 720 = 8 \cdot 9 \cdot 10 eşitliğinden y=10y = 10 bulunur. Buradan x+y=16x + y = 16 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi sadeleştirme için düzenleme
x!=y!(x+1)!x! = \frac{y!}{(x+1)!}
Faktöriyel terimlerini bölme biçiminde yazarak ardışık sayıların çarpımı ilişkisini kurmak.
2
Sağ tarafı ardışık çarpanlarına ayırma
x!=(x+2)⋅(x+3)⋅⋯⋅yx! = (x+2) \cdot (x+3) \cdot \dots \cdot y
Faktöriyel tanımı gereği ardışık iki faktöriyelin bölümü, aradaki sayıların çarpımına eşittir.
3
Eşitliği sağlayan x ve y değerlerini bulma
x=6x = 6 ve y=10y = 10
x=6x=6 için 6!=7206! = 720 ve x+2=8x+2=8 ile başlayan ardışık çarpım 8⋅9⋅10=7208 \cdot 9 \cdot 10 = 720 olduğundan eşitlik sağlanır. Buradan y=10y=10 elde edilir.
4
Değişkenlerin toplamını hesaplama
x+y=16x + y = 16
Soruda istenen x+yx + y değerini bulmak için elde edilen tam sayı değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve ardışık çarpım ilişkisi
Soru 6Soru →
Bir AA doğal sayısı
A=10!+9!8!−7!−6!5!A = \frac{10! + 9!}{8!} - \frac{7! - 6!}{5!}
olarak tanımlanıyor.

Buna göre, AA sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadeler sadeleştirildiğinde elde edilen 63 sayısının asal çarpanlarının toplamı 10'dur.
Verilen A sayısı ifadesinde faktöriyelli terimler ortak paranteze alınarak sadeleştirilir. Birinci terim 99, ikinci terim 36 olarak bulunur. Buradan A = 63 elde edilir. 63 sayısının asal çarpanları 3 ve 7 olduğundan, bu çarpanların toplamı 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin birinci terimi olan 10!+9!8!\frac{10! + 9!}{8!} kısmını sadeleştirmek için payı 9!9! parantezine alalım.
9!(10+1)8!=9!⋅118!\frac{9!(10 + 1)}{8!} = \frac{9! \cdot 11}{8!} elde edilir.
Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayı küçük olan sayı cinsinden yazılarak ortak çarpan parantezine alınır.
2
Bulunan ifadede 9!=9⋅8!9! = 9 \cdot 8! açılımını yazarak paydadaki 8!8! ile sadeleştirelim.
9⋅11=999 \cdot 11 = 99 bulunur.
Pay ve paydadaki ortak 8!8! terimleri birbirini sadeleştirir.
3
İfadenin ikinci terimi olan 7!−6!5!\frac{7! - 6!}{5!} kısmını sadeleştirmek için payı 6!6! parantezine alalım ve 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5! açılımını kullanarak sadeleştirelim.
6!(7−1)5!=6⋅5!⋅65!=6⋅6=36\frac{6!(7 - 1)}{5!} = \frac{6 \cdot 5! \cdot 6}{5!} = 6 \cdot 6 = 36 bulunur.
Benzer şekilde büyük terimler küçük terim cinsinden yazılarak sadeleştirme tamamlanır.
4
AA sayısını bulmak için elde edilen sadeleşmiş değerleri birbirinden çıkaralım.
A=99−36=63A = 99 - 36 = 63 elde edilir.
Denklemdeki çıkarma işlemi uygulanır.
5
6363 sayısını asal çarpanlarına ayıralım ve asal çarpanlarını toplayalım.
63=32⋅763 = 3^2 \cdot 7 olduğundan asal çarpanlar 3 ve 7'dir. Toplamları ise 3+7=103 + 7 = 10 olur.
AA sayısının asal çarpanlarının toplamı sorulduğu için asal çarpan analizi yapılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel İfadelerde Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Sadeleştirme

Alternatif Yöntem

İfadeler tek tek açılmak yerine, faktöriyel tanımı gereği küçük olan terim cinsinden yazılarak doğrudan sadeleştirilebilir. Örneğin, 10! + 9! = 9! * (10 + 1) = 11 * 9! şeklinde yazılıp 8! ile sadeleştirildiğinde 11 * 9 = 99 sonucu daha hızlı elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!−(n+1)!−n!=48⋅n!(n+2)! - (n+1)! - n! = 48 \cdot n!
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan nn doğal sayısı 6'dır.
Verilen denklemde sol taraf n!n! ortak parantezine alındığında n!⋅n(n+2)=48⋅n!n! \cdot n(n+2) = 48 \cdot n! elde edilir. Her iki taraf n!n! ile sadeleştirildiğinde ardışık iki çift sayının çarpımı 48 olan tek pozitif tam sayı değerinin 6 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel ifadelerini ortak terim cinsinden yazma
(n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n!
Sol taraftaki tüm terimleri en küçük faktöriyelli ifade olan n!n! ortak parantezine alabilmek için.
2
Ortak paranteze alma ve sadeleştirme
n!⋅[(n+2)(n+1)−(n+1)−1]=n!⋅(n2+2n)n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n)
Sol taraftaki ifadeyi tek bir terim haline getirmek için.
3
Eşitliğin her iki tarafını n!n! ile sadeleştirme
n(n+2)=48n(n+2) = 48
nn bir doğal sayı olduğundan n!n! değeri sıfırdan büyüktür ve sadeleştirilebilir.
4
İkinci dereceden denklemi çözme
n2+2n−48=0  ⟹  (n−6)(n+8)=0  ⟹  n=6n^2 + 2n - 48 = 0 \implies (n-6)(n+8) = 0 \implies n = 6
nn doğal sayı olmak zorunda olduğundan negatif kök olan −8-8 elenir ve n=6n = 6 bulunur.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerde ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapılması ve elde edilen denklemin çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Denklem n(n+2)=48n(n+2) = 48 aşamasına geldikten sonra, aralarında 2 fark bulunan ve çarpımları 48 olan iki pozitif tam sayının 66 ve 88 olduğu doğrudan görülerek n=6n=6 bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →
aa bir doğal sayı olmak üzere,
a!+(a−1)!(a−1)!=10\frac{a! + (a-1)!}{(a-1)!} = 10
olduğuna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İşlemler sadeleştirildiğinde a=9a = 9 olarak bulunur.
Verilen denklemde pay kısmındaki a!a! terimi a⋅(a−1)!a \cdot (a-1)! şeklinde açılıp ortak paranteze alındığında, ifadenin sol tarafı a+1a+1 olarak sadeleşir. Buradan a+1=10a+1=10 eşitliği elde edilir ve a=9a=9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki a!a! ifadesini (a−1)!(a-1)! cinsinden açın.
a!=a⋅(a−1)!a! = a \cdot (a-1)!
Ortak paranteze alabilmek için faktöriyelleri aynı cinsten yazmak gerekir.
2
Payı (a−1)!(a-1)! ortak parantezine alın.
a⋅(a−1)!+(a−1)!=(a−1)!⋅(a+1)a \cdot (a-1)! + (a-1)! = (a-1)! \cdot (a+1)
Ortak çarpan parantezine alma kuralı uygulanır.
3
Pay ve paydadaki (a−1)!(a-1)! terimlerini sadeleştirin.
(a−1)!⋅(a+1)(a−1)!=a+1\frac{(a-1)! \cdot (a+1)}{(a-1)!} = a + 1
Aynı olan faktöriyel çarpanları sadeleşir.
4
a+1=10a+1 = 10 denklemini çözün.
a=9a = 9
Eşitliğin her iki tarafından 1 çıkarılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerde büyük olan faktöriyeli küçük olan cinsinden yazarak sadeleştirme yapılması.
Tahmini Süre:45s
Soru 9Soru →

Ardışık üç pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların en büyüğünün faktöriyeline eşittir.

Buna göre, bu sayıların toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Verilen koşula göre oluşturulan x⋅(x+1)⋅(x+2)=(x+2)!x \cdot (x+1) \cdot (x+2) = (x+2)! denkleminde sağ taraf (x+2)(x+1)x!(x+2)(x+1)x! olarak açılır. Sadeleştirme yapıldığında x=x!x = x! eşitliği kalır. Bu eşitliği sağlayan pozitif tam sayılar sadece 1 ve 2'dir. x=1x = 1 için sayıların toplamı 6, x=2x = 2 için ise 9 olmaktadır. Bu iki değerin toplamı 15 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç pozitif tam sayıyı en küçüğü xx olmak üzere xx, x+1x+1 ve x+2x+2 şeklinde belirleyip denklemi kurmak.
x⋅(x+1)⋅(x+2)=(x+2)!x \cdot (x+1) \cdot (x+2) = (x+2)! denklemi elde edilir.
Sözel olarak verilen matematiksel bağıntıyı denklem haline getirmek.
2
Denklemin sağ tarafındaki (x+2)!(x+2)! ifadesini faktöriyel özelliğini kullanarak açmak.
x⋅(x+1)⋅(x+2)=(x+2)⋅(x+1)⋅x!x \cdot (x+1) \cdot (x+2) = (x+2) \cdot (x+1) \cdot x! eşitliği elde edilir.
Her iki taraftaki ortak ifadeleri belirlemek.
3
xx pozitif tam sayı olduğundan sıfırdan farklı olan (x+1)⋅(x+2)(x+1) \cdot (x+2) ifadesini sadeleştirmek.
x=x!x = x! denklemi kalır.
Denklemi sadeleştirerek çözümü kolaylaştırmak.
4
x=x!x = x! eşitliğini sağlayan pozitif tam sayı değerlerini bulmak.
1!=11! = 1 olduğundan x=1x = 1 ve 2!=22! = 2 olduğundan x=2x = 2 bulunur. x≥3x \geq 3 için x!>xx! > x olduğundan başka çözüm yoktur.
Faktöriyel tanımına uyan tüm kökleri belirlemek.
5
Elde edilen xx değerleri için sayı gruplarının toplamını hesaplayıp toplamak.
x=1x=1 için sayılar 1,2,31, 2, 3 olup toplamları 66 olur. x=2x=2 için sayılar 2,3,42, 3, 4 olup toplamları 99 olur. Bu iki toplamın toplamı 6+9=156 + 9 = 15 bulunur.
İstenen farklı değerlerin toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel tanımı ve sadeleştirme kuralları
Soru 10Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!−y!=119⋅y!x! - y! = 119 \cdot y!
eşitliğini sağlayan x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçt��r?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 254

Cevap

Farklı x+yx + y toplamlarının alabileceği değerlerin toplamı 254'tür.
Doğru cevap olan değer, denklem düzenlendiğinde elde edilen x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 eşitliğini sağlayan tüm geçerli pozitif tam sayı ikililerinin (x=120,y=119x=120, y=119), (x=6,y=3x=6, y=3) ve (x=5,y=1x=5, y=1) toplamları olan 239, 9 ve 6 sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde ortak terimleri bir araya getirmek için −y!-y! ifadesini eşitliğin sağ tarafına atalım.
x!=119⋅y!+y!  ⟹  x!=120⋅y!x! = 119 \cdot y! + y! \implies x! = 120 \cdot y! elde edilir.
Faktöriyelli ifadeleri sadeleştirmek ve oranlamak için ortak paranteze alma işlemi uygulanır.
2
Eşitliğin her iki tarafını y!y! ifadesine bölerek oranlayalım.
x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 elde edilir.
x!x! ifadesinin y!y! cinsinden açılımını yaparak ardışık sayıların çarpımı biçiminde yazmak.
3
xx ve yy pozitif tam sayılar olduğundan, x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=120\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 120 eşitliğini sağlayan ardışık çarpan gruplarını belirleyelim.
120 sayısı şu şekillerde ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazılabilir:
1) Tek çarpan: 120120 (Bu durumda x=120x = 120 ve y+1=120  ⟹  y=119y+1 = 120 \implies y = 119 olur. x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ şartını sağlar. x+y=120+119=239x+y = 120 + 119 = 239)
2) Üç ardışık çarpan: 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120 (Bu durumda x=6x = 6 ve y+1=4  ⟹  y=3y+1 = 4 \implies y = 3 olur. x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ şartını sağlar. x+y=6+3=9x+y = 6 + 3 = 9)
3) Dört ardışık çarpan: 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 (Bu durumda x=5x = 5 ve y+1=2  ⟹  y=1y+1 = 2 \implies y = 1 olur. x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ şartını sağlar. x+y=5+1=6x+y = 5 + 1 = 6)
120'nin ardışık pozitif tam sayı çarpan kombinasyonlarını bulmak.
4
Olası diğer durumları kontrol edelim.
5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 yazıldığında x=5x = 5 ve y+1=1  ⟹  y=0y+1 = 1 \implies y = 0 olur. Ancak soruda yy'nin pozitif tam sayı olması gerektiği belirtildiğinden bu durum elenir. Başka ardışık çarpan grubu da yoktur.
Soruda verilen küme tanımına (pozitif tam sayı) göre sınırları ve uç durumları kontrol etmek.
5
Elde edilen farklı x+yx + y değerlerini toplayalım.
239+9+6=254239 + 9 + 6 = 254 bulunur.
Farklı x+yx+y toplamlarının toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında sadeleştirme ve ardışık sayı çarpımları şeklinde yazma kuralları.
Soru 11Soru →

Birden büyük bir nn tam sayısı için,

(n+1)!−n!(n−1)!+(n−2)!=90\frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 90

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, nn değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Kesirli ifadenin payı n!n! parantezine alındığında n⋅n!n \cdot n!, paydası (n−2)!(n-2)! parantezine alındığında ise n⋅(n−2)!n \cdot (n-2)! elde edilir. Bu değerler oranlandığında nn çarpanları sadeleşir ve geriye kalan n!(n−2)!\frac{n!}{(n-2)!} ifadesi açıldığında n(n−1)=90n(n-1) = 90 denklemi oluşur. Çarpımları 90 olan ardışık iki pozitif tam sayı 10 ve 9 olduğundan, nn değeri 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki (n+1)!−n!(n+1)! - n! ifadesini ortak çarpan parantezine almak amacıyla en küçük terim olan n!n! cinsinden yazıp paranteze alalım.
(n+1)⋅n!−n!=n!⋅(n+1−1)=n⋅n!(n+1) \cdot n! - n! = n! \cdot (n + 1 - 1) = n \cdot n! elde edilir.
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için terimler en küçük faktöriyel cinsinden yazılıp ortak paranteze alınır.
2
Payda kısmındaki (n−1)!+(n−2)!(n-1)! + (n-2)! ifadesini en küçük terim olan (n−2)!(n-2)! cinsinden yazıp ortak paranteze alalım.
(n−1)⋅(n−2)!+(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1+1)=n⋅(n−2)!(n-1) \cdot (n-2)! + (n-2)! = (n-2)! \cdot (n - 1 + 1) = n \cdot (n-2)! elde edilir.
Payda kısmındaki ifadeyi de sadeleştirmeye hazırlamak amacıyla benzer şekilde en küçük faktöriyel teriminin parantezine alırız.
3
Elde edilen pay ve payda değerlerini kesirde yerine koyup sadeleştirelim.
n⋅n!n⋅(n−2)!=n!(n−2)!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!(n−2)!=n⋅(n−1)\frac{n \cdot n!}{n \cdot (n-2)!} = \frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n \cdot (n-1) ifadesine ulaşılır.
Kesrin pay ve paydasındaki ortak nn çarpanları sadeleşir. Ardından kalan n!n! ifadesi (n−2)!(n-2)! çarpanını içerecek şekilde açılarak sadeleştirme tamamlanır.
4
n⋅(n−1)=90n \cdot (n-1) = 90 denklemini çözerek pozitif tam sayı olan nn değerini bulalım.
n⋅(n−1)=10⋅9=90n \cdot (n-1) = 10 \cdot 9 = 90 eşitliğinden n=10n = 10 olarak bulunur.
Çarpımları 90 olan ardışık iki pozitif tam sayıdan büyük olanı nn, küçük olanı ise n−1n-1'dir. Buradan büyük sayı olan nn, 10 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli İfadelerde Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Sadeleştirme
Soru 12Soru →
7!−6!5!\frac{7! - 6!}{5!}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

İşlemin sonucu otuz altı olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadede pay kısmındaki 7!−6!7! - 6! ifadesi, 7⋅6!−6!=6!(7−1)=6!⋅67 \cdot 6! - 6! = 6!(7 - 1) = 6! \cdot 6 şeklinde ortak çarpan parantezine alınır. Elde edilen bu ifade paydadaki 5!5! ile bölündüğünde 6!⋅65!=6⋅5!⋅65!\frac{6! \cdot 6}{5!} = \frac{6 \cdot 5! \cdot 6}{5!} olur. Pay ve paydadaki 5!5! terimleri sadeleştiğinde geriye kalan 6⋅66 \cdot 6 çarpımının sonucu otuz altı olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak olan en küçük faktöriyel terimi cinsinden yazın.
7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! olduğundan pay kısmı 7⋅6!−6!7 \cdot 6! - 6! olur.
Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma işlemi yapabilmek için terimleri aynı cinsten yazmak gerekir.
2
Pay kısmını ortak terim olan 6!6! parantezine alın.
6!⋅(7−1)=6!⋅66! \cdot (7 - 1) = 6! \cdot 6 elde edilir.
Dağılma özelliğini tersten uygulayarak ifadeyi çarpım durumuna getirmek sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
3
Elde edilen ifadeyi paydadaki 5!5! ile oranlayarak sadeleştirin.
6!⋅65!=6⋅5!⋅65!=6⋅6=36\frac{6! \cdot 6}{5!} = \frac{6 \cdot 5! \cdot 6}{5!} = 6 \cdot 6 = 36
6!6! terimi 6⋅5!6 \cdot 5! şeklinde açılarak paydadaki 5!5! terimi ile sadeleştirilir ve sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde büyük olan faktöriyeli küçük olan faktöriyel cinsinden yazarak ortak paranteze alma ve sadeleştirme yapma.
Soru 13Soru →

aa ve bb birer pozitif tam sayıdır.

(a+2)!+(a+1)!+a!(a+1)!−a!=b2\frac{(a+2)! + (a+1)! + a!}{(a+1)! - a!} = \frac{b}{2}

olduğuna göre, bb değişkeninin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 59

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 59'dur.
Verilen denklemde pay ifadesi ortak paranteze alındığında a!(a+2)2a!(a+2)^2 ve payda ifadesi a!⋅aa! \cdot a olarak yazılıp sadeleştirildiğinde (a+2)2a=b2\frac{(a+2)^2}{a} = \frac{b}{2} eşitliği elde edilir. Buradan denklem düzenlenirse b=2a+8+8ab = 2a + 8 + \frac{8}{a} bulunur. İlgili değişkenlerin pozitif tam sayı olduğu bilindiğinden, paydadaki değişken sekiz sayısının pozitif bölenleri {1,2,4,8}\{1, 2, 4, 8\} değerlerini alabilir. Bu değerler yerine yazıldığında aranan değişkenin alabileceği farklı değerler 16, 18 ve 25 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 59'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri en küçük olan terim cinsinden yazıp ortak paranteze alın.
(a+2)!+(a+1)!+a!=a!⋅[(a+2)(a+1)+(a+1)+1]=a!⋅(a2+4a+4)=a!⋅(a+2)2(a+2)! + (a+1)! + a! = a! \cdot [(a+2)(a+1) + (a+1) + 1] = a! \cdot (a^2 + 4a + 4) = a! \cdot (a+2)^2
Pay kısmını sadeleştirmek ve ortak bir çarpan elde etmek için.
2
Payda kısmındaki ifadeleri ortak paranteze alıp sadeleştirin.
(a+1)!−a!=a!⋅(a+1−1)=a!⋅a(a+1)! - a! = a! \cdot (a+1-1) = a! \cdot a. Buradan kesirli ifade a!⋅(a+2)2a!⋅a=(a+2)2a\frac{a! \cdot (a+2)^2}{a! \cdot a} = \frac{(a+2)^2}{a} olur.
Kesri en sade biçimine getirmek için.
3
Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen denkleme eşitleyin ve ilgili değişkeni yalnız bırakın.
(a+2)2a=b2  ⟹  b=2(a+2)2a=2a+8+8a\frac{(a+2)^2}{a} = \frac{b}{2} \implies b = \frac{2(a+2)^2}{a} = 2a + 8 + \frac{8}{a}
Değişkenin alabileceği değerlerin tam sayı olabilme koşullarını belirlemek için.
4
Tanımlanan sayı kümelerine göre olası değerleri hesaplayın.
aa pozitif tam sayı olduğundan sekiz sayısının pozitif bölenleri {1,2,4,8}\{1, 2, 4, 8\} olmalıdır. Bu değerler için sırasıyla 18, 16, 18 ve 25 değerleri elde edilir.
Pozitif tam sayı tanımına uygun değerleri bulmak için.
5
Bulunan farklı değerleri toplayın.
Farklı değerler kümesi {16,18,25}\{16, 18, 25\} olup toplamları 16+18+25=5916 + 18 + 25 = 59 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren cebirsel ifadelerin ortak çarpan parantezine alınarak sadeleştirilmesi ve tam sayı bölen analizinin yapılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a!+b!=2c⋅32a! + b! = 2^c \cdot 3^2
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplam�� kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

a + b + c toplamının değeri 13'tür.
Denklemi sağlayan pozitif tam sayı ikilileri incelendiğinde, a!+b!a! + b! toplamının asal çarpanlarının yalnızca 2 ve 3 olabileceği görülür. Bu durum en az bir değişkenin 5'ten küçük olmasını gerektirir. Yapılan analiz sonucunda tek çözümün {a, b} = {4, 5} ve c = 4 olduğu bulunur. Bu değerlerin toplamı 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin asal çarpanlarının belirlenmesi
2c⋅32=9⋅2c2^c \cdot 3^2 = 9 \cdot 2^c ifadesinin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3'tür. Dolayısıyla, sol taraftaki a!+b!a! + b! ifadesinin 5 veya daha büyük bir asal böleni olamaz.
Eşitliğin her iki tarafının asal çarpanlarının aynı olması gerekmektedir.
2
a ve b değerlerinin aralığının analiz edilmesi
Eğer a≥5a \ge 5 ve b≥5b \ge 5 olsaydı, her iki faktöriyel terimi de 5 ile tam bölüneceğinden toplamları da 5 ile tam bölünürdü. Bu durumda en az bir terim 5'ten küçük olmalıdır. Genelliği bozmadan a≤ba \le b alırsak, a<5a < 5 olmalıdır.
Sol tarafta 5 asal çarpanının bulunmasını engellemek için.
3
a'nın 5'ten küçük değerleri için durum analizi yapılması
a=4a = 4 için 4!+b!=24+b!=9⋅2c4! + b! = 24 + b! = 9 \cdot 2^c elde edilir. Burada b=5b = 5 seçildiğinde 24+120=14424 + 120 = 144 olur. 144=9⋅16=32⋅24144 = 9 \cdot 16 = 3^2 \cdot 2^4 eşitliği sağlar. Diğer a değerleri için uygun tam sayı çözümü bulunmaz.
Denklemin sol tarafını sağlayan uygun b ve c değerlerini bulmak için.
4
Bulunan değerler yardımıyla istenen toplamın hesaplanması
a=4a = 4, b=5b = 5 (veya a=5a = 5, b=4b = 4) ve c=4c = 4 elde edilir. Toplamları 4+5+4=134 + 5 + 4 = 13 olarak bulunur.
İstenen a + b + c toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Kavramı ve Asal Çarpan Analizi
Soru 15Soru →
aa ve bb birden büyük doğal sayılar olmak üzere,
A=(a+1)!−a!(a−1)!A = \frac{(a+1)! - a!}{(a-1)!}
B=(b+1)!+b!(b−1)!B = \frac{(b+1)! + b!}{(b-1)!}
eşitlikleri veriliyor.
A=49A = 49 ve B=80B = 80 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde A=a2A = a^2 ve B=b(b+2)B = b(b+2) denklemleri elde edilir. Buradan a2=49a^2 = 49 eşitliğinden a=7a = 7 ve b(b+2)=80b(b+2) = 80 eşitliğinden b=8b = 8 bulunur. aa ve bb değerlerinin toplamı 7+8=157 + 8 = 15 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
A ifadesinin pay kısmındaki faktöriyelli terimleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
A=a2A = a^2 elde edilir.
(a+1)!−a!=a!⋅(a+1−1)=a!⋅a(a+1)! - a! = a! \cdot (a+1 - 1) = a! \cdot a olarak yazılır. Paydadaki (a−1)!(a-1)! terimi ile sadeleştirme yapıldığında a!⋅a(a−1)!=a⋅(a−1)!⋅a(a−1)!=a2\frac{a! \cdot a}{(a-1)!} = \frac{a \cdot (a-1)! \cdot a}{(a-1)!} = a^2 olur.
2
A = 49 eşitliğini kullanarak a değerini bulun.
a=7a = 7 bulunur.
a2=49a^2 = 49 ve aa birden büyük bir doğal sayı olduğundan a=7a = 7 olmalıdır.
3
B ifadesinin pay kısmındaki faktöriyelli terimleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
B=b(b+2)B = b(b+2) elde edilir.
(b+1)!+b!=b!⋅(b+1+1)=b!⋅(b+2)(b+1)! + b! = b! \cdot (b+1 + 1) = b! \cdot (b+2) olarak yazılır. Paydadaki (b−1)!(b-1)! terimi ile sadeleştirme yapıldığında b!⋅(b+2)(b−1)!=b⋅(b−1)!⋅(b+2)(b−1)!=b(b+2)\frac{b! \cdot (b+2)}{(b-1)!} = \frac{b \cdot (b-1)! \cdot (b+2)}{(b-1)!} = b(b+2) olur.
4
B = 80 eşitliğini kullanarak b değerini bulun.
b=8b = 8 bulunur.
b(b+2)=80b(b+2) = 80 ise b2+2b−80=0b^2 + 2b - 80 = 0 olur. Buradan (b+10)(b−8)=0(b+10)(b-8) = 0 elde edilir. bb birden büyük bir doğal sayı olduğundan b=8b = 8 olmalıdır.
5
Bulunan a ve b değerlerini toplayın.
a+b=15a + b = 15 bulunur.
a=7a = 7 ve b=8b = 8 değerlerinin toplamı 7+8=157 + 8 = 15 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme

Alternatif Yöntem

Faktöriyelleri tek tek açmak yerine genel n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! özelliği kullanılarak pay kısımları paydadaki terim cinsinden doğrudan sadeleştirilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →

Pozitif bir nn tam sayısı için, n!n! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu gösteren değer S(n)S(n) ile ifade edilmektedir.

Buna göre,
S(a)+S(b)=9S(a) + S(b) = 9
eşitliğini sağlayan aa ve bb pozitif tam sayıları için a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Doğru cevap 40'tır. S(a) + S(b) = 9 eşitliğini sağlayan durumlar incelendiğinde, (S(a), S(b)) ikilisi için (1, 8), (2, 7) veya (3, 6) değerleri seçildiğinde en küçük a + b toplamı 40 olarak elde edilir. S(b) = 5 durumunu sağlayan bir b pozitif tam sayısı olmadığı için (4, 5) ikilisi kullanılamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel sayılarının sonundaki sıfır sayısını bulma yöntemini belirleme.
S(n)S(n) fonksiyonu, nn sayısının sürekli 5'e bölünmesiyle elde edilen b��lümlerin toplamı olarak hesaplanır.
n!n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, n!n! içindeki 5 asal çarpanının sayısına eşittir.
2
S(n)S(n) fonksiyonunun farklı aralıklardaki en küçük nn değerlerini listeleme.
S(n)=0→nmin=1S(n) = 0 \rightarrow n_{min} = 1, S(n)=1→nmin=5S(n) = 1 \rightarrow n_{min} = 5, S(n)=2→nmin=10S(n) = 2 \rightarrow n_{min} = 10, S(n)=3→nmin=15S(n) = 3 \rightarrow n_{min} = 15, S(n)=4→nmin=20S(n) = 4 \rightarrow n_{min} = 20, S(n)=6→nmin=25S(n) = 6 \rightarrow n_{min} = 25, S(n)=7→nmin=30S(n) = 7 \rightarrow n_{min} = 30, S(n)=8→nmin=35S(n) = 8 \rightarrow n_{min} = 35, S(n)=9→nmin=40S(n) = 9 \rightarrow n_{min} = 40 elde edilir.
Toplamın en küçük olabilmesi için S(a)S(a) ve S(b)S(b) değerlerini veren en küçük aa ve bb pozitif tam sayılarını kullanmamız gerekir.
3
S(a)+S(b)=9S(a) + S(b) = 9 eşitliğini sağlayan olası durumları inceleme.
S(a)=0,S(b)=9→a+b≥1+40=41S(a) = 0, S(b) = 9 \rightarrow a+b \ge 1+40 = 41; S(a)=1,S(b)=8→a+b≥5+35=40S(a) = 1, S(b) = 8 \rightarrow a+b \ge 5+35 = 40; S(a)=2,S(b)=7→a+b≥10+30=40S(a) = 2, S(b) = 7 \rightarrow a+b \ge 10+30 = 40; S(a)=3,S(b)=6→a+b≥15+25=40S(a) = 3, S(b) = 6 \rightarrow a+b \ge 15+25 = 40. S(a)=4,S(b)=5S(a)=4, S(b)=5 durumu ise S(b)=5S(b)=5 olamayacağı için geçersizdir.
Tüm durumları tek tek analiz ederek a+ba+b toplamının alabileceği en küçük değeri bulmak.
4
Bulunan en küçük değeri sonuç olarak belirleme.
En küçük a+ba+b toplamı 40'tır.
Olası tüm durumlar arasında elde edilen en küçük toplam 40'tır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sayılarının sonundaki sıfır sayısı ve asal çarpan analizi
Soru 17Soru →
aa ve bb pozitif tam sayılardır.
(a−1)!⋅120=b!(a-1)! \cdot 120 = b!
olduğuna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 127

Cevap

Verilen eşitliği sağlayan aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 127'dir.
Verilen denklem b!(a−1)!=120\frac{b!}{(a-1)!} = 120 şeklinde düzenlendiğinde, 120 sayısı ardışık tam sayıların çarpımı olarak 4 farklı şekilde yazılabilir: 120, 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4, 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 ve 5⋅4⋅3⋅2⋅15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1. Buradan aa değerleri 120, 4, 2 ve 1 bulunur. Bu değerlerin toplamı 127'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi düzenleyerek faktöriyellerin oranını elde etme.
b!(a−1)!=120\frac{b!}{(a-1)!} = 120
İki faktöriyelli ifade arasındaki ilişkiyi daha kolay analiz etmek ve ardışık çarpanları belirlemek için denklemi oran biçiminde yazarız.
2
Oranın sonucunun 120 olabilmesi için 120 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde yazma.
120 sayısı şu 4 farklı biçimde ardışık sayıların çarpımı olarak yazılabilir:
1. 120120 (tek çarpan)
2. 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4
3. 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2
4. 5⋅4⋅3⋅2⋅15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
Ardışık sayıların çarpımı biçimindeki her gösterim, b!(a−1)!\frac{b!}{(a-1)!} ifadesindeki sadeleşmeyen terimleri (yani aa'dan bb'ye kadar olan çarpanları) temsil eder.
3
Her durum için aa ve bb pozitif tam sayı değerlerini hesaplama ve aa değerlerini toplama.
1. Durum: b=120b = 120 ve a−1=119  ⟹  a=120a-1 = 119 \implies a = 120
2. Durum: b=6b = 6 ve a−1=3  ⟹  a=4a-1 = 3 \implies a = 4
3. Durum: b=5b = 5 ve a−1=1  ⟹  a=2a-1 = 1 \implies a = 2
4. Durum: b=5b = 5 ve a−1=0  ⟹  a=1a-1 = 0 \implies a = 1
Bu aa değerlerinin toplamı: 120+4+2+1=127120 + 4 + 2 + 1 = 127 olur.
Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan tüm olası aa değerlerini bularak soruda istenen toplamı elde ederiz.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı ve ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 18Soru →

a, b ve c pozitif tam sayılardır.

a!⋅b!=a!+b!+c!a! \cdot b! = a! + b! + c!

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Denklemin tek pozitif tam sayı çözümü a=3a=3, b=3b=3 ve c=4c=4 değerleridir. Bu değerlerin toplamı 3+3+4=103+3+4=10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi düzenleyelim ve pozitif tam sayı koşulunu inceleyelim.
a!⋅b!−a!−b!=c!a! \cdot b! - a! - b! = c! ifadesini elde ederiz.
Denklemi analiz etmek için terimleri bir araya topluyoruz.
2
a değişkeninin k��çük değerleri için denklemi inceleyelim.
a = 1 için çözüm yoktur. a = 2 için b!−2=c!b! - 2 = c! olur; b≥3b \ge 3 için b!b! sayısı 3 ile bölünürken c!+2c! + 2 say��sı 3 ile bölünmez. Dolayısıyla a = 2 için çözüm yoktur.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını sınırlamak amacıyla.
3
a = 3 durumunu inceleyelim.
3!⋅b!=3!+b!+c!  ⟹  6b!=6+b!+c!  ⟹  5b!−6=c!3! \cdot b! = 3! + b! + c! \implies 6b! = 6 + b! + c! \implies 5b! - 6 = c! elde edilir. Burada b=3b = 3 seçilirse 5⋅6−6=24=c!  ⟹  c!=4!  ⟹  c=45 \cdot 6 - 6 = 24 = c! \implies c! = 4! \implies c = 4 bulunur.
a = 3 için olası b ve c değerlerini tespit etmek için.
4
Elde edilen tek çözümü kullanarak toplamı hesaplayalım.
a=3a = 3, b=3b = 3 ve c=4c = 4 değerleri için a+b+c=3+3+4=10a + b + c = 3 + 3 + 4 = 10 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı, faktöriyelli denklemlerin değer analizi ve asal çarpanlar yardımıyla çözülmesi.
Soru 19Soru →
x=15!+14!16x = \frac{15! + 14!}{16}
y=13!⋅15y = 13! \cdot 15
z=16!−15!240z = \frac{16! - 15!}{240}

olmak üzere; xx, yy ve zz sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sayıların doğru sıralaması küçükten büyüğe doğru z < x < y şeklindedir.
Tüm sayılar 14!14! ortak çarpanı parantezinde yazıldığında, katsayılar sırasıyla zz için 1516\frac{15}{16}, xx için 11, yy için ise 1514\frac{15}{14} olarak bulunur. Bu katsayılar arasında 1516<1<1514\frac{15}{16} < 1 < \frac{15}{14} ilişkisi bulunduğundan, doğru sıralama küçükten büyüğe doğru z < x < y olur.

Adım Adım Çözüm

1
xx sayısını ortak çarpan parantezine alarak sadeleştiriniz.
x=14!⋅(15+1)16=14!⋅1616=14!x = \frac{14! \cdot (15 + 1)}{16} = \frac{14! \cdot 16}{16} = 14!
Pay kısmındaki ardışık faktöriyelleri küçük olan terimin (14!14!) parantezine alarak paydadaki terimle sadeleştirdik.
2
yy sayısını 14!14! terimi cinsinden ifade ediniz.
y=13!⋅15=14!14⋅15=1514⋅14!y = 13! \cdot 15 = \frac{14!}{14} \cdot 15 = \frac{15}{14} \cdot 14!
14!=14⋅13!14! = 14 \cdot 13! özdeşliğini kullanarak 13!13! yerine 14!14\frac{14!}{14} yazdık ve karşılaştırma için ortak bir taban elde ettik.
3
zz sayısını sadeleştirip 14!14! cinsinden ifade ediniz.
z=15!⋅(16−1)240=15!⋅15240=15!16=15⋅14!16=1516⋅14!z = \frac{15! \cdot (16 - 1)}{240} = \frac{15! \cdot 15}{240} = \frac{15!}{16} = \frac{15 \cdot 14!}{16} = \frac{15}{16} \cdot 14!
Pay kısmını 15!15! parantezine alarak paydadaki 240240 ile sadeleştirdik, ardından elde edilen 15!15! ifadesini 15⋅14!15 \cdot 14! şeklinde açtık.
4
Ende edilen 14!14! katsayılarını rasyonel sayılarda sıralama kurallarına göre karşılaştırınız.
1516<1<1514\frac{15}{16} < 1 < \frac{15}{14} olduğundan z<x<yz < x < y sıralaması elde edilir.
14!14! değeri pozitif bir tam sayı olduğundan, katsayısı küçük olan ifade en küçük, katsayısı büyük olan ifade ise en büyüktür.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde büyük terimleri küçük terimler cinsinden yazıp ortak paranteze alma ve rasyonel katsayılar yardımıyla sıralama yapma.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →
xx birden büyük bir tam sayı olmak üzere,
(x+2)!−(x+1)!−x!x!−(x−1)!=32\frac{(x+2)! - (x+1)! - x!}{x! - (x-1)!} = 32
olduğuna göre, xx kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen denklem sadeleştirildiğinde elde edilen rasyonel ifadeden bilinmeyen değer dört olarak bulunur.
Denklemde pay ve payda kısımları sırasıyla en küçük terimler cinsinden ortak paranteze alınıp sadeleştirildiğinde rasyonel ifade sadeleşerek bilinmeyen değerin dört olduğu duruma karşılık gelir. Dört değeri denklemde yerine yazıldığında eşitliğin her iki tarafı da doksan altı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri en küçük terim olan x!x! ortak parantezine alarak düzenleyelim.
(x+2)!−(x+1)!−x!=x!⋅[(x+2)(x+1)−(x+1)−1]=x!⋅(x2+3x+2−x−1−1)=x!⋅(x2+2x)=x⋅x!⋅(x+2)(x+2)! - (x+1)! - x! = x! \cdot [(x+2)(x+1) - (x+1) - 1] = x! \cdot (x^2 + 3x + 2 - x - 1 - 1) = x! \cdot (x^2 + 2x) = x \cdot x! \cdot (x+2) elde edilir.
Pay kısmındaki terimleri sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak için.
2
Payda kısmındaki ifadeleri (x−1)!(x-1)! ortak parantezine alarak düzenleyelim.
x!−(x−1)!=(x−1)!⋅(x−1)x! - (x-1)! = (x-1)! \cdot (x - 1) elde edilir.
Payda kısmındaki terimleri sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak için.
3
Elde ettiğimiz pay ve payda ifadelerini kesirde yerine koyup sadeleştirelim.
x⋅x!⋅(x+2)(x−1)!⋅(x−1)=32\frac{x \cdot x! \cdot (x+2)}{(x-1)! \cdot (x-1)} = 32
x!=x⋅(x−1)!x! = x \cdot (x-1)! eşitliğini pay kısmında yerine yazarsak:
x⋅x⋅(x−1)!⋅(x+2)(x−1)!⋅(x−1)=x2(x+2)x−1=32\frac{x \cdot x \cdot (x-1)! \cdot (x+2)}{(x-1)! \cdot (x-1)} = \frac{x^2(x+2)}{x-1} = 32
ifadesi elde edilir.
Ortak çarpanları sadeleştirerek denklemi daha basit bir rasyonel biçime getirmek için.
4
Sadeleşmiş denklemi çözelim veya seçenekleri deneyerek eşitliği sağlayan tam sayı değerini bulalım.
x2(x+2)=32(x−1)x^2(x+2) = 32(x-1)
Bilinmeyen değeri yerine dört yazıldığında:
42(4+2)=16⋅6=964^2(4+2) = 16 \cdot 6 = 96
32(4−1)=32⋅3=9632(4-1) = 32 \cdot 3 = 96
Eşitlik sağlandığından aranan değer dört olarak elde edilir.
Faktöriyel tanımı gereği bilinmeyen değer bir doğal sayı olmak zorunda olduğundan, denklemi sağlayan tam sayı değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme
Sayfa 1 / 2Sonraki