Examkin

Question

Difficulty: Very hardTek ve Çift Sayılar
Sıfırdan büyük aa, bb ve cc tam sayıları için
ab+bc a^b + b^c
ifadesinin bir çift sayı,
bc+ca b^c + c^a
ifadesinin ise bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

  1. A
    a⋅b+ca \cdot b + c
  2. B
    a⋅b+b⋅c+c⋅aa \cdot b + b \cdot c + c \cdot a
  3. ac+ba^c + bAnswer
  4. D
    ba+cb^a + c
  5. E
    (a+c)b+b(a + c)^b + b

Answer

ac+ba^c + b ifadesi her zaman çift sayıdır.
Doğru seçenekteki ac+ba^c + b ifadesi, a,ba, b çift ve cc tek iken çiftin tek kuvveti ile çiftin toplamı (çift + çift = çift) olur. a,ba, b tek ve cc çift iken tekin çift kuvveti ile tekin toplamı (tek + tek = çift) olur. Her iki olası durumda da sonuç çift sayı çıktığından bu ifade her zaman çifttir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ilk ifade olan ab+bca^b + b^c toplamının çift sayı olmasını analiz edin.
aba^b ve bcb^c ifadelerinin tabanlarının (aa ve bb) teklik-çiftlik durumları aynı olmalıdır. Yani aa ve bb ya ikisi de çift ya da ikisi de tektir.
Pozitif tam sayı ��sler tabanın teklik-çiftlik durumunu değiştirmez. İki sayının toplamının çift olması için bu sayıların aynı tekliğe/çiftliğe sahip olması gerekir.
2
Verilen ikinci ifade olan bc+cab^c + c^a toplamının tek sayı olmasını analiz edin.
bcb^c ve cac^a ifadelerinin tabanları (bb ve cc) zıt teklik-çiftlik durumlarına sahip olmalıdır. Yani bb çift ise cc tek, bb tek ise cc çift olmalıdır.
İki sayının toplamının tek olması için bu sayıların farklı teklik-çiftlik durumlarına sahip olması gerekir.
3
Elde edilen teklik-çiftlik durumlarını iki ayrı durum olarak listeleyin.
1. Durum: aa çift, bb çift ve cc tektir. 2. Durum: aa tek, bb tek ve cc çifttir.
Soruda verilen ifadelerin her ikisinin de aynı anda sağlanabilmesi için bu iki durumdan birinin geçerli olması zorunludur.
4
ac+ba^c + b ifadesinin bu iki durum için teklik-çiftlik karakterini inceleyin.
1. Durumda: ac+b=c¸ifttek+c¸ift=c¸ift+c¸ift=c¸ifta^c + b = \text{çift}^{\text{tek}} + \text{çift} = \text{çift} + \text{çift} = \text{çift}. 2. Durumda: ac+b=tekc¸ift+tek=tek+tek=c¸ifta^c + b = \text{tek}^{\text{çift}} + \text{tek} = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}. Her iki durumda da sonuç çifttir.
Her iki olası durumda da ifadenin sonucu çift sayı çıktığı için bu ifade her zaman çift sayıdır.

Key Concept

Pozitif tam sayı üs içeren ifadelerde tabanın teklik-çiftlik durumunun incelenmesi ve iki değişkenli durum analizleri.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic