Examkin

Özel Tanımlı İşlemler

26 questions

Question 1Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ▲\blacktriangle işlemi,

a▲b=(a+1)⋅(b−1)a \blacktriangle b = (a + 1) \cdot (b - 1)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

x▲4=24x \blacktriangle 4 = 24

eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

7
Tanımlanan kurala göre birinci bileşenin 1 fazlası ile ikinci bileşenin 1 eksiği çarpılmalıdır. x▲4=24x \blacktriangle 4 = 24 eşitliğinde bu kural uygulandığında (x+1)⋅(4−1)=24(x + 1) \cdot (4 - 1) = 24 elde edilir. Buradan (x+1)⋅3=24(x + 1) \cdot 3 = 24 ve x+1=8x + 1 = 8 bulunarak x=7x = 7 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Tanımlanan ▲\blacktriangle işlemini xx ve 44 değerleri için uygulamak üzere eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi düzenleyin.
x▲4=(x+1)⋅(4−1)=(x+1)⋅3x \blacktriangle 4 = (x + 1) \cdot (4 - 1) = (x + 1) \cdot 3
İşlem tanımında birinci bileşenin (aa) yerine xx, ikinci bileşenin (bb) yerine 44 yazılması gerektiği için.
2
Elde edilen ifadeyi verilen eşitliğe eşitleyerek bir bilinmeyenli denklemi çözün.
(x+1)⋅3=24⇒x+1=8(x + 1) \cdot 3 = 24 \Rightarrow x + 1 = 8
Eşitliğin her iki tarafını da 3'e bölerek parantez dışındaki çarpanı sadeleştirmek için.
3
xx değerini yalnız bırakın.
x=7x = 7
x+1=8x + 1 = 8 denkleminde eşitliğin her iki tarafından 1 çıkararak xx'i bulmak için.

Key Concept

Özel tanımlı operatörlerde değişkenlerin yerlerine doğru sırayla yerleştirilmesi ve işlem önceliğine dikkat edilerek denklemin çözülmesi
Estimated Time:45s
Question 2Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlanan ∗\ast işlemi, her xx ve yy sayısı için

x∗y={3x−y,x≥yx+2y,x<yx \ast y = \begin{cases} 3x - y, & x \geq y \\ x + 2y, & x < y \end{cases}

eşitliğiyle belirlenmiştir.

Buna göre, (2∗3)∗4(2 \ast 3) \ast 4 ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

20
Doğru cevap 20'dir. (2∗3)∗4(2 \ast 3) \ast 4 işleminde öncelikle parantez içindeki 2∗32 \ast 3 hesaplanır. 2<32 < 3 olduğu için ikinci kural uygulanarak 2+2×3=82 + 2 \times 3 = 8 bulunur. Daha sonra elde edilen bu değerle 8∗48 \ast 4 işlemi gerçekleştirilir. 8≥48 \geq 4 olduğu için birinci kural uygulanarak 3×8−4=203 \times 8 - 4 = 20 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki 2∗32 \ast 3 işlemini hesaplayın.
2∗3=82 \ast 3 = 8
Burada x=2x = 2 ve y=3y = 3 olup, 2<32 < 3 koşulu sağlandığı için ikinci satırdaki x+2yx + 2y kuralı uygulanır: 2+2×3=82 + 2 \times 3 = 8 olur.
2
Elde edilen sonuçla dıştaki sayıyı işleme sokarak 8∗48 \ast 4 işlemini hesaplayın.
8∗4=208 \ast 4 = 20
Burada x=8x = 8 ve y=4y = 4 olup, 8≥48 \geq 4 koşulu sağlandığı için birinci satırdaki 3x−y3x - y kuralı uygulanır: 3×8−4=24−4=203 \times 8 - 4 = 24 - 4 = 20 olur.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler

Hints

1
Öncelikle parantez içindeki işlemi yaparak başlayın.
2
Her adımda işleme giren sayıların büyüklük ilişkisini kontrol ederek hangi satırdaki kuralı uygulayacağınızı belirleyin.
Estimated Time:1m 0s
Question 3Question →

Bir ff fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için

f(1)=1f(1) = 1
f(2n)=f(n)+1f(2n) = f(n) + 1
f(2n+1)=f(n)f(2n+1) = f(n)

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, f(x)=5f(x) = 5 eşitliğini sağlayan en küçük xx pozitif tam sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

En küçük pozitif tam sayı 16'dır.
Soruda verilen fonksiyon kuralları incelendiğinde, fonksiyonun her adımda sayıyı 2'ye böldüğü (ikilik tabanda bir basamak sola kaydırdığı) görülür. Eğer sayı çift ise (2n2n formundaysa) fonksiyon değeri 1 artmakta, tek ise (2n+12n+1 formundaysa) değişmemektedir. Bu durum, fonksiyonun girdi olarak aldığı sayının ikilik tabandaki yazımındaki '0' rakamlarının sayısının 1 fazlasını verdiğini gösterir. f(x)=5f(x) = 5 olması için sayının ikilik gösteriminde 4 adet sıfır olmalıdır. Bu şartı sağlayan en küçük sayı 100002=1610000_2 = 16 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Küçük değerler için fonksiyonun sonuçlarını hesaplayarak davranışı gözlemleyelim.
f(1)=1f(1) = 1, f(2)=f(1)+1=2f(2) = f(1) + 1 = 2, f(3)=f(1)=1f(3) = f(1) = 1, f(4)=f(2)+1=3f(4) = f(2) + 1 = 3, f(5)=f(2)=2f(5) = f(2) = 2, f(6)=f(3)+1=2f(6) = f(3) + 1 = 2, f(7)=f(3)=1f(7) = f(3) = 1, f(8)=f(4)+1=4f(8) = f(4) + 1 = 4 olarak bulunur.
Fonksiyonun kurallarındaki örüntüyü tespit etmek.
2
Elde edilen sonuçları, sayıların ikilik tabandaki (2'lik taban) yazımlarıyla karşılaştıralım.
1 sayısı 12  ⟹  f(1)=11_2 \implies f(1) = 1, 2 sayısı 102  ⟹  f(2)=210_2 \implies f(2) = 2, 3 sayısı 112  ⟹  f(3)=111_2 \implies f(3) = 1, 4 sayısı 1002  ⟹  f(4)=3100_2 \implies f(4) = 3, 8 sayısı 10002  ⟹  f(8)=41000_2 \implies f(8) = 4 olur.
İkilik tabandaki yazım ile fonksiyon çıktısı arasındaki ilişkiyi kurmak.
3
Fonksiyonun genel kuralını formüle edelim.
f(x)f(x) fonksiyonunun sonucu, xx sayısının ikilik tabandaki yazımında yer alan '0' rakamlarının sayısının 1 fazlasıdır. Dolayısıyla, f(x)=5f(x) = 5 olması için xx sayısının ikilik yazımında tam olarak 5−1=45 - 1 = 4 tane sıfır bulunmalıdır.
f(x)=5f(x) = 5 denklemini sağlayan koşulu belirlemek.
4
İkilik tabanda 4 adet sıfır içeren en küçük pozitif tam sayıyı bulalım.
En küçük değeri elde etmek için basamak sayısını en az tutmalıyız. İkilik tabanda en sol basamak 1 olmak zorundadır. Bu basamağın yanına 4 adet sıfır koyarak en küçük sayıyı 10000210000_2 olarak elde ederiz. Bu sayının onluk tabandaki karşılığı 24=162^4 = 16'dır.
Koşulu sağlayan en küçük sayının onluk tabandaki karşılığını hesaplamak.

Key Concept

Özyinelemeli kurallarla tanımlanmış fonksiyonların ikilik taban (binary) analiziyle çözülmesi.

Alternative Method

Fonksiyonun kuralları tersten gidilerek de analiz edilebilir. f(x)=5f(x) = 5 değerine ulaşmak için bir önceki adımda f(y)=4f(y) = 4 olmalıdır. En küçük sayı hedeflendiği için her adımda sayının 2 katı alınarak (yani çift sayı kuralı işletilerek) ilerlenir. f(1)=1→f(2)=2→f(4)=3→f(8)=4→f(16)=5f(1)=1 \rightarrow f(2)=2 \rightarrow f(4)=3 \rightarrow f(8)=4 \rightarrow f(16)=5 adımlarıyla en küçük sayı 16 olarak bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Question 4Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

x⊕y=∣x2−y∣x \oplus y = |x^2 - y|
x⊗y=EBOB(x,y)⋅EKOK(x,y)−(x+y)x \otimes y = \text{EBOB}(x, y) \cdot \text{EKOK}(x, y) - (x + y)

Buna göre,

(a⊕17)⊗6=34(a \oplus 17) \otimes 6 = 34

eşitliğini sağlayan aa pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Eşitliği sağlayan aa pozitif tam sayılarının toplamı 8'dir.
Verilen ⊗\otimes işlemindeki EBOB ve EKOK terimlerinin çarpımı, sayıların kendi çarpımı olan x⋅yx \cdot y ifadesine eşittir. Bu sadeleştirme yapıldığında işlem x⊗y=x⋅y−x−yx \otimes y = x \cdot y - x - y halini alır. Eşitlikte y=6y = 6 ve sonuç 3434 olarak yerine yazıldığında, a⊕17a \oplus 17 ifadesinin değeri 88 olarak bulunur. ⊕\oplus işleminin tanımından ∣a2−17∣=8|a^2 - 17| = 8 elde edilir. Bu mutlak değerli eşitliği sağlayan pozitif tam sayılar 33 ve 55 olup toplamları 88 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
EBOB ve EKOK çarpım özelliğini kullanarak ⊗\otimes işlemini sadeleştirmek
x⊗y=x⋅y−(x+y)x \otimes y = x \cdot y - (x + y)
Herhangi iki pozitif tam sayı için EBOB(x,y)⋅EKOK(x,y)=x⋅y\text{EBOB}(x, y) \cdot \text{EKOK}(x, y) = x \cdot y eşitliği geçerlidir. Bu özelliği yerine koyarak işlemi daha basit bir cebirsel forma getiririz.
2
Verilen denklemde a⊕17a \oplus 17 yerine kk yazıp kk değerini bulmak
k⊗6=34⇒6k−(k+6)=34⇒5k−6=34⇒5k=40⇒k=8k \otimes 6 = 34 \Rightarrow 6k - (k + 6) = 34 \Rightarrow 5k - 6 = 34 \Rightarrow 5k = 40 \Rightarrow k = 8
a⊕17a \oplus 17 ifadesine geçmeden önce dıştaki işlemin sonucunu bularak içteki bilinmeyene ulaşmayı hedefleriz.
3
a⊕17=8a \oplus 17 = 8 eşitliğini işlem tanımına göre mutlak değerli denklem olarak çözmek
∣a2−17∣=8|a^2 - 17| = 8 olur. Buradan iki alt durum incelenir:
1) a2−17=8⇒a2=25⇒a=5a^2 - 17 = 8 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 (Pozitif tam sayı dendiği için a=−5a = -5 elenir)
2) a2−17=−8⇒a2=9⇒a=3a^2 - 17 = -8 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 (Pozitif tam sayı dendiği için a=−3a = -3 elenir)
Mutlak değerli bir denklemin hem pozitif hem de negatif eşitlik durumlarını inceleyerek tüm olası pozitif tam sayı köklerini bulmak gerekir.
4
Bulunan aa değerlerini toplamak
3+5=83 + 5 = 8
Soruda bizden istenen, denklemi sağlayan tüm aa pozitif tam sayılarının toplamıdır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde temel aritmetik özelliklerin (EBOB-EKOK çarpımı) kullanılması ve mutlak değerli denklemlerin çözümü
Question 5Question →
Tam sayılar kümesi üzerinde ⊗\otimes işlemi,
a⊗b=2a+ba \otimes b = 2a + b
biçiminde tanımlanmıştır.
Buna göre,
x⊗4=10x \otimes 4 = 10
eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eşitliği sağlayan xx değeri 3'tür.
İşlem tanımına göre x⊗4x \otimes 4 ifadesi 2x+42x + 4 değerine eşittir. Bu ifadeyi 1010'a eşitlediğimizde 2x+4=10  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x + 4 = 10 \implies 2x = 6 \implies x = 3 bulunur. Bu nedenle doğru yanıt, değeri 3 olan seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Özel tanımlı ⊗\otimes işleminin kuralını x⊗4x \otimes 4 ifadesine uygulayın.
x⊗4=2x+4x \otimes 4 = 2x + 4
İşlem tanımında birinci bileşenin (aa) iki katı ile ikinci bileşen (bb) toplanmaktadır.
2
Elde edilen ifadeyi verilen eşitliğe (1010) eşitleyin.
2x+4=102x + 4 = 10
Soruda x⊗4x \otimes 4 ifadesinin sonucunun 1010 olduğu belirtilmiştir.
3
Oluşan birinci dereceden denklemi çözerek xx değerini bulun.
2x=6  ⟹  x=32x = 6 \implies x = 3
Eşitliğin her iki tarafından 44 çıkarılıp ardından her iki taraf 22'ye bölünerek bilinmeyen yalnız bırakılır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde kuralı doğru değişkenlere uygulamak ve elde edilen denklemi çözmek.
Estimated Time:45s
Question 6Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⟨n⟩\langle n \rangle ve [n][n] sembolleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

* ⟨n⟩\langle n \rangle: nn sayısının farklı asal bölenlerinin toplamı
* [n][n]: nn sayısının pozitif bölenlerinin sayısı

Buna göre,
⟨x⟩+[x]=8\langle x \rangle + [x] = 8
eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük xx doğal sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

25 sayısıdır
Doğru cevap olan 25 sayısı için işlemler uygulandığında; 25'in tek asal böleni 5 olduğundan ⟨25⟩=5\langle 25 \rangle = 5 olur. 25 sayısının pozitif bölenleri {1,5,25}\{1, 5, 25\} olmak üzere 3 adettir, yani [25]=3[25] = 3 olur. Bu iki değerin toplamı 5+3=85 + 3 = 8 eşitliğini sağlar. 25'ten küçük iki basamaklı hiçbir doğal sayı bu koşulu sağlamamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Tanımlanan işlemlerin kurallarını belirlemek.
⟨x⟩\langle x \rangle işlemi xx sayısının asal bölenlerinin toplamını, [x][x] işlemi ise xx sayısının pozitif bölen sayısını vermektedir.
Soruda verilen özel işlemlerin matematiksel karşılıklarını netleştirmek için.
2
Koşulu sağlayan olası iki basamaklı sayı yapılarını analiz etmek.
Eğer xx bir asal sayı olsaydı, ⟨x⟩=x\langle x \rangle = x ve [x]=2[x] = 2 olurdu. Bu durumda x+2=8  ⟹  x=6x + 2 = 8 \implies x = 6 olurdu fakat 6 asal sayı değildir. Eğer xx tek bir asal sayının kuvveti (x=pkx = p^k, k≥2k \ge 2) ise, ⟨x⟩=p\langle x \rangle = p ve [x]=k+1[x] = k + 1 olur. Eşitlikten p+k+1=8  ⟹  p+k=7p + k + 1 = 8 \implies p + k = 7 elde edilir. pp asal ve k≥2k \ge 2 koşulunu sağlayan çiftler: (5, 2) ve (2, 5) değerleridir. Buradan x=52=25x = 5^2 = 25 ve x=25=32x = 2^5 = 32 çözümleri bulunur.
Sayıları tek tek denemek yerine sistematik bir çözüm kümesi oluşturmak için.
3
Farklı asal çarpanlara sahip diğer iki basamaklı sayıları kontrol etmek.
xx sayısı birden fazla asal çarpana sahipse (örneğin x=pa⋅qbx = p^a \cdot q^b), en küçük iki farklı asal sayının toplamı ⟨x⟩≥2+3=5\langle x \rangle \ge 2 + 3 = 5 olur. Pozitif bölen sayısı ise [x]=(a+1)(b+1)≥2⋅2=4[x] = (a+1)(b+1) \ge 2 \cdot 2 = 4 olur. Bu durumda toplam en az 5+4=95 + 4 = 9 olacağından 8 eşitliğini sağlamaları mümkün değildir.
Başka bir iki basamaklı çözümün olmadığını ispatlamak için.
4
Elde edilen çözümler arasından en küçük iki basamaklı olanı seçmek.
Çözüm kümesindeki iki basamaklı sayılar 25 ve 32'dir. Bunlardan en küçüğü 25'tir.
Soruda istenen 'en küçük iki basamaklı sayı' öncülünü uygulamak için.

Key Concept

Özel tanımlı fonksiyonlar ve sayılar teorisinde asal bölenler ile pozitif bölen sayısının kullanımı
Estimated Time:1m 30s
Question 7Question →
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için △\triangle işlemi,
a△b=ab−baa \triangle b = \frac{a}{b} - \frac{b}{a}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(2△1)△x=32(2 \triangle 1) \triangle x = \frac{3}{2}
eşitliğini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: −94-\frac{9}{4}

Answer

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı −94-\frac{9}{4}'tür.
Denklemin çözümünden elde edilen xx değerleri −3-3 ve 34\frac{3}{4} olup, bu değerlerin toplamı −94-\frac{9}{4}'tür.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki 2△12 \triangle 1 işlemini tanımlanan kurala göre hesaplayın.
2△1=21−12=322 \triangle 1 = \frac{2}{1} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
Parantez önceliğinden dolayı en içteki işlem öncelikle yapılmalıdır.
2
Elde edilen sonucu denklemde yerine yazarak yeni denklemi oluşturun: 32△x=32\frac{3}{2} \triangle x = \frac{3}{2}.
32x−x32=32  ⟹  32x−2x3=32\frac{\frac{3}{2}}{x} - \frac{x}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \implies \frac{3}{2x} - \frac{2x}{3} = \frac{3}{2}
Kuralı a=32a = \frac{3}{2} ve b=xb = x değerleri için uygulayarak xx'e bağlı bir denklem elde etmek.
3
Elde edilen rasyonel denklemi çözmek için her iki tarafı paydaların en küçük ortak katı olan 6x6x ile çarpın ve ikinci dereceden denklem formuna getirin.
9−4x2=9x  ⟹  4x2+9x−9=09 - 4x^2 = 9x \implies 4x^2 + 9x - 9 = 0
Denklemi paydalardan kurtararak standart ikinci dereceden denklem haline getirmek.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri bulun.
(4x−3)(x+3)=0  ⟹  x1=34(4x - 3)(x + 3) = 0 \implies x_1 = \frac{3}{4} ve x2=−3x_2 = -3
Eşitliği sağlayan tüm xx gerçel sayı değerlerini belirlemek.
5
Bulunan xx değerlerinin toplamını hesaplayın.
x1+x2=34+(−3)=−94x_1 + x_2 = \frac{3}{4} + (-3) = -\frac{9}{4}
Soruda bizden istenen kökler toplamı değerine ulaşmak.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler
Question 8Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⊙\odot ve ⊡\boxdot işlemleri,

a⊙b=2a+3ba \odot b = 2a + 3b
a⊡b=a2−ba \boxdot b = a^2 - b

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(x⊡2)⊙3=23(x \boxdot 2) \odot 3 = 23

eşitliğini sağlayan pozitif xx tam sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

Pozitif xx tam sayısı 33 olarak bulunur.
Parantez içindeki x⊡2x \boxdot 2 ifadesine yy denildiğinde denklem y⊙3=23y \odot 3 = 23 olur. Tanımlanan kurala göre 2y+3⋅3=23  ⟹  2y=14  ⟹  y=72y + 3 \cdot 3 = 23 \implies 2y = 14 \implies y = 7 bulunur. Buradan x⊡2=7x \boxdot 2 = 7 eşitliği kurulur. ⊡\boxdot işleminin kuralı uygulandığında x2−2=7  ⟹  x2=9x^2 - 2 = 7 \implies x^2 = 9 elde edilir. xx pozitif tam sayı olduğu için x=3x = 3 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki ifadeye geçici bir yy değişkeni atanır.
y=x⊡2y = x \boxdot 2 olmak üzere, denklem y⊙3=23y \odot 3 = 23 halini alır.
İç içe geçmiş işlemleri dıştan içe doğru çözmek için değişken dönüştürme yöntemi kullanılır.
2
⊙\odot işleminin kuralı uygulanarak yy değeri bulunur.
2y+3(3)=23  ⟹  2y+9=23  ⟹  2y=14  ⟹  y=72y + 3(3) = 23 \implies 2y + 9 = 23 \implies 2y = 14 \implies y = 7 elde edilir.
⊙\odot kuralı gereğince birinci bileşenin 2 kat�� ile ikinci bileşenin 3 katı toplanır.
3
Bulunan yy değeri yerine yazılarak xx değişkeni için denklem çözülür.
x⊡2=7  ⟹  x2−2=7  ⟹  x2=9  ⟹  x=3x \boxdot 2 = 7 \implies x^2 - 2 = 7 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 bulunur.
⊡\boxdot kuralı gereğince birinci bileşenin karesinden ikinci bileşen çıkarılır ve xx pozitif bir tam sayı olduğu için pozitif kök alınır.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemlerde Bileşke İşlem Mantığı ve Denklem Çözme
Estimated Time:1m 30s
Question 9Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ⋆\star işlemi, her aa ve bb gerçel sayıları için
a⋆b=2a−3b+2(b⋆a)a \star b = 2a - 3b + 2(b \star a)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, x⋆2=6x \star 2 = 6 eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitliği sağlayan x değeri 5'tir.
Verilen işlem tanımında değişkenlerin rolleri değiştirilerek elde edilen b⋆a=2b−3a+2(a⋆b)b \star a = 2b - 3a + 2(a \star b) ifadesi, ana denklemde yerine yazıldığında a⋆b=4a−b3a \star b = \frac{4a - b}{3} bağıntısına ulaşılır. Bu genel formülde a=xa = x ve b=2b = 2 yazılıp 66'ya eşitlendiğinde x=5x = 5 sonucu bulunur. Bu durum doğru cevabı veren seçenekte yer almaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Tanımlanan işlemde a ve b değişkenlerinin yerlerini değiştirerek ikinci bir eşitlik elde edin.
b⋆a=2b−3a+2(a⋆b)b \star a = 2b - 3a + 2(a \star b) eşitliği elde edilir.
a⋆ba \star b ifadesini tek bir bilinmeyen olarak yalnız bırakabilmek için sistemdeki diğer bilinmeyen olan b⋆ab \star a ifadesinin değerini belirlemek gerekir.
2
Elde edilen b⋆ab \star a ifadesini, orijinal işlem tanımında yerine yazın.
a⋆b=2a−3b+2[2b−3a+2(a⋆b)]a \star b = 2a - 3b + 2[2b - 3a + 2(a \star b)] eşitliği elde edilir.
İki bilinmeyenli denklem sistemi mantığıyla değişkenlerden birini diğeri cinsinden yazarak tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek hedeflenir.
3
Denklemi parantezleri açarak düzenleyin.
a⋆b=2a−3b+4b−6a+4(a⋆b)  ⟹  a⋆b=−4a+b+4(a⋆b)a \star b = 2a - 3b + 4b - 6a + 4(a \star b) \implies a \star b = -4a + b + 4(a \star b) elde edilir.
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirmek gerekir.
4
a⋆ba \star b ifadesini yalnız bırakarak işlemin genel kuralını bulun.
3(a⋆b)=4a−b  ⟹  a⋆b=4a−b33(a \star b) = 4a - b \implies a \star b = \frac{4a - b}{3} kuralı bulunur.
Herhangi bir sayı çifti için işlemin doğrudan sonucunu verecek bağıntıyı elde etmek amaçlanır.
5
Bulunan genel kuralda a yerine x ve b yerine 2 yazarak sonucu 6'ya eşitleyin ve x değerini çözün.
4x−23=6  ⟹  4x−2=18  ⟹  4x=20  ⟹  x=5\frac{4x - 2}{3} = 6 \implies 4x - 2 = 18 \implies 4x = 20 \implies x = 5 olarak bulunur.
Soruda verilen x⋆2=6x \star 2 = 6 koşulunu sağlayan bilinmeyen x değerini belirlemek için denklem çözülür.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde, işlem kuralı içinde işlemin kendisinin ters veya yer değiştirmiş hâli bulunduğunda, değişkenlerin yerleri değiştirilerek bir denklem sistemi oluşturulur ve işlemin sadeleşmiş genel formülü elde edilir.
Question 10Question →
Her nn pozitif tam sayısı için ■(n)\blacksquare(n) işlemi,
■(n)={3n−5,n c¸ift ise2n+1,n tek ise\blacksquare(n) = \begin{cases} 3n - 5, & n \text{ çift ise} \\ 2n + 1, & n \text{ tek ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ■(■(■(4)))\blacksquare(\blacksquare(\blacksquare(4))) işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 31

Answer

İşlemler sırasıyla ve her adımda sayının tek veya çift olma durumu kontrol edilerek yapıldığında doğru sonuca ulaşılır. Bu doğrultuda yapılan hesaplamalar neticesinde doğru cevap otuz bir olarak bulunur.
İşlem adımları sırayla takip edildiğinde, ilk adımda çift olan 4 sayısı için çift kuralı (3n−53n - 5) uygulanarak 7 elde edilir. İkinci adımda tek olan 7 sayısı için tek kuralı (2n+12n + 1) uygulanarak 15 elde edilir. Üçüncü adımda tek olan 15 sayısı için yine tek kuralı uygulanarak 31 sonucuna ulaşılır. Bu nedenle doğru yanıt otuz bir sayısıdır.

Step-by-Step Solution

1
En içteki işlem olan ■(4)\blacksquare(4) ifadesi hesaplanır.
44 çift sayı olduğu için çift sayı kuralı uygulanır: ■(4)=3(4)−5=12−5=7\blacksquare(4) = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7.
İç içe geçmiş işlemlerde en içteki parantezden başlanması gerekir.
2
İlk adımdan elde edilen 77 değeri için ■(7)\blacksquare(7) ifadesi hesaplanır.
77 tek sayı olduğu için tek sayı kuralı uygulanır: ■(7)=2(7)+1=14+1=15\blacksquare(7) = 2(7) + 1 = 14 + 1 = 15.
Bir önceki adımın sonucu, bir sonraki işlemin girdisi olur.
3
İkinci adımdan elde edilen 1515 değeri için en dıştaki ■(15)\blacksquare(15) ifadesi hesaplanır.
1515 tek sayı olduğu için tek sayı kuralı uygulanır: ■(15)=2(15)+1=30+1=31\blacksquare(15) = 2(15) + 1 = 30 + 1 = 31.
Son işlem adımı tamamlanarak genel ifadenin değerine ulaşılır.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler
Question 11Question →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⊗\otimes işlemi,
a⊗b=4a−2ba \otimes b = 4a - 2b
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
x⊗3=10x \otimes 3 = 10
eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Eşitliği sağlayan xx değeri 4'tür.
Tanımlanan işlem kuralına göre x⊗3x \otimes 3 ifadesi 4x−2⋅3=4x−64x - 2 \cdot 3 = 4x - 6 olarak yazılır. Bu ifadeyi 10'a eşitlediğimizde 4x−6=104x - 6 = 10 denklemi elde edilir. Denklemin her iki tarafına 6 eklendiğinde 4x=164x = 16 ve her iki taraf 4'e bölündüğünde x=4x = 4 bulunur. Dolayısıyla doğru seçenek 4 değerini içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Tanımlanan ⊗\otimes işlemini verilen eşitliğe uygulayalım. İşlem tanımında birinci bileşen (aa) yerine xx, ikinci bileşen (bb) yerine ise 33 yazılmalıdır.
x⊗3=4(x)−2(3)=4x−6x \otimes 3 = 4(x) - 2(3) = 4x - 6 ifadesi elde edilir.
İşlem tanımı, birinci bileşenin 4 katından ikinci bileşenin 2 katının çıkarılmasını gerektirmektedir.
2
Elde edilen 4x−64x - 6 ifadesini verilen eşitlik değeri olan 10'a eşitleyelim ve oluşan denklemi çözelim.
4x−6=10⇒4x=16⇒x=44x - 6 = 10 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4 bulunur.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözmek için bilinmeyeni yalnız bırakırız.

Key Concept

Özel tanımlı işlem kurallarını uygulayarak denklem kurma ve çözme.
Estimated Time:45s
Question 12Question →

İki basamaklı ABAB ve CDCD doğal sayıları için △\triangle işlemi

AB△CD=(A+D)⋅(B+C)AB \triangle CD = (A + D) \cdot (B + C)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

xy△34=40xy \triangle 34 = 40

eşitliğini sağlayan kaç farklı iki basamaklı xyxy doğal sayısı vardır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Koşulları sağlayan 3 farklı iki basamaklı doğal sayı vardır.
İşlem tanımı uygulandığında elde edilen (x+4)⋅(y+3)=40(x+4) \cdot (y+3) = 40 denkleminde, xyxy sayısının iki basamaklı bir doğal sayı olması için onlar basamağındaki xx rakamının sıfırdan büyük olması (x≥1x \ge 1) ve birler basamağındaki yy değerinin bir rakam olması (0≤y≤90 \le y \le 9) gerekir. Bu koşulları sağlayan (x,y)(x, y) çiftleri yalnızca (1,5)(1, 5), (4,2)(4, 2) ve (6,1)(6, 1) olup, karşılık gelen sayılar 15, 42 ve 61'dir. Dolayısıyla 3 farklı değer bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen işlemi xyxy ve 3434 sayılarına uygulamak.
xy△34=(x+4)⋅(y+3)=40xy \triangle 34 = (x + 4) \cdot (y + 3) = 40 denklemi elde edilir.
İşlem tanımında birinci sayının onlar basamağı (A=xA=x) ile ikinci sayının birler basamağı (D=4D=4) toplanır; birinci sayının birler basamağı (B=yB=y) ile ikinci sayının onlar basamağı (C=3C=3) toplanır ve bu iki toplam çarpılır.
2
Elde edilen denklemin çarpanlarını belirlemek.
(x+4)⋅(y+3)=40(x + 4) \cdot (y + 3) = 40 eşitliğinde, çarpımları 40 olan pozitif tam sayı çiftleri belirlenir. Bu çiftler: (1,40)(1, 40), (2,20)(2, 20), (4,10)(4, 10), (5,8)(5, 8), (8,5)(8, 5), (10,4)(10, 4), (20,2)(20, 2), (40,1)(40, 1) şeklindedir.
xx ve yy birer rakam olduğu için x+4x+4 ve y+3y+3 ifadeleri pozitif tam sayılardır.
3
Rakam ve basamak koşullarını kontrol etmek.
xyxy iki basamaklı bir doğal sayı olduğundan, xx onlar basamağında yer alır ve x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, yy ise birler basamağında yer alır ve y∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} olmalıdır. Buradan x+4≥5x+4 \ge 5 ve y+3≥3y+3 \ge 3 sınırları elde edilir.
Bir sayının iki basamaklı olabilmesi için onlar basamağının sıfırdan farklı bir rakam olması gerekir.
4
Olası çarpan çiftlerini süzmek.
Belirlenen sınırlar dahilinde çarpan çiftleri incelenir:
- x+4=5x+4 = 5 ve y+3=8  ⟹  x=1,y=5  ⟹  xy=15y+3 = 8 \implies x = 1, y = 5 \implies xy = 15 (Geçerli)
- x+4=8x+4 = 8 ve y+3=5  ⟹  x=4,y=2  ⟹  xy=42y+3 = 5 \implies x = 4, y = 2 \implies xy = 42 (Geçerli)
- x+4=10x+4 = 10 ve y+3=4  ⟹  x=6,y=1  ⟹  xy=61y+3 = 4 \implies x = 6, y = 1 \implies xy = 61 (Geçerli)
- x+4=4x+4 = 4 ve y+3=10  ⟹  x=0,y=7  ⟹  xy=07y+3 = 10 \implies x = 0, y = 7 \implies xy = 07 (Geçersiz, iki basamaklı değil)
Diğer durumlarda xx veya yy rakam sınırını aşmaktadır.
Sadece 15, 42 ve 61 sayıları tüm rakam ve basamak kurallarını sağlar.

Key Concept

Özel tanımlı işlemler ve iki basamaklı sayı kuralları altında denklem çözümü.
Question 13Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle ve □\square işlemleri, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x−yx \triangle y = 2x - y
x□y=x+3yx \square y = x + 3y
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(a△4)□(2△a)=14(a \triangle 4) \square (2 \triangle a) = 14
eşitliğini sağlayan aa gerçel sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -6

Answer

Eşitliği sağlayan aa gerçel sayıs�� −6-6 olarak bulunur.
Tanımlanan işlemler adım adım uygulandığında doğru sonuca ulaşılır. İlk olarak parantez içi ifadeler a△4=2a−4a \triangle 4 = 2a - 4 ve 2△a=4−a2 \triangle a = 4 - a şeklinde bulunur. Bu iki ifade □\square işlemine tabi tutulduğunda, birinci terim ile ikinci terimin 3 katı toplanır: (2a−4)+3(4−a)=8−a(2a - 4) + 3(4 - a) = 8 - a. Bu ifadenin 14'e eşit olduğu bilindiğine göre 8−a=148 - a = 14 eşitliğinden bilinmeyen değer −6-6 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki △\triangle işlemlerini tanımlanan kurala göre açın.
a△4=2a−4a \triangle 4 = 2a - 4 ve 2△a=2(2)−a=4−a2 \triangle a = 2(2) - a = 4 - a olarak bulunur.
△\triangle işlemi, birinci terimin iki katından ikinci terimin çıkarılması şeklinde tanımlanmıştır.
2
Elde edilen ifadeleri □\square işleminde yerlerine yazarak yeni işlemi uygulayın.
(2a−4)□(4−a)=(2a−4)+3(4−a)=2a−4+12−3a=8−a(2a - 4) \square (4 - a) = (2a - 4) + 3(4 - a) = 2a - 4 + 12 - 3a = 8 - a olarak hesaplanır.
□\square işlemi, birinci terim ile ikinci terimin üç katının toplanması şeklinde tanımlanmıştır.
3
Bulunan ifadeyi verilen 14 değerine eşitleyerek bilinmeyen aa değerini çekin.
8−a=14  ⟹  a=−68 - a = 14 \implies a = -6 bulunur.
Denklemin sol tarafındaki işlemin sonucunun 14 olduğu soruda verilmiştir.

Key Concept

İki farklı özel tanımlı işlemin bir denklem içinde sırasıyla uygulanması ve bilinmeyen değerin bulunması.
Estimated Time:1m 30s
Question 14Question →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde △\triangle ve □\square işlemleri, her aa ve bb pozitif tam sayısı için
a△b=EBOB⁡(a,b)+1a \triangle b = \operatorname{EBOB}(a, b) + 1
a□b=EKOK⁡(a,b)−1a \square b = \operatorname{EKOK}(a, b) - 1
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x△12)□8=23(x \triangle 12) \square 8 = 23
eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç farklı xx doğal sayısı vardır?
Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

16
Doğru cevap 16'dır. Çünkü verilen bağıntılardan x△12x \triangle 12 ifadesinin değeri 3 olmalıdır. Buradan EBOB⁡(x,12)=2\operatorname{EBOB}(x, 12) = 2 eşitliğine ulaşılır. İki basamaklı pozitif tam sayılar içinde 2 ile bölünüp 3 ve 4 ile bölünmeyen tam olarak 16 sayı bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Dıştaki kare işlemini çözmek için tanımı uygularız.
Y=x△12Y = x \triangle 12 olsun. Bu durumda Y□8=EKOK⁡(Y,8)−1=23  ⟹  EKOK⁡(Y,8)=24Y \square 8 = \operatorname{EKOK}(Y, 8) - 1 = 23 \implies \operatorname{EKOK}(Y, 8) = 24 olur.
Bileşke işlemi dıştan içe doğru çözülerek içteki ifadenin alabileceği değerler sınırlandırılır.
2
En küçük ortak katı 24 olan Y değerlerini analiz ederiz.
24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 ve 8=238 = 2^3 olduğundan, YY sayısı 33'ün bir katı olmalıdır ve 22'nin kuvveti olarak en fazla 232^3 içerebilir. Bu durumda YY sayısı 3,6,123, 6, 12 veya 2424 olabilir.
Asal çarpan analizi ile EKOK koşulunu sağlayan olası sayıları belirleriz.
3
Y sayısının tanım gereği alabileceği değerleri sınırlarız.
Y=EBOB⁡(x,12)+1Y = \operatorname{EBOB}(x, 12) + 1 olduğundan ve EBOB değeri 1212'nin pozitif bir böleni (1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12) olmak zorunda olduğundan, YY ancak 2,3,4,5,7,132, 3, 4, 5, 7, 13 değerlerini alabilir. Bu küme ile bir önceki adımda bulduğumuz kümenin kesişimi sadece Y=3Y = 3 değeridir.
EBOB tanımından gelen matematiksel kısıtları uygulayarak olası çözümleri bire indirgeriz.
4
EBOB denklemini çözerek x sayısının taşıması gereken özellikleri belirleriz.
Y=3  ⟹  EBOB⁡(x,12)+1=3  ⟹  EBOB⁡(x,12)=2Y = 3 \implies \operatorname{EBOB}(x, 12) + 1 = 3 \implies \operatorname{EBOB}(x, 12) = 2 elde edilir. Bu durum, xx sayısının çift olduğunu (22'ye bölündüğünü) fakat 44 ve 33 ile bölünemediğini gösterir.
EBOB sonucunun tam olarak 2 çıkabilmesi için xx say��sının 1212 ile ortak çarpanlarının sadece 2 olması gerekir.
5
Belirlenen koşullara uyan iki basamaklı x doğal sayılarını sayarız.
xx sayısı 4k+24k+2 formunda olmalıdır. İki basamaklı sayılar için: 10≤4k+2≤99  ⟹  2≤k≤2410 \le 4k+2 \le 99 \implies 2 \le k \le 24 aralığında 24−2+1=2324 - 2 + 1 = 23 sayı vardır. Bu sayılardan 3 ile bölünenleri (k≡1(mod3)k \equiv 1 \pmod 3) çıkarmamız gerekir. Bu kk değerleri 4,7,10,13,16,19,224, 7, 10, 13, 16, 19, 22 olmak üzere 77 tanedir. Sonuç olarak 23−7=1623 - 7 = 16 farklı xx sayısı bulunur.
Kümelerdeki eleman sayısı formüllerini kullanarak aralıktaki koşula uyan sayıların adedini buluruz.

Key Concept

Özel tanımlı fonksiyonlar ile EBOB ve EKOK kavramlarının ortak özelliklerini kullanarak denklem çözme.

Hints

1
Bileşke işlemi çözer gibi önce en dıştaki □\square işlemini kullanarak EKOK⁡(x△12,8)\operatorname{EKOK}(x \triangle 12, 8) değerini bulun.
2
x△12x \triangle 12 ifadesinin EBOB⁡(x,12)+1\operatorname{EBOB}(x, 12) + 1 değerine eşit olduğunu ve EBOB değerinin 1212'nin pozitif bölenlerinden biri olmak zorunda olduğunu dikkate alın.
3
EBOB⁡(x,12)=2\operatorname{EBOB}(x, 12) = 2 olabilmesi için xx sayısının çift olması, ancak 33 ve 44 ile bölünmemesi gerekir. Bu koşulu sağlayan iki basamaklı sayıları belirleyin.

Practice More

Benzer şekilde EBOB ve EKOK operatörleri içeren, fakat bu kez üç değişkenli olan özel tanımlı işlem sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Koşulları belirledikten sonra (4k+24k+2 formunda olup 3 ile bölünmeme), iki basamaklı sayıları tek tek yazarak da kontrol edebilirsiniz: 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46, 50, 58, 62, 70, 74, 82, 86, 94, 98. Bu listede toplam 16 adet sayı olduğunu manuel olarak da doğrulayabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 15Question →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⊗\otimes işlemi,
a⊗b=a⋅ba+2ba \otimes b = \frac{a \cdot b}{a + 2b}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(12⊗x)⊗2=1(12 \otimes x) \otimes 2 = 1
eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

12
İşlem tanımı sırasıyla uygulanıp dıştan içe doğru çözüldüğünde aranan bilinmeyen değer 12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
12⊗x=y12 \otimes x = y dönüşümü yapılarak verilen eşitlik y⊗2=1y \otimes 2 = 1 şeklinde yazılır.
y⊗2=1y \otimes 2 = 1 denklemine ulaşılır.
Çok adımlı işlemleri dıştan içe doğru daha basit bir biçimde çözebilmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
y⊗2y \otimes 2 ifadesi işlem tanımına göre y⋅2y+2⋅2=1\frac{y \cdot 2}{y + 2 \cdot 2} = 1 şeklinde açılır ve elde edilen 2yy+4=1\frac{2y}{y + 4} = 1 denklemi çözülür.
2y=y+4  ⟹  y=42y = y + 4 \implies y = 4 değeri elde edilir.
Dıştaki işlemin sonucunu kullanarak içteki işlemin alması gereken değeri belirlemek amaçlanır.
3
12⊗x=412 \otimes x = 4 eşitliği tanımlı kurala göre 12⋅x12+2x=4\frac{12 \cdot x}{12 + 2x} = 4 olarak yazılır. Bu denklem içler dışlar çarpımı ile 12x=48+8x12x = 48 + 8x şeklinde düzenlenerek çözülür.
4x=48  ⟹  x=124x = 48 \implies x = 12 olarak bulunur.
Bilinmeyen xx değerini elde etmek için son cebirsel aşama tamamlanır.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler
Estimated Time:2m 30s
Question 16Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
a⋆b=3a−2b+1a \star b = 3a - 2b + 1
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x⋆4)⋆2=21(x \star 4) \star 2 = 21
eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Doğru cevap 5 değeridir.
İşlem tanımı dıştan içe doğru adım adım uygulandığında, ilk olarak (x⋆4)⋆2=21(x \star 4) \star 2 = 21 eşitliğinden x⋆4=8x \star 4 = 8 elde edilir. İkinci adımda x⋆4=8x \star 4 = 8 eşitliği çözüldüğünde 3x−7=83x - 7 = 8 ve buradan x=5x = 5 bulunur. Dolayısıyla 5 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikteki (x⋆4)(x \star 4) ifadesine yy diyelim. Bu durumda denklem y⋆2=21y \star 2 = 21 hâline gelir.
y⋆2=21y \star 2 = 21
İç içe geçmiş işlemleri dıştan içe doğru çözmek için değişken dönüşümü yapılır.
2
y⋆2y \star 2 işlemini tanımlanan a⋆b=3a−2b+1a \star b = 3a - 2b + 1 kuralına göre açalım ve 3y−2(2)+1=213y - 2(2) + 1 = 21 denklemini çözelim.
3y−3=21  ⟹  3y=24  ⟹  y=83y - 3 = 21 \implies 3y = 24 \implies y = 8
Dıştaki işlemin sonucundan faydalanarak yy değerini belirlemek gerekir.
3
y=8y = 8 olduğuna göre x⋆4=8x \star 4 = 8 eşitliğini kurala göre açarak xx değerini bulalım: 3x−2(4)+1=83x - 2(4) + 1 = 8 denklemini çözelim.
3x−8+1=8  ⟹  3x−7=8  ⟹  3x=15  ⟹  x=53x - 8 + 1 = 8 \implies 3x - 7 = 8 \implies 3x = 15 \implies x = 5
Değişken tanımını kullanarak başlangıçtaki bilinmeyen olan xx değerine ulaşılır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde işlem önceliği ve değişken dönüşümü yardımıyla ters işlem yapma.
Question 17Question →

Her nn pozitif tam sayısı için [n][n] ve ⟨n⟩\langle n \rangle sembolleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

* [n][n]: nn sayısının farklı asal bölenlerinin toplamı
* ⟨n⟩\langle n \rangle: nn sayısının pozitif bölenlerinin sayısı

Buna göre,
[18]+⟨24⟩[18] + \langle 24 \rangle
toplamının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

13
Doğru seçenekte belirtilen 13 cevabı, [18][18] işleminin sonucunun 5 ve ⟨24⟩\langle 24 \rangle işleminin sonucunun 8 olarak doğru hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
[18][18] ifadesinin değerini bulmak için 18 sayısını asal çarpanlarına ayırırız.
18=2×3218 = 2 \times 3^2 elde edilir.
Tanıma göre 18'in farklı asal bölenlerini tespit etmemiz gerekir.
2
18 sayısının farklı asal bölenlerini toplayarak [18][18] değerini hesaplarız.
[18]=2+3=5[18] = 2 + 3 = 5 olur.
18 sayısının farklı asal bölenleri sadece 2 ve 3'tür.
3
⟨24⟩\langle 24 \rangle ifadesinin değerini bulmak için 24 sayısını asal çarpanlarına ayırıp pozitif bölen sayısını hesaplarız.
24=23×3124 = 2^3 \times 3^1 olup pozitif bölen sayısı (3+1)×(1+1)=4×2=8(3+1) \times (1+1) = 4 \times 2 = 8 olarak bulunur.
Bir sayının pozitif bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımıyla bulunur.
4
Bulduğumuz iki değeri toplarız.
5+8=135 + 8 = 13 elde edilir.
Soruda bizden bu iki ifadenin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler ve Asal Çarpanlara Ayırma

Hints

1
Soruda verilen sembolleri sırasıyla ele alın ve önce 18 ile 24 sayılarının asal çarpanlarını bulun.
2
18=2×3218 = 2 \times 3^2 ve 24=23×324 = 2^3 \times 3 şeklinde yazılır. [18][18] işlemi için 18'in sadece farklı asal çarpanlarını (tabanları) toplamanız gerektiğini unutmayın.
3
⟨24⟩\langle 24 \rangle ifadesi pozitif bölen sayısını sormaktadır. Bunu bulmak için asal çarpanların üslerini 1 artırıp çarpın: (3+1)×(1+1)=8(3+1) \times (1+1) = 8. Sonrasında bulduğunuz 5 ile 8 değerlerini toplayın.
Estimated Time:1m 30s
Question 18Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ⊞\boxplus işlemi, her (x,y)(x, y) ve (z,w)(z, w) gerçel sayı ikilileri için
(x,y)⊞(z,w)=(xz+yw, xw−yz)(x, y) \boxplus (z, w) = (xz + yw, \, xw - yz)
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(a,2)⊞(3,−1)=(4,b)(a, 2) \boxplus (3, -1) = (4, b)
eşitliğini sağlayan aa ve bb gerçel sayıları için a+ba + b toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -6

Answer

İşlemin doğru uygulanmasıyla elde edilen a+ba + b toplamı −6-6'dır.
Tanımlanan işleme göre, (a,2)⊞(3,−1)(a, 2) \boxplus (3, -1) işleminin birinci bileşeni 3a−23a - 2, ikinci bileşeni ise −a−6-a - 6 olur. Bu ikili (4,b)(4, b)'ye eşit olduğundan, 3a−2=43a - 2 = 4 eşitliğinden a=2a = 2 bulunur. Bulunan bu değer ikinci bileşende yerine yazıldığında b=−2−6=−8b = -2 - 6 = -8 elde edilir. Bu iki değerin toplamı 2+(−8)=−62 + (-8) = -6 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen (a,2)⊞(3,−1)(a, 2) \boxplus (3, -1) işlemini tanımlanan kurala göre açın.
(a,2)⊞(3,−1)=(a⋅3+2⋅(−1), a⋅(−1)−2⋅3)=(3a−2, −a−6)(a, 2) \boxplus (3, -1) = (a \cdot 3 + 2 \cdot (-1), \, a \cdot (-1) - 2 \cdot 3) = (3a - 2, \, -a - 6)
Tanımda birinci bileşenin xz+ywxz + yw ve ikinci bileşenin xw−yzxw - yz olduğu verilmiştir.
2
Elde edilen ikiliyi (4,b)(4, b) ikilisine eşitleyerek birinci bileşenden aa değerini bulun.
3a−2=4  ⟹  3a=6  ⟹  a=23a - 2 = 4 \implies 3a = 6 \implies a = 2
İki sıralı ikilinin eşitliğinde karşılıklı bileşenler birbirine eşit olmalıdır.
3
Bulunan a=2a = 2 değerini kullanarak ikinci bileşenden bb değerini hesaplayın.
b=−a−6  ⟹  b=−2−6=−8b = -a - 6 \implies b = -2 - 6 = -8
İkinci bileşenlerin eşitliğinden b=−a−6b = -a - 6 bağıntısı geçerlidir.
4
a+ba + b toplamını hesaplayın.
a+b=2+(−8)=−6a + b = 2 + (-8) = -6
Soruda bizden istenen değer a+ba + b toplamıdır.

Key Concept

Özel tanımlı ikili işlemler ve sıralı ikililerin eşitliği prensibi.
Estimated Time:1m 30s
Question 19Question →

Bir nn pozitif tam sayısı için S(n)S(n) işlemi, nn sayısının basamaklar��ndaki rakamların karelerinin toplamı olarak tanımlanıyor.

Örneğin;
S(24)=22+42=20S(24) = 2^2 + 4^2 = 20

Buna göre, S(S(x))=17S(S(x)) = 17 eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük xx doğal sayısı hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

45
45 sayısı için işlem iki kez uygulandığında; ilk adımda S(45)=42+52=41S(45) = 4^2 + 5^2 = 41 elde edilir. İkinci adımda S(41)=42+12=17S(41) = 4^2 + 1^2 = 17 bulunur. Bu sayede S(S(45))=17S(S(45)) = 17 koşulu sağlanır. Aynı koşulu sağlayan diğer iki basamaklı sayı 54'tür (S(S(54))=S(41)=17S(S(54)) = S(41) = 17). Bu iki sayı arasından en küçük olanı 45'tir.

Step-by-Step Solution

1
S(S(x))=17S(S(x)) = 17 denkleminde S(x)=yS(x) = y değişken dönüşümü yapılır.
S(y)=17S(y) = 17 eşitliğini sağlayan yy değerlerini bulma problemine indirgenir.
İki adımlı işlemi çözmek için içteki fonksiyonun sonucunu harflendirerek geriye doğru gitmek gerekir.
2
xx iki basamaklı bir doğal sayı olduğundan, y=S(x)y = S(x) değerinin alabileceği en büyük değer hesaplanır.
yy değeri en fazla 92+92=1629^2 + 9^2 = 162 olabilir. Dolayısıyla y≤162y \le 162 sınırlandırması elde edilir.
Bulunacak yy değerlerinin iki basamaklı bir sayının rakamları kareleri toplamı sınırını aşmaması gerekir.
3
Rakamlarının kareleri toplamı 17 olan ve 162'den küçük veya eşit olan yy sayıları belirlenir.
İki basamaklı yy sayıları için c2+d2=17  ⟹  y∈{14,41}c^2 + d^2 = 17 \implies y \in \{14, 41\} bulunur. Üç basamaklı yy sayıları için y≤162y \le 162 olduğundan ilk basamak 1 olmalıdır. 12+d2+e2=17  ⟹  d2+e2=16  ⟹  y∈{104,140}1^2 + d^2 + e^2 = 17 \implies d^2 + e^2 = 16 \implies y \in \{104, 140\} elde edilir. Böylece y∈{14,41,104,140}y \in \{14, 41, 104, 140\} olur.
Tanımlanan kurala göre S(y)=17S(y) = 17 koşulunu sağlayan tüm olası ara değerleri tespit etmek gerekir.
4
Her bir yy de��eri için S(x)=yS(x) = y denklemi çözülerek iki basamaklı x=abx = ab sayıları aranır.
a2+b2=14a^2 + b^2 = 14 için tam sayı çözümü yoktur. a2+b2=41  ⟹  a2+b2=42+52a^2 + b^2 = 41 \implies a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 olduğundan x∈{45,54}x \in \{45, 54\} bulunur. a2+b2=104a^2 + b^2 = 104 ve a2+b2=140a^2 + b^2 = 140 için rakamlar kümesinde çözüm yoktur.
S(x)S(x) işlemini sağlayan xx değerlerini tespit etmek için basamak kareleri toplamını kontrol ederiz.
5
Bulunan xx değerlerinden en küçüğü seçilir.
x∈{45,54}x \in \{45, 54\} kümesindeki en küçük eleman 45 olarak belirlenir.
Soruda iki basamaklı en küçük xx sayısı istendiği için 45 seçilir.

Key Concept

Özel tanımlı fonksiyonlarda ters işlem adımlarını ve basamak kısıtlarını kullanarak çözüm yapma

Hints

1
S(S(x))=17S(S(x)) = 17 ifadesinde önce içerideki S(x)S(x) değerini tek bir değişken (örneğin yy) gibi düşünerek S(y)=17S(y) = 17 denklemini çözün.
2
S(y)=17S(y) = 17 ise yy sayısının rakamlarının kareleri toplamı 17 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan yy sayılarını ararken xx iki basamaklı olduğu için y=S(x)y = S(x) değerinin en fazla 92+92=1629^2 + 9^2 = 162 olabileceğini unutmayın.
3
yy değerleri 14, 41, 104 ve 140 olabilir. Buradan basamak kareleri toplamı bu sayılardan birine eşit olan iki basamaklı xx sayılarını bulup aralarından en küçük olanını seçin.

Practice More

Benzer kurallarla üç adımlı işlemler veya basamak sayısı farklı olan durumlar incelenebilir.

Alternative Method

Alternatif olarak, seçeneklerdeki sayıları doğrudan test edebilirsiniz. Örneğin; 45 sayısı için S(45)=16+25=41S(45) = 16 + 25 = 41 ve S(41)=16+1=17S(41) = 16 + 1 = 17 olduğundan eşitliğin sağlandığı doğrudan görülür. Diğer küçük seçenekler olan 14 ve 41 test edildiğinde sadece tek işlem adımında 17'ye ulaştıkları için elenirler.
Estimated Time:1m 30s
Question 20Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⊙\odot işlemi, her aa ve bb pozitif tam sayısı için

a⊙b={a2−3b,a>b ise3a+b2,a≤b isea \odot b = \begin{cases} a^2 - 3b, & a > b \text{ ise} \\ 3a + b^2, & a \le b \text{ ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(5⊙4)⊙x=160(5 \odot 4) \odot x = 160

eşitliğini sağlayan xx pozitif tam sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

3
Verilen parçalı işlem tanımına göre 5⊙45 \odot 4 hesaplandığında, 5>45 > 4 olduğundan ilk kural uygulanır ve 1313 elde edilir. Ardından 13⊙x=16013 \odot x = 160 eşitliğinde 13>x13 > x koşulu altında birinci kural uygulandığında 169−3x=160  ⟹  x=3169 - 3x = 160 \implies x = 3 bulunur. 3<133 < 13 koşulu sağlandığı için bu değer doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki 5⊙45 \odot 4 işlemini hesaplayınız.
5⊙4=52−3⋅4=25−12=135 \odot 4 = 5^2 - 3 \cdot 4 = 25 - 12 = 13
5>45 > 4 olduğu için tanımın ilk satırındaki a⊙b=a2−3ba \odot b = a^2 - 3b kuralı uygulanmalıdır.
2
13⊙x=16013 \odot x = 160 eşitliğini çözmek için 13>x13 > x koşulunu varsayınız.
132−3x=160  ⟹  169−3x=160  ⟹  3x=9  ⟹  x=313^2 - 3x = 160 \implies 169 - 3x = 160 \implies 3x = 9 \implies x = 3
Eğer 13>x13 > x ise birinci satırdaki a2−3ba^2 - 3b kuralı geçerlidir. Bulunan x=3x = 3 değeri 13>313 > 3 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.
3
Alternatif olarak 13≤x13 \le x koşulunu varsayarak denklemi çözüp kontrol ediniz.
3⋅13+x2=160  ⟹  39+x2=160  ⟹  x2=121  ⟹  x=113 \cdot 13 + x^2 = 160 \implies 39 + x^2 = 160 \implies x^2 = 121 \implies x = 11
Eğer 13≤x13 \le x ise ikinci satırdaki 3a+b23a + b^2 kuralı geçerlidir. Ancak bulunan x=11x = 11 değeri 13≤1113 \le 11 koşulunu sağlamadığı için bu durumdan geçerli bir çözüm elde edilemez.

Key Concept

Parçalı kurallarla tanımlanmış özel işlemlerde koşullara uygun işlem basamaklarının uygulanması ve elde edilen sonuçların başlangıç koşullarıyla test edilmesi.
Page 1 / 2Next