Examkin

Binom Açılımı

3 soru

Tüm türler3Çoktan seçmeli1Sayısal1Boşluk doldurma1
Soru 1Soru →
mm ve nn sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,
(mx2−nx)8\left(mx^2 - \frac{n}{x}\right)^8
ifadesinin açılımında x7x^7 li terimin katsayısı, x4x^4 lü terimin katsayısına eşittir.

Buna göre, mn\frac{m}{n} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1.25

Cevap

İstenen oran −1.25-1.25 olarak bulunur.
Genel terim formülü yardımıyla x7x^7 ve x4x^4 terimlerinin katsayıları sırasıyla −56m5n3-56 m^5 n^3 ve 70m4n470 m^4 n^4 olarak elde edilir. Bu iki katsayının eşitliğinden −56m5n3=70m4n4-56 m^5 n^3 = 70 m^4 n^4 elde edilir ve sadeleştirildiğinde mn=−1.25\frac{m}{n} = -1.25 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazıp düzenleme.
Tk+1=(8k)(mx2)8−k(−nx)k=(8k)m8−k(−1)knkx16−3kT_{k+1} = \binom{8}{k} (mx^2)^{8-k} \left(-\frac{n}{x}\right)^k = \binom{8}{k} m^{8-k} (-1)^k n^k x^{16-3k}
Açılımdaki terimlerin derecelerini ve katsayılarını belirlemek amacıyla genel terim formülü kurulur.
2
İstenen terimlerin derecelerine göre kk değerlerini tespit etme.
x7x^7 terimi için 16−3k=7  ⟹  k=316-3k=7 \implies k=3 ve x4x^4 terimi için 16−3k=4  ⟹  k=416-3k=4 \implies k=4 bulunur.
Hangi terimlerin katsayılarının karşılaştırılacağını bulmak için indeksler belirlenir.
3
Katsayıları eşitleyip mn\frac{m}{n} değerini hesaplama.
−56m5n3=70m4n4  ⟹  −56m=70n  ⟹  mn=−1.25-56 m^5 n^3 = 70 m^4 n^4 \implies -56 m = 70 n \implies \frac{m}{n} = -1.25
Sıfırdan farklı mm ve nn değerleri için gerekli cebirsel sadeleştirmeler yapılarak oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımı genel terimi ve terimlerin katsayıları arasındaki ilişkiler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yeri uygun sayısal değerle doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

(3x−2y)4(3x - 2y)^4 ifadesinin açılımında x2⋅y2x^2 \cdot y^2 teriminin katsayısı olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadenin açılımındaki x2⋅y2x^2 \cdot y^2 teriminin katsayısı 216'dır.
Genel terim formülü olan (4r)(3x)4−r(−2y)r\binom{4}{r} (3x)^{4-r} (-2y)^r ifadesinde x2⋅y2x^2 \cdot y^2 terimi için r=2r = 2 olmalıdır. Değerler yerine yazılıp hesaplandığında (42)⋅9⋅4=6⋅36=216\binom{4}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 6 \cdot 36 = 216 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımın genel terim formülünü yazalım.
Genel terim formülü: (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir. Soruda verilen ifadede n=4n = 4, a=3xa = 3x ve b=−2yb = -2y alınır.
Açılımdaki terimleri belirlemek için genel formülü kullanırız.
2
x2⋅y2x^2 \cdot y^2 terimini veren rr değerini belirleyelim.
Değişkenlerin üslerinin 2 olması için 4−r=24-r = 2 ve r=2r = 2 olmalıdır. Buradan r=2r = 2 bulunur.
Terimin derecesine göre rr parametresini seçeriz.
3
r=2r = 2 için terimi ve katsayısını hesaplayalım.
(42)(3x)2(−2y)2=6⋅9x2⋅4y2=216x2y2\binom{4}{2} (3x)^2 (-2y)^2 = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 = 216x^2y^2 bulunur.
Formüldeki değerleri yerine yazarak katsayıyı hesaplarız.

Anahtar Kavram

Binom açılımının genel terim formülünü kullanarak belirli terimlerin katsayılarını hesaplama.
Soru 3Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(2x3−yx)n\left(2x^3 - \frac{y}{x}\right)^n
ifadesinin açılımındaki terim sayısı 99 dur.

Buna göre, bu açılımdaki x12y3x^{12}y^3 lü terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1792-1792

Cevap

Açılımdaki terimin katsayısı −1792-1792 değeridir.
Açılımda terim sayısı 9 olduğundan binom üssü n=8n=8 olarak belirlenir. x12y3x^{12}y^3 lü terimin katsayısını bulmak için genel terim formülünde r=3r=3 yazılır. Buradan (83)⋅25⋅(−1)3=−1792\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-1)^3 = -1792 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımın terim sayısından hareketle nn değerini bulunuz.
n=8n = 8
(A+B)n(A+B)^n açılımında n+1n+1 adet terim bulunur. Terim sayısı 99 olduğuna göre, n+1=9⇒n=8n+1 = 9 \Rightarrow n = 8 olur.
2
n=8n = 8 için genel terim formülünü yazınız ve istenen terimi belirleyiniz.
r=3r = 3 ve genel terim (8r)⋅(2x3)8−r⋅(−yx)r\binom{8}{r} \cdot (2x^3)^{8-r} \cdot \left(-\frac{y}{x}\right)^r
Genel terim (8r)⋅28−r⋅(−1)r⋅x24−4r⋅yr\binom{8}{r} \cdot 2^{8-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{24-4r} \cdot y^r şeklindedir. x12y3x^{12}y^3 lü terim için yy'nin üssü r=3r = 3 olmalıdır. Bu durumda xx'in üssü de 24−4(3)=1224-4(3) = 12 olur ve koşul sağlanır.
3
Belirlenen r=3r = 3 değeri için terimin katsayısını hesaplayınız.
Katsayı = −1792-1792
Katsayı (83)⋅25⋅(−1)3=56⋅32⋅(−1)=−1792\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-1)^3 = 56 \cdot 32 \cdot (-1) = -1792 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1n+1 olup, genel terim (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle hesaplanır. Negatif terimlerin tek kuvvetlerinin negatif olduğu unutulmamalıdır.
Binom Açılımı Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin