Temel Kavramlar ve Sayılar Practice Questions — ALES

Pozitif

a

ve

b

tam sayıları için

a! = 6 \cdot b!

olduğuna göre,

a + b

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

En küçük

a+b

toplamı 4 olarak bulunur.

Verilen

a! = 6 \cdot b!

eşitliği

b=1

için

a! = 6 \cdot 1 = 6 = 3!

den

a=3

sonucunu verir ve en küçük toplamı

3+1=4

yapar.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

a! = 6 \cdot b!

eşitliğini sağlayan pozitif tam sayı çiftlerini bulmak için faktöriyel özelliklerini kullanalım.

a!

ve

b!

ifadeleri pozitif tam sayıların faktöriyelleridir.

Çözüm kümesini doğru tanımlamak için.

2

6

sayısının

3!

değerine eşit olduğunu göz önüne alarak

b=1

değerini deneyelim.

a! = 6 \cdot 1! = 6 = 3!

eşitliğinden

a = 3

bulunur.

Eşitliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı çiftini belirlemek için.

3

a! = n \cdot (n-1)!

kuralından hareketle

6

çarpanını

5!

ile çarparak ardışık yazalım.

a! = 6 \cdot 5! = 6!

eşitliğinden

a = 6

ve

b = 5

bulunur.

Diğer olası pozitif tam sayı çiftini bulmak için.

4

Elde edilen

(3, 1)

ve

(6, 5)

çiftleri için

a+b

toplamlarını hesaplayıp en küçüğünü belirleyelim.

3+1=4

ve

6+5=11

toplamlarından en küçük olanı

4

'tür.

Soruda istenen en küçük toplamı bulmak için.

Key Concept

Faktöriyel sadeleştirmesi ve ardışık çarpan analizi

Question 2Question →

p

,

q

ve

r

birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

p \cdot q + r = 41

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $p \cdot q \cdot r$ çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

310

418

238

78

390

Show answer & explanation

Answer: 418

Answer

En büyük çarpım değeri

418

olarak bulunur.

Verilen eşitliği sağlayan birbirinden farklı asal sayı üçlüleri arasından elde edilebilecek en büyük çarpım değeri

418

sayısıdır. Bu değer,

p=2

,

q=11

ve

r=19

(veya yer değiştirmiş halleri) asal sayıları için

2 \cdot 11 + 19 = 41

eşitliğinin sağlanmasıyla elde edilir ve çarpımları

2 \cdot 11 \cdot 19 = 418

olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

p \cdot q + r = 41

eşitliğinde

41

sayısı bir tek sayıdır. İki sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin çift, diğerinin tek olması gerekir. Buradan iki durum ortaya çıkar.

Durum 1:

p \cdot q

çift ve

r

tek olmalıdır. Durum 2:

p \cdot q

tek ve

r

çift olmalıdır.

Toplamın teklik-çiftlik kurallarını kullanarak olası durumları belirlemek.

2

Durum 1'i inceleyelim:

p \cdot q

çift ise,

p

ve

q

asal sayılarından en az biri çift asal sayı olan

2

olmalıdır.

p = 2

alalım (çarpım simetrik olduğundan

q = 2

durumu da aynı sonuçları verir). Bu durumda denklem

2q + r = 41

halini alır.

q

asal sayısına değerler vererek

r = 41 - 2q

değerinin de asal sayı olmasını sağlayacak durumları test edelim:
-

q = 3 \implies r = 35

(asal değil)
-

q = 5 \implies r = 31

(asal)

\implies

Çarpım:

2 \cdot 5 \cdot 31 = 310

-

q = 7 \implies r = 27

(asal değil)
-

q = 11 \implies r = 19

(asal)

\implies

Çarpım:

2 \cdot 11 \cdot 19 = 418

-

q = 17 \implies r = 7

(asal)

\implies

Çarpım:

2 \cdot 17 \cdot 7 = 238

-

q = 19 \implies r = 3

(asal)

\implies

Çarpım:

2 \cdot 19 \cdot 3 = 114

Durum 1 için mümkün olan en büyük çarpım değeri

418

olarak elde edilir.

Çift asal sayı özelliğinden yararlanarak olası tüm üçlüleri bulmak.

3

Durum 2'yi inceleyelim:

p \cdot q

tek ve

r

çift olmalıdır. Çift olan tek asal sayı

2

olduğundan

r = 2

olmalıdır. Bu durumda denklem

p \cdot q + 2 = 41 \implies p \cdot q = 39

olur. Çarpımları

39

olan asal sayı çifti

3

ve

13

olduğundan

\{p, q, r\} = \{3, 13, 2\}

elde edilir.

Bu durum için çarpım değeri

3 \cdot 13 \cdot 2 = 78

olur.

Çift olan tek asal sayının

2

olması bilgisini kullanarak diğer durumu analiz etmek.

4

Elde edilen tüm çarpım değerlerini (

310

,

418

,

238

,

114

,

78

) karşılaştırarak en büyüğünü belirleyelim.

En büyük değer

418

'dir.

Soru kökünde istenen maksimum değeri seçmek.

Key Concept

Asal sayıların tanımı, çift asal sayı olan

2

sayısının özel durumu ve teklik-çiftlik kurallarının birlikte uygulanması

Estimated Time:2m 0s

Question 3Question →

Sıfırdan farklı

p

,

q

ve

r

gerçel sayıları için

p - q > 0

\frac{q - r}{p \cdot r} < 0

p \cdot q^3 \cdot r^5 > 0

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima pozitif bir gerçel sayıya eşittir?

\frac{p - r}{q}

r \cdot (p - q)

\frac{p \cdot r}{r - q}

q \cdot (r - p)

\frac{q \cdot r}{q - p}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{p \cdot r}{r - q}$

Answer

\frac{p \cdot r}{r - q}

ifadesi daima pozitiftir.

Verilen eşitsizliklerden

p \cdot q \cdot r > 0

ve

p > q

elde edilir. Bu koşulları sağlayan iki durum vardır: Tüm değişkenlerin pozitif olduğu (

p > q > 0, r > q > 0

) durum ve iki değişkenin negatif olduğu (

p > 0 > q > r

) durum.

\frac{p \cdot r}{r - q}

ifadesi incelendiğinde; tümü pozitifken pay (

p \cdot r

) ve payda (

r - q

) pozitif olduğundan sonuç pozitif olur. İkinci durumda ise pay negatif (

p \cdot r < 0

) ve payda negatif (

r - q < 0

) olduğundan sonuç yine pozitif olur. Dolayısıyla bu ifade daima pozitiftir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitsizliklerden değişkenlerin işaret çarpımını belirleme

p \cdot q \cdot r > 0

elde edilir.

Tek kuvvetli ifadelerin işareti tabanlarının işaretiyle aynı olduğundan çarpımın işareti korunur.

2

Değişkenlerin alabileceği işaret durumlarını ve sıralamaları analiz etme

İki olası durum bulunur: 1)

p > q > 0

ve

r > q > 0

; 2)

p > 0 > q > r

.

p > q

ve

\frac{q - r}{p \cdot r} < 0

koşullarının

p \cdot q \cdot r > 0

ile tutarlı olması için bu iki durumun geçerli olması gerekir.

3

Her iki durum için doğru seçenekteki ifadenin işaretini kontrol etme

Her iki durumda da

\frac{p \cdot r}{r - q}

ifadesinin pay ve paydasının işaretleri aynı olduğundan sonuç daima pozitif çıkar.

Birinci durumda pay ve payda pozitif, ikinci durumda ise pay ve payda negatiftir. Negatifin negatife bölümü pozitif olduğundan sonuç daima pozitiftir.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayıların Çarpma ve Bölme Özellikleri

Question 4Question →

x

ve

y

pozitif tam sayılar olmak üzere,

\frac{x!}{(y-1)!} = 12y + 12

eşitliğini sağlayan farklı

x

değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Eşitliği sağlayan farklı

x

değerlerinin toplamı 17'dir.

Verilen denklem düzenlendiğinde

y(y+1)\dots x = 12(y+1)

elde edilir. Her iki taraf

y+1

ile sadeleştirildiğinde geriye kalan ardışık çarpanların çarpımının 12 olması gerekir. Bu durum

y=12

(tek çarpanlı durum,

x=13

) veya

y(y+2)=12

(iki çarpanlı durum,

y=1

ve

x=4

) olmak üzere iki farklı

x

değeri üretir. Bu değerlerin toplamı da 17'dir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin sağ tarafını ortak çarpan parantezine alın.

12y + 12 = 12(y+1)

olur. Böylece denklem

\frac{x!}{(y-1)!} = 12(y+1)

haline gelir.

Denklemi sadeleştirmek ve çarpanları daha net görmek için sağ tarafı düzenleriz.

2

x

ve

y-1

arasındaki büyüklük ilişkisini analiz ederek faktöriyeli sadeleştirin.

x < y-1

durumunda pozitif tam sayılarda çözüm yoktur.

x \ge y

için

x! = x(x-1)\dots y(y-1)!

ifadesi denklemde yerine yazıldığında, sol taraf

y(y+1)\dots x

ardı��ık çarpımına dönüşür.

Pay ve paydadaki

(y-1)!

ifadelerini sadeleştirmek için faktöriyel açılımını kullanırız.

3

Elde edilen ardışık çarpım denkleminde terim sayısına göre çözümleri belirleyin.

y(y+1)\dots x = 12(y+1)

denkleminde her iki taraf

y+1

ile sadeleştiğinde geriye kalan çarpanların çarpımı 12 olmalıdır. İki terimli durumda (

x = y+1

)

y = 12

ve dolayısıyla

x = 13

bulunur. Dört terimli durumda (

x = y+3

)

y(y+2)(y+3) = 12

eşitliğinden

y=1

ve dolayısıyla

x=4

bulunur. Diğer terim sayıları için pozitif tam sayılarda çözüm yoktur.

Sadeleşen denklemdeki ardışık sayı çarpımlarının çarpan analizini yaparak olası tüm

(x, y)

ikililerini buluruz.

4

Bulunan farklı

x

değerlerini toplayın.

x = 4

ve

x = 13

değerlerinin toplamı

4 + 13 = 17

olarak bulunur.

Soru kökünde bizden istenen farklı

x

değerlerinin toplamını elde etmek için bu işlemi yaparız.

Key Concept

Faktöriyel içeren denklemlerde ardışık çarpan analizi ve sadeleştirme teknikleri.

Estimated Time:2m 30s

Question 5Question →

a

,

b

ve

c

negatif tam sayılardır.

a \cdot [b - c \cdot (a - b)] = 15

olduğuna göre,

a + b + c

toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

-14

-12

-6

-8

-5

Show answer & explanation

Answer: -6

Answer

En büyük a + b + c toplamı -6 olur.

Negatif tam sayılarda toplamın en büyük olması için sayıların sıfıra en yakın (mutlak değerce en küçük) olması gerekir. Denklemi çarpanlarına ayırıp a = -3 durumunu incelediğimizde elde edilen en büyük toplam değeri -3 + (-1) + (-2) = -6 olur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin sayı kümesini ve a değerinin alabileceği olası bölenleri belirleme.

a, b ve c negatif tam sayılar olduğundan, parantez içindeki ifade de bir tam sayıdır. Dolayısıyla a sayısı 15'in negatif bir böleni olmalıdır. Buradan a sayısı -1, -3, -5 veya -15 değerlerini alabilir.

Çözüm kümesini daraltmak ve her durumu ayrı ayrı incelemek için.

2

a = -1 durumunun incelenmesi.

a = -1 için denklem b - c(-1 - b) = -15 haline gelir. Düzenlendiğinde (b + 1)(c + 1) = -14 elde edilir. b ve c negatif tam sayılar olduğundan b + 1 <= 0 ve c + 1 <= 0 olmalıdır. İki negatif olmayan sayının çarpımı negatif olamayacağından bu durumdan çözüm gelmez.

a = -1 için negatif tam sayılarda çözüm olup olmadığını kontrol etmek için.

3

a = -3 durumunun incelenmesi.

a = -3 için denklem b - c(-3 - b) = -5 haline gelir. Düzenlendiğinde (b + 3)(c + 1) = -12 elde edilir. c <= -1 olduğundan c + 1 <= 0 olmalıdır. Çarpımın negatif çıkması için b + 3 > 0 olmalıdır. Buradan b = -1 veya b = -2 olabilir. b = -1 için c = -2 olur ve a + b + c = -6 elde edilir. b = -2 için c = -3 olur ve a + b + c = -8 elde edilir.

a = -3 için olası çözümleri ve toplamları hesaplamak için.

4

a = -5 ve a = -15 durumlarının incelenmesi.

a = -5 için (b + 5)(c + 1) = 2 denklemi elde edilir. Buradan en büyük toplam -14 olarak bulunur. a = -15 için (b + 15)(c + 1) = 14 denklemi elde edilir. Buradan en büyük toplam -40 olarak bulunur.

Diğer olası a değerleri için elde edilebilecek en büyük toplamları karşılaştırmak amacıyla bulmak için.

5

Elde edilen toplamlar arasından en büyük olanı seçme.

Olası toplamlar kümesi {-6, -8, -14, -40, -46} şeklindedir. Bu sayılar arasındaki en büyük değer -6'dır.

Soruda istenen en büyük toplam değerine ulaşmak için.

Key Concept

Negatif tam sayılarda dört işlem, ortak çarpan parantezine alma ve çarpanlara ayırma yoluyla denklem çözümü.

Question 6Question →

Rakamları toplamının 4 katına eşit olan iki basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır?

2

3

4

5

1

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Rakamları toplamının 4 katına eşit olan iki basamaklı 4 farklı doğal sayı vardır.

İki basamaklı

AB

doğal sayısı çözümlendiğinde

10A + B

ifadesi elde edilir. Bu ifade rakamları toplamının 4 katına eşitlendiğinde

10A + B = 4(A + B)

denklemi elde edilir. Denklem çözüldüğünde

2A = B

ilişkisine ulaşılır.

A

onlar basamağında olduğu için sıfırdan farklı bir rakam,

B

ise birler basamağında bir rakam olmalıdır. Bu şartlara uygun

(A, B)

ikilileri (1, 2), (2, 4), (3, 6) ve (4, 8) olup, oluşturulan iki basamaklı sayılar 12, 24, 36 ve 48 olmak üzere 4 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

İki basamaklı

AB

doğal sayısını çözümleyin ve verilen koşula göre denklemi kurun.

10A + B = 4(A + B)

İki basamaklı bir sayının onlar basamağındaki rakamın basamak değeri 10, birler basamağındaki rakamın basamak değeri 1'dir.

2

Denklemin sağ tarafındaki çarpma işlemini dağıtın ve benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirin.

10A + B = 4A + 4B \Rightarrow 6A = 3B \Rightarrow 2A = B

Değişkenler arasındaki ilişkiyi bulmak için terimleri sadeleştirmemiz gerekir.

3

2A = B

eşitliğini sağlayan

A

ve

B

rakam değerlerini bulun.

A = 1

için

B = 2

,

A = 2

için

B = 4

,

A = 3

için

B = 6

,

A = 4

için

B = 8

A

ve

B

birer rakam olmalı ve

AB

iki basamaklı sayı olduğundan

A

sıfırdan farklı olmalıdır.

4

Bulunan değerlere karşılık gelen iki basamaklı sayıları listeleyin ve toplam sayıyı belirleyin.

Koşulu sağlayan sayılar 12, 24, 36 ve 48'dir. Toplamda 4 farklı sayı vardır.

A \ge 5

için

B

rakam olamayacağından (örneğin

A=5

için

B=10

) başka çözüm yoktur.

Key Concept

İki basamaklı bir sayının basamak analizi yapılarak

AB = 10A + B

şeklinde çözümlenmesi ve elde edilen cebirsel denklemin rakam olma kurallarına göre incelenmesi.

Question 7Question →

x

ve

y

pozitif tam sayılar olmak üzere,

\frac{60!}{2^x \cdot 15^y}

ifadesi bir tek tam sayıya eşit olduğuna göre,

x + y

toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

84

70

60

68

44

Show answer & explanation

Answer: 70

Answer

70

İfadenin bir tek tam sayıya eşit olması, sonucun çift olmaması yani içinde 2 çarpanı bulunmaması anlamına gelir. Bu yüzden paydadaki

2^x

ifadesi, paydaki

60!

sayısının içindeki tüm 2 çarpanlarını sadeleştirmelidir.

60!

içinde

60/2 = 30

,

30/2 = 15

,

15/2 = 7

,

7/2 = 3

,

3/2 = 1

olmak üzere toplam

30+15+7+3+1 = 56

adet 2 çarpanı vardır. Dolayısıyla

x = 56

olmalıdır. Diğer taraftan,

15^y = 3^y \cdot 5^y

çarpanının derecesi

60!

içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısını aşamaz.

60!

içinde 28 adet 3 ve 14 adet 5 çarpanı bulunduğundan, daha az olan 5 çarpanının sayısı sınırı belirler ve

y

en fazla 14 olabilir. Böylece

x+y

toplamının en büyük değeri 70 olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bölme işleminin sonucunun bir tek tam sayı olması için sonuçta 2 çarpanı kalmamalıdır. Bu durum, paydadaki

2^x

teriminin paydaki

60!

sayısındaki tüm 2 çarpanlarını tam olarak sadeleştirmesini gerektirir. Bu yüzden

x

değeri,

60!

içindeki toplam 2 çarpanı sayısına eşit olmalıdır.

x = 56

bulunur.

60!

içindeki 2 çarpanı sayısını bulmak için ardışık bölme yöntemi uygulanır:

60/2 = 30

,

30/2 = 15

,

15/2 = 7

,

7/2 = 3

,

3/2 = 1

. Bölümlerin toplamı

30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56

olur.

2

Paydadaki

15^y

ifadesi, asal çarpanlarına ayrılarak

3^y \cdot 5^y

şeklinde yazılır. İfadenin bir tam sayı olabilmesi için

60!

içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısı, paydadaki

3^y

ve

5^y

çarpanlarından fazla veya onlara eşit olmalıdır.

y

değeri hem 3 hem de 5 çarpanının sınırını aşmamalıdır.

15 çarpanı elde etmek için hem 3 hem de 5 çarpanına aynı anda ihtiyaç duyulur.

3

60!

sayısı içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısı ardışık bölme ile hesaplanır.

3 çarpanı sayısı 28, 5 çarpanı sayısı 14 olarak bulunur.

3 çarpanı için:

60/3 = 20

,

20/3 = 6

,

6/3 = 2

olup toplam

20 + 6 + 2 = 28

adettir. 5 çarpanı için:

60/5 = 12

,

12/5 = 2

olup toplam

12 + 2 = 14

adettir.

4

y

değerinin alabileceği en büyük sınır belirlenir.

y = 14

olmalıdır.

3^y \cdot 5^y

ifadesinde 5 çarpanının sayısı (14) daha az olduğu için sınır belirleyicidir (

y \le 14

olmalıdır).

5

x + y

toplamının en büyük değeri hesaplanır.

x + y = 56 + 14 = 70

elde edilir.

x

değeri tam olarak 56 olmalı ve

y

değeri en fazla 14 olabilmelidir.

Key Concept

Faktöriyel içeren ifadelerde asal çarpanların derecesinin bulunması ve tam bölünebilme kuralları.

Estimated Time:2m 0s

Question 8Question →

Sisteme girilen

x, y

ve

z

tam sayıları için

x \cdot y + y \cdot z

işleminin sonucunun bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu tam sayılarla oluşturulan aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir çift sayıdır?

x + y

x + z

x \cdot y + z

x + y + z

y \cdot z + x

Show answer & explanation

Answer: $x + y + z$

Answer

Değeri her zaman bir çift sayı olan ifade üç değişkenin toplamını veren ifadedir.

Verilen ifadeden ortak paranteze alma yöntemiyle ikinci değişkenin tek sayı, birinci ve üçüncü değişkenlerin toplamının ise tek sayı olduğu anlaşılır. İki tek sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, birinci ve üçüncü değişkenin toplamı ile ikinci değişkenin toplamı her zaman çift bir sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1

İfadeyi çarpanlarına ayırma

y \cdot (x + z)

ifadesi elde edilir.

Ortak çarpan parantezine alarak ifadenin yapısını basitleştirmek ve çarpanların paritelerini incelemek amacıyla bu işlem yapılır.

2

Çarpımın tek sayı olma durumunu analiz etme

y

sayısının tek sayı ve

(x + z)

ifadesinin tek sayı olduğu belirlenir.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da ayrı ayrı tek sayı olması gerektiğinden bu sonuca varılır.

3

Toplamların paritelerini ve seçenekleri inceleme

x + y + z

toplamının her zaman çift sayı olduğu görülür.

(x + z)

ifadesinin tek,

y

sayısının da tek olduğu bilindiğinden; bu iki ifadenin toplamı olan

(x + z) + y = x + y + z

ifadesi her zaman çift sayı olur (Tek + Tek = Çift).

Key Concept

Tam sayılarda tek ve çift sayıların çarpım ve toplam özellikleri

Question 9Question →

Ardışık 15 tek tam sayının toplam�� $A$ , bu sayıların en büyüğünden sonra gelen ardışık 10 çift tam sayının toplamı ise $B$ 'dir.

B - A = 135

olduğuna göre, bu 25 sayının tamamı içinde en büyük sayı ile en küçük sayının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 61

Answer

En b��yük sayı ile en küçük sayının toplamı 61'dir.

İlk sayı

x

(tek sayı) olduğunda, ardışık 15 tek sayının toplamı

A = 15x + 210

olur. Bu sayıların en büyüğü

x+28

olup tek sayıdır. Dolayısıyla bu sayıdan sonra gelen ilk çift sayı

x+29

olur. Ardışık 10 çift sayının toplamı ise

B = 10x + 380

bulunur.

B - A = 135

denklemi çözüldüğünde

x = 7

elde edilir. En küçük sayı

7

, en büyük sayı ise

7+47=54

olur. Bu iki sayının toplamı 61'dir.

Step-by-Step Solution

1

Sayı dizilerini tek bir değişken (

x

) cinsinden tanımlamak.

Tek sayılar:

x, x+2, \dots, x+28

(en büyük terim

x+28

). Sonraki çift sayılar:

x+29, x+31, \dots, x+47

.

Tüm terimleri tek bir bilinmeyenle ifade edip denklem kurabilmek için.

2

Aritmetik dizi toplamı formülüyle

A

ve

B

toplamlarını bulmak.

A = 15x + 210

ve

B = 10x + 380

.

Fark denklemini oluşturmak için dizilerin toplam değerlerini belirlemek.

3

Verilen

B - A = 135

eşitliğini çözmek.

(10x + 380) - (15x + 210) = 135 \Rightarrow 170 - 5x = 135 \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7

.

Dizilerin başlangıç terimi olan en küçük sayıyı bulmak.

4

En büyük ve en küçük sayıyı toplayarak sonucu bulmak.

En küçük sayı

7

, en büyük sayı

7+47=54

. Toplamları

7+54=61

.

Soruda bizden istenen en büyük ve en küçük sayıların toplamını bulmak.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri ile aritmetik dizi kurma.

Question 10Question →

Ardışık $11$ tek tam sayının toplamı, bu sayıların en küçüğünün $13$ katına eşittir. Buna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

55

65

75

77

85

Show answer & explanation

Answer: 75

Answer

En büyük sayı 75'tir.

Ardışık 11 tek sayının en küçüğü

x

ise en büyüğü

x+20

olur. Bu sayıların toplamı

11x + 110

ifadesine eşittir. Verilen bilgiye göre toplam, en küçük sayının 13 katına eşittir. Kurulan

11x + 110 = 13x

denklemi çözüldüğünde

2x = 110 \implies x = 55

bulunur. Bizden en büyük sayı istendiği için en büyük terim

55 + 20 = 75

olur.

Step-by-Step Solution

1

Ardışık tek sayı dizisini temsil edecek değişkenleri belirlemek

En küçük sayıya

x

dersek, ardışık tek sayılar ikişer ikişer arttığı için 11 adet sayı sırasıyla

x, x+2, x+4, \dots, x+20

şeklinde yazılır.

Ardışık tek sayılar arasındaki ortak farkın 2 olduğunu kullanarak tüm terimleri tek bir değişken türünden ifade etmek gerekir.

2

Terimlerin toplamını hesaplamak

Toplam =

11x + (2 + 4 + 6 + \dots + 20) = 11x + 110

olur.

Soruda verilen toplam ilişkisini kurabilmek için terimlerin toplamını elde etmeliyiz.

3

Soruda verilen eşitliği kurup en küçük terimi bulmak

11x + 110 = 13x

denklemi çözüldüğünde

2x = 110

ve buradan en küçük terim

x = 55

bulunur.

Toplamın en küçük sayının 13 katı olduğu bilgisiyle denklemi çözüp ilk terimi elde etmek gerekir.

4

Dizinin en büyük terimini hesaplamak

En büyük terim

x + 20

olduğundan,

55 + 20 = 75

elde edilir.

Soru kökünde dizinin en büyük terimi sorulduğu için ilk terime aradaki farkı eklemek gerekir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Toplamı ve Terim Formülleri

Question 11Question →

$a$ , $b$ ve $c$ sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

a^3 \cdot b^2 < 0

a \cdot c^5 > 0

b - c > 0

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima negatiftir?

a \cdot b - c

b - a \cdot c

a^2 \cdot c - b^2

b^3 \cdot c - a

\frac{c - a}{b}

Show answer & explanation

Answer: $a^2 \cdot c - b^2$

Answer

a^2 \cdot c - b^2

ifadesi daima negatiftir.

a^2 \cdot c - b^2

ifadesinde, sıfırdan farklı

a

sayısı için

a^2 > 0

ve negatif

c

sayısı için

a^2 \cdot c < 0

(negatif) elde edilir. Benzer şekilde, sıfırdan farklı

b

sayısı için

b^2 > 0

ve dolayısıyla

-b^2 < 0

(negatif) olur. İki negatif terimin toplamı daima negatif bir değer üretecektir.

Step-by-Step Solution

1

a^3 \cdot b^2 < 0

eşitsizliğini kullanarak

a

sayısının işaretini belirleme.

a < 0

(negatif) olarak bulunur.

b

sıfırdan farklı olduğu için

b^2

daima pozitiftir. Çarpımın negatif olabilmesi için

a^3

ifadesinin, dolayısıyla

a

sayısının negatif olması gerekir.

2

a \cdot c^5 > 0

eşitsizliğini kullanarak

c

sayısının işaretini belirleme.

c < 0

(negatif) olarak bulunur.

a < 0

olduğundan, çarpımın pozitif çıkması için

c^5

ifadesinin de negatif olması gerekir. Buradan

c < 0

elde edilir.

3

b - c > 0

eşitsizliğini analiz ederek

b

sayısının alabileceği değerleri inceleme.

b

sayısı pozitif veya negatif değerler alabilir.

b > c

eşitsizliğinde

c < 0

(negatif) olduğundan,

b

sayısı negatif bir sayıdan büyüktür. Bu durumda

b

sayısı sıfırdan büyük (pozitif) veya

c

ile sıfır arasında (negatif) değerler alabilir. Yani

b

'nin işareti kesin değildir.

4

Seçenekleri analiz ederek daima negatif olan ifadeyi bulma.

a^2 \cdot c - b^2

ifadesinin daima negatif olduğu görülür.

a \neq 0

için

a^2 > 0

ve

c < 0

olduğundan

a^2 \cdot c < 0

(negatif) olur.

b \neq 0

için

b^2 > 0

olduğundan

-b^2 < 0

(negatif) olur. İki negatif sayının toplamı her zaman negatiftir.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılarda İşaret Analizi ve Eşitsizlik Yorumlama

Alternative Method

Değer verme yöntemi kullanılarak da seçenekler elenebilir. Örneğin,

a = -1

ve

c = -2

seçildiğinde

b - c > 0

şartını sağlayan

b = -1

(negatif) ve

b = 1

(pozitif) değerleri ayrı ayrı seçeneklerde yerine yazılarak daima negatif çıkmayan ifadeler elenir.

Estimated Time:2m 0s

Question 12Question →

Ardışık $n$ tane pozitif tam sayının toplamı $504$ 'tür.

$n > 2$ olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı $n$ değeri vardır?

3

4

5

6

7

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

5

Ardışık sayıların toplam formülü kullanılarak

n(2a+n+1) = 1008

denklemi elde edilir. Çarpanlardan birinin tek, diğerinin çift olması gerektiği ve

2a+n+1 > n

eşitsizliği analiz edildiğinde,

n > 2

kısıtlaması altında

n

sayısı

3, 7, 9, 16

ve

21

olmak üzere 5 farklı değer alabilir. Bu nedenle doğru cevap 5'tir.

Step-by-Step Solution

1

Ardışık sayıların toplamı formülünü kullanarak denklem kurun.

n \cdot (2a + n + 1) = 1008

(

a \ge 0

ve

n > 2

)

Ardışık

n

tane pozitif tam sayının ilk terimi

a+1

ve son terimi

a+n

olsun. Terimler toplamı

\frac{n \cdot (2a + n + 1)}{2} = 504

formülü ile hesaplanır. Buradan iki çarpanın çarpımı

1008

olacak şekilde bir eşitlik elde ederiz.

2

1008

sayısını asal çarpanlarına ayırın ve çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz edin.

1008 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7

olup çarpanlardan biri tek, diğeri çifttir.

n

ve

2a + n + 1

çarpanlarının toplamı

2a + 2n + 1

olup daima tektir. Toplamları tek olan iki tam sayının teklik-çiftlik karakterleri farklı olmalıdır. Bu yüzden çarpanlardan biri tek, diğeri çift olmalıdır.

3

1008

'in tek çarpanlarını listeleyerek her bir durum için

n

değerlerini belirleyin.

Tek çarpanlar

1, 3, 7, 9, 21, 63

olup,

n

için elde edilen geçerli değerler

3, 7, 9, 16, 21

olmak üzere

5

tanedir.

2a + n + 1 > n

olduğundan, küçük olan çarpan her zaman

n

olmalıdır.

n > 2

koşulunu sağlamayan

n=1

durumu elenir. Diğer tüm tek çarpanlar için geçerli bir

a

doğal sayısı elde edilir.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve terim sayısı formülleri yardımıyla kurulan denklemlerin çarpan analizi yapılarak çözülmesi.

Question 13Question →

Sıfırdan farklı

a

,

b

ve

c

gerçel sayıları için

a^5 \cdot b^2 < 0

b \cdot c^3 > 0

a - c < 0

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima pozitiftir?

\frac{a \cdot b}{c - a}

a \cdot b \cdot c

\frac{a \cdot c}{b}

\frac{b \cdot c}{c - a}

a \cdot b + c

Show answer & explanation

Answer: $\frac{b \cdot c}{c - a}$

Answer

\frac{b \cdot c}{c - a}

ifadesi

Doğru seçenekte verilen

\frac{b \cdot c}{c - a}

ifadesinin payındaki

b \cdot c

terimi,

b

ve

c

aynı işaretli olduğundan daima pozitiftir. Paydasındaki

c - a

terimi ise

a < c

olduğundan daima pozitiftir. İki pozitif değerin birbirine oranı da daima pozitif olacaktır.

Step-by-Step Solution

1

a^5 \cdot b^2 < 0

eşitsizliği incelenir.

a < 0

olarak bulunur.

b \neq 0

olduğundan

b^2 > 0

olmak zorundadır. Çarpımın negatif olması için

a^5 < 0

olmalıdır, bu da

a < 0

anlamına gelir.

2

b \cdot c^3 > 0

eşitsizliği incelenir.

b

ve

c

aynı işaretlidir (

b \cdot c > 0

).

Çarpımın pozitif olması için iki çarpanın da aynı işaretli olması gerekir.

c^3

'ün işareti

c

'nin işaretiyle aynı olduğundan

b

ve

c

aynı işaretlidir.

3

a - c < 0

eşitsizliği incelenir.

c - a > 0

olarak bulunur.

a - c < 0 \Rightarrow a < c

yazılır. Buradan

a

karşı tarafa atıldığında

c - a > 0

elde edilir.

4

\frac{b \cdot c}{c - a}

ifadesinin işareti değerlendirilir.

İfade daima pozitiftir.

Pay kısmındaki

b \cdot c > 0

(pozitif) ve payda kısmındaki

c - a > 0

(pozitif) olduğundan, iki pozitif sayının bölümü daima pozitiftir.

Key Concept

Pozitif ve Negatif Sayılarda Eşitsizlik ve İşaret Analizi

Question 14Question →

A

ve

B

sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere, iki basamaklı

AB

ve

BA

doğal sayıları için,

AB - BA = 54

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $A - B$ farkı kaçtır?

4

5

6

8

9

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İki basamaklı sayıların farkı alındığında elde edilen farkın 9'a bölümüyle ulaşılan 6 değeri doğru cevapt��r.

İki basamaklı

AB

ve

BA

sayılarının farkı

9(A-B)

olarak çözümlenir.

9(A-B) = 54

eşitliğinden

A-B = 6

elde edilir. Bu nedenle 6 seçeneği doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesini yapın.

AB = 10A + B

ve

BA = 10B + A

İki basamaklı sayıları sayı basamakları cinsinden ifade etmek için.

2

Elde edilen çözümlemeleri çıkarma işleminde yerine koyun ve ortak paranteze alın.

AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9A - 9B = 9(A - B)

İfadeleri sadeleştirerek fark katsayısını belirlemek için.

3

Bulunan ifadeyi verilen eşitlikteki değere (54) eşitleyip sadeleştirin.

9(A - B) = 54 \Rightarrow A - B = 6

İstenen A - B farkını bulmak için.

Key Concept

Basamak Analizi ve Çözümleme

Estimated Time:45s

Question 15Question →

Rakamları sıfırdan farklı üç basamaklı bir $ABC$ doğal sayısı, iki basamaklı $AB$ ve $BC$ doğal sayılarının toplamının $4$ katına eşittir.

Buna g��re, $A \cdot B \cdot C$ çarpımı kaçtır?

18

36

48

80

120

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Rakamları sıfırdan farkl�� üç basamaklı

ABC

sayısının rakamları çarpımı 36'dır.

Çözümleme yapıldığında elde edilen

60A = 34B + 3C

denkleminde

A, B, C

sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere tek bir çözüm vardır, o da

A=2, B=3, C=6

değerleridir. Bu rakamların çarpımı

2 \cdot 3 \cdot 6 = 36

olduğundan doğru yanıt 36 seçeneğidir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sayıları basamak değerlerine göre çözümleyip eşitliği yazalım.

ABC = 100A + 10B + C

AB = 10A + B

BC = 10B + C

Eşitlik:

100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + B + 10B + C)

Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak, bilinmeyen rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmanın temel adımıdır.

2

Elde edilen eşitliği sadeleştirelim.

100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + 11B + C)

100A + 10B + C = 40A + 44B + 4C

60A = 34B + 3C

Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi daha sade bir biçime dönüştürmek gerekir.

3

Elde edilen

60A = 34B + 3C

denkleminde rakamların alabileceği değerleri inceleyelim.

Denklemin sol tarafı (

60A

) 10'un katıdır. Dolayısıyla sağ tarafındaki

34B + 3C

ifadesinin de birler basamağı 0 olmalıdır.

34B + 3C \equiv 0 \pmod{10} \implies 4B + 3C \equiv 0 \pmod{10}

olur.

B

ve

C

sıfırdan farklı rakamlar olduğundan,

B = 3

için

4(3) + 3C = 12 + 3C

ifadesinin 10'un katı olması için

C = 6

olmalıdır.
Bu durumda:

60A = 34(3) + 3(6) = 102 + 18 = 120 \implies A = 2

bulunur.

Rakam olma ve basamak kuralları (sıfırdan farklı olma) sınırlandırmalarını kullanarak değer denemesi yapılır.

4

Bulunan rakamların çarpımını hesaplayalım.

A = 2

,

B = 3

,

C = 6

olduğundan sayı

236

'dır.
Rakamların çarpımı:

2 \cdot 3 \cdot 6 = 36

bulunur.

Soruda bizden istenen rakamların çarpımı değerine ulaşmaktır.

Key Concept

Üç basamaklı ve iki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenerek elde edilen denklemlerde rakam sınırlandırmalarına göre değerlerin bulunması.

Hints

1

ABC

,

AB

ve

BC

sayılarını basamak değerlerine göre

100A+10B+C

,

10A+B

ve

10B+C

şeklinde açarak işe başlayın.

2

Denklemi düzenlediğinizde

60A = 34B + 3C

eşitliğini bulacaksınız. Sol tarafın 10'un katı olmasını kullanın.

3

34B + 3C

ifadesinin birler basamağının 0 olması için

B

ve

C

rakamlarına uygun değerleri verin.

B = 3

durumunu inceleyin.

Practice More

Benzer şekilde

ABC = 5 \cdot (AB + BC)

eşitliğini sağlayan rakamları sıfırdan farklı

ABC

sayılarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi

60A - 34B = 3C

şeklinde yazıp

2(30A - 17B) = 3C

haline getirebiliriz. Buradan

C

sayısının çift ve

30A - 17B

ifadesinin 3'ün katı olması gerektiği görülür.

B

rakamına değer verilerek

30A - 17B

ifadesinin sadeleşmesi kontrol edilebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 16Question →

n

bir doğal sayı olmak üzere,

\frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{(n+1)! - n!} = 26

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $n!$ sayısının sondan kaç basamağı s��fırdır?

3

4

5

6

7

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4

İfadenin sadeleştirilmesi sonucu

n+2 = 26 \implies n = 24

elde edilir.

24!

sayısının sondan sıfır basamak sayısını bulmak için 24 sayısı 5'e bölünür ve bölüm 4 olarak bulunur. Bu nedenle sondan 4 basamak sıfırdır.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmındaki ifadeyi

n!

ortak parantezine alarak sadeleştirin.

n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n) = n! \cdot n(n+2)

Paydaki terimleri ortak çarpan parantezine alarak ifadeyi sadeleştirmek.

2

Payda kısmındaki ifadeyi

n!

ortak parantezine alarak sadeleştirin.

n! \cdot [(n+1) - 1] = n! \cdot n

Paydadaki terimleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmeye hazırlamak.

3

Pay ve paydayı birbirine oranlayarak sadeleştirme işlemini tamamlayın.

\frac{n! \cdot n(n+2)}{n! \cdot n} = n+2

İfadenin en sade halini bulmak.

4

Sadeleşmiş ifadeyi verilen eşitliğe eşitleyip

n

değerini bulun.

n+2 = 26 \implies n = 24

n

doğal sayısını elde etmek.

5

24!

sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 24'ü sürekli 5'e bölün.

24 \div 5 = 4

(kalan 4). Bölüm olan 4 sayısı 5'ten küçük olduğundan bölme işlemi biter. Toplam sıfır sayısı 4'tür.

n!

sayısının içindeki 5 asal çarpanlarının sayısını belirlemek.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve sondan sıfır basamak sayısını bulma kuralları

Estimated Time:1m 30s

Question 17Question →

Birer pozitif tam sayı olan

x

,

y

ve

z

için

x \cdot y + y \cdot z

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

x + y

y + z

(x + y) \cdot (y + z)

x \cdot y + z

x^y + z

Show answer & explanation

Answer: $(x + y) \cdot (y + z)$

Answer

��ki parantezli ifadenin çarpımı olan

(x + y) \cdot (y + z)

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Verilen koşullara göre

y

tek sayı,

x + z

ise tek sayıdır. Bu durumda

x

ve

z

sayılarından biri tek, diğeri çifttir. İki parantezli çarpım ifadesinde: Eğer

x

çift ise

z

tek olur; buradan

y+z

toplamı tek + tek = çift olur ve çarpımın sonucu çift çıkar. Eğer

x

tek ise

x+y

toplamı tek + tek = çift olur ve çarpımın sonucu yine çift çıkar. Dolayısıyla bu ifade her iki durumda da çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak analiz edin.

x \cdot y + y \cdot z = y \cdot (x + z)

İfadenin teklik-çiftlik durumunu çarpanlarına ayırarak belirlemek için.

2

Çarpımın sonucunun tek sayı olması şartını uygulayın.

y

tek sayıdır ve

x + z

tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.

3

x + z

ifadesinin tek sayı olma durumlarını belirleyin.

x

çift iken

z

tek olmalıdır veya

x

tek iken

z

çift olmalıdır.

İki sayının toplamının tek sayı olması için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

4

Elde edilen bu iki durumu seçeneklerdeki ifadeler için test edin.

(x + y) \cdot (y + z)

ifadesi:

x

çift olduğunda

y+z = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

olacağından çarpım çifttir.

x

tek olduğunda

x+y = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

olacağından çarpım çifttir.

Her iki olası durumda da ifadenin daima çift sayı sonuç verdiğini doğrulamak için.

Key Concept

Tek ve çift sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemlerindeki davranış kuralları ve ortak paranteze alma yöntemi.

Estimated Time:1m 30s

Question 18Question →

5'in katı olan ardışık tek tam sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. İlk terimi 15, son terimi $x$ olan bu sonlu dizinin terim sayısı $\frac{x}{15} + 4$ olduğuna göre, bu dizideki tüm terimlerin toplamı kaçtır?

210

600

840

975

1350

Show answer & explanation

Answer: 975

Answer

Dizideki tüm terimlerin toplamı 975'tir.

Dizideki terimlerin 5'in katı olan ardışık tek sayılar olması, ardışık terimler arasındaki farkın 10 olduğunu gösterir. Terim sayısı formülü kullanılarak kurulan denklemden son terim

x = 135

ve terim sayısı

n = 13

bulunur. Bu bilgilerle dizinin toplamı 975 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin artış miktarını belirlemek.

Artış miktarı 10'dur.

5'in katı olan ardışık tek tam sayılar 15, 25, 35, ... şeklinde ilerler. İki terim arasındaki fark 10'dur.

2

Terim sayısı formülünü kullanarak

x

değişkenine bağlı denklemi kurmak.

Terim sayısı formülü:

\frac{x - 15}{10} + 1 = \frac{x - 5}{10}

elde edilir.

Terim sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1 formülünü uygulamak gerekir.

3

Verilen terim sayısı bağıntısını formüle eşitleyerek

x

değerini bulmak.

\frac{x - 5}{10} = \frac{x}{15} + 4

denkleminden

x = 135

bulunur.

Soruda verilen terim sayısı bağıntısı ile genel terim sayısı formülü birbirine eşittir.

4

Dizinin terim sayısını hesaplamak.

Terim sayısı

n = \frac{135}{15} + 4 = 13

olur.

Bulunan

x = 135

değeri terim sayısı formülünde yerine yazılarak terim adedi bulunur.

5

Tüm terimlerin toplamını hesaplamak.

Toplam =

13 \times \frac{15 + 135}{2} = 975

bulunur.

Ardışık sayıların toplamı, Terim Sayısı

\times

(İlk Terim + Son Terim) / 2 formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Ardışık sayılar dizisinde terim sayısı ve terimler toplamı formülleri.

Question 19Question →

Üç basamaklı $ABC$ doğal sayısı, iki basamaklı $BC$ doğal sayısının 13 katından 20 fazladır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük $ABC$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

14

17

18

19

8

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Rakamları toplamı 19 olan sayıdır.

Verilen koşulu sağlayan en büyük üç basamaklı

ABC

sayısı çözümlendiğinde

865

olarak bulunur. Bu sayının rakamlarının toplamı

8 + 6 + 5 = 19

olduğu için doğru seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Üç basamaklı

ABC

sayısını

100A + BC

şeklinde çözümleyerek verilen eşitlikte yerine yazın.

100A + BC = 13 \cdot BC + 20

Sayının basamak analizi yapılarak

BC

iki basamaklı terimi cinsinden ifade edilmesi işlemleri kolaylaştıracaktır.

2

Eşitliğin her iki tarafındaki

BC

terimlerini bir araya getirerek denklemi düzenleyin.

100A = 12 \cdot BC + 20

BC

terimini karşı tarafa atarak ortak katları görebilmek ve sadeleştirme yapabilmek için.

3

Denklemin her iki tarafını da 4 ile bölerek sadeleştirin.

25A = 3 \cdot BC + 5

Daha küçük sayılarla çalışmak ve katsayılar arasındaki bölünebilme ilişkilerini kolayca analiz edebilmek için.

4

Elde edilen

25A = 3 \cdot BC + 5

denkleminde

A

rakamının alabileceği değerleri ve buna karşılık gelen iki basamaklı

BC

sayılarını bulun.

A = 2 \Rightarrow BC = 15

,

A = 5 \Rightarrow BC = 40

,

A = 8 \Rightarrow BC = 65

BC

sayısının iki basamaklı (

10 \leq BC \leq 99

) bir doğal sayı ve

A

'nın sıfırdan farklı bir rakam olması şartını sağlayan değerleri bulmak için.

5

Bulunan

ABC

sayılarından en büyüğünü seçerek rakamları toplamını hesaplayın.

En büyük

ABC = 865

sayısıdır. Rakamları toplamı ise

8 + 6 + 5 = 19

'dur.

Soruda bizden koşulu sağlayan en büyük üç basamaklı sayının rakamları toplamı istendiği için.

Key Concept

Üç basamaklı bir sayının basamak analizi yapılarak

ABC = 100A + BC

veya

100A + 10B + C

biçiminde çözümlenmesi ve elde edilen denklemlerde rakam/basamak sınırlamalarına uygun değerlerin atanması.

Question 20Question →

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere,

a \cdot (b + c)

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

b^a + c

a^c + b

(a + b)^c + c

a \cdot b + c^b

b^c + a

Show answer & explanation

Answer: $(a + b)^c + c$

Answer

Parantez içinde tabanı a + b ve üssü c olan ifadenin c ile toplamını veren ifade her zaman çift sayıdır.

Verilen

a \cdot (b + c)

çarpımı tek sayı olduğuna göre,

a

tek sayıdır ve

b + c

tek sayıdır.

b + c

tek sayı olduğundan

b

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Tabanı a + b ve üssü c olan ifadenin c ile toplamını veren ifadeyi iki durumda inceleyelim: 1. durum:

b

çift ve

c

tek olsun. Bu durumda

a + b

tek sayı olur ve pozitif tam sayı olan

c

kuvveti de tektir. Tek sayının tek sayı ile toplamından sonuç çift sayı elde edilir. 2. durum:

b

tek ve

c

çift olsun. Bu durumda

a + b

çift sayı olur ve pozitif tam sayı olan

c

kuvveti de çifttir. Çift sayının çift sayı ile toplamından sonuç çift sayı elde edilir. Her iki durumda da sonuç çift sayı olduğundan bu ifade her zaman çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

a \cdot (b + c)

ifadesinin tek sayı olma durumunu analiz etmek.

a

sayısının tek sayı ve

b + c

toplamının tek sayı olduğu belirlenir.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

b + c

toplamının tek sayı olmasından yola çıkarak

b

ve

c

değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını belirlemek.

b

ve

c

sayılarından biri tek iken diğeri çifttir. Yani, (1. durum:

b

çift,

c

tek) veya (2. durum:

b

tek,

c

çift) geçerlidir.

İki tam sayının toplamının tek sayı olması için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

3

Elde edilen teklik-çiftlik durumlarını doğru seçenekteki ifadede yerine koyarak sonucu doğrulamak.

1. durumda

a+b

tek,

c

tek olduğundan

\text{tek}^{\text{tek}} + \text{tek} = \text{çift}

olur. 2. durumda

a+b

çift,

c

çift olduğundan

\text{çift}^{\text{çift}} + \text{çift} = \text{çift}

olur.

Her iki olası durumda da ifadenin sonucunun çift sayı olduğu gösterilerek doğruluğu kanıtlanır.

Key Concept

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

Estimated Time:1m 30s

Temel Kavramlar ve Sayılar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept