Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler
Her xx ve yy gerçel sayısı için ⊙\odot ve ⊗\otimes işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
x⊙y=2x−y+1x \odot y = 2x - y + 1
x⊗y={x⊙y,x≥yy⊙x,x<yx \otimes y = \begin{cases} x \odot y, & x \geq y \\ y \odot x, & x < y \end{cases}
Buna göre,
(3⊗a)⊗2=13(3 \otimes a) \otimes 2 = 13
eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    0
  2. B
    32\frac{3}{2}
  3. 92\frac{9}{2}Answer
  4. D
    332\frac{33}{2}
  5. E
    392\frac{39}{2}

Answer

92\frac{9}{2}
Verilen eşitlikte (3⊗a)=k(3 \otimes a) = k dönüşümü yapıldığında k⊗2=13k \otimes 2 = 13 denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü için k≥2k \geq 2 ve k<2k < 2 durumları incelenir. İlk durumdan k=7k = 7 (koşula uygun), ikinci durumdan k=−8k = -8 (koşula uygun) bulunur. Ardından 3⊗a=73 \otimes a = 7 denklemi çözüldüğünde 3≥a3 \geq a durumundan a=0a = 0, 3<a3 < a durumundan a=4,5a = 4,5 bulunur ve her iki değer de tanımlı oldukları koşulları sağlar. Son olarak 3⊗a=−83 \otimes a = -8 denklemi çözüldüğünde elde edilen a=15a = 15 ve a=−3a = -3 değerleri, tanımlı oldukları aralık koşullarını sağlamadıkları için elenir. Dolayısıyla denklemi sağlayan geçerli değerlerin toplamı sıfır ile dört buçuğun toplamından dokuz bölü iki olur.

Step-by-Step Solution

1
(3⊗a)⊗2=13(3 \otimes a) \otimes 2 = 13 denkleminde 3⊗a=k3 \otimes a = k dönüşümü uygulanır.
k⊗2=13k \otimes 2 = 13 denklemi elde edilir.
Dıştaki işlemden başlayarak değişkeni yalnız bırakmak.
2
k⊗2=13k \otimes 2 = 13 denklemi, ⊗\otimes işleminin tanımına göre k≥2k \geq 2 ve k<2k < 2 durumları için ayrı ayrı çözülür.
k≥2k \geq 2 için k⊙2=2k−1=13⇒k=7k \odot 2 = 2k - 1 = 13 \Rightarrow k = 7 (koşulu sağlar). k<2k < 2 için 2⊙k=5−k=13⇒k=−82 \odot k = 5 - k = 13 \Rightarrow k = -8 (koşulu sağlar).
Parçalı tanımın sınır değerlerini kontrol ederek olası ara değerleri bulmak.
3
3⊗a=73 \otimes a = 7 denklemi 3≥a3 \geq a ve 3<a3 < a durumlarına göre çözülür.
3≥a3 \geq a için 3⊙a=7−a=7⇒a=03 \odot a = 7 - a = 7 \Rightarrow a = 0 (koşulu sağlar). 3<a3 < a için a⊙3=2a−2=7⇒a=4,5a \odot 3 = 2a - 2 = 7 \Rightarrow a = 4,5 (koşulu sağlar).
İlk ara değer için geçerli kökleri belirlemek.
4
3⊗a=−83 \otimes a = -8 denklemi 3≥a3 \geq a ve 3<a3 < a durumlarına göre çözülür ve sınır şartları denetlenir.
3≥a3 \geq a için 7−a=−8⇒a=157 - a = -8 \Rightarrow a = 15 (15≤315 \leq 3 olmadığı için geçersizdir). 3<a3 < a için 2a−2=−8⇒a=−32a - 2 = -8 \Rightarrow a = -3 (−3>3-3 > 3 olmadığı için geçersizdir).
İkinci ara değerden gelen köklerin tanımlı oldukları aralıkta kalıp kalmadığını kontrol etmek.
5
Koşulları sağlayan geçerli aa değerleri (00 ve 4,54,5) toplanır.
0+4,5=4,50 + 4,5 = 4,5 yani 92\frac{9}{2} bulunur.
Soruda istenen toplam sonucuna ulaşmak.

Key Concept

Parçalı tanımlı özel işlemlerde sınır koşullarının ve eşitsizliklerin çözüm kümesi üzerindeki belirleyici etkisi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic