Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!−2⋅y!y!=118\frac{x! - 2 \cdot y!}{y!} = 118
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. 131Answer
  2. B
    126
  3. C
    125
  4. D
    120
  5. E
    5

Answer

Farklı x değerlerinin toplamı 131'dir.
Denklem sadeleştirildiğinde x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 oranına ulaşılır. Bu oranı sağlayan pozitif tam sayı çiftleri ardışık çarpan analiziyle (120,119)(120, 119), (6,3)(6, 3) ve (5,1)(5, 1) olarak belirlenir. Buradan elde edilen farklı x değerleri 120120, 66 ve 55 olup toplamları 131131 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rasyonel ifadeyi paylarına bölerek sadeleştirin.
x!y!−2⋅y!y!=118  ⟹  x!y!−2=118\frac{x!}{y!} - \frac{2 \cdot y!}{y!} = 118 \implies \frac{x!}{y!} - 2 = 118
Denklemi daha basit bir faktöriyel oranı halinde inceleyebilmek için payda yer alan terimleri ortak paydaya bölerek ayırırız.
2
x!y!\frac{x!}{y!} oranını yalnız bırakın.
x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120
Faktöriyellerin bölümünden kalan ardışık çarpanların değerini bulabilmek için eşitliğin her iki tarafına 2 ekleriz.
3
Ardışık sayıların çarpımı 120 olacak şekilde xx ve yy pozitif tam sayı durumlarını belirleyin.
120 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak yazabileceğimiz durumlar şunlardır:
- Tek çarpan olarak: 120=120  ⟹  120!119!=120  ⟹  x=120,y=119120 = 120 \implies \frac{120!}{119!} = 120 \implies x = 120, y = 119
- Üç ardış��k çarpan olarak: 6⋅5⋅4=120  ⟹  6!3!=120  ⟹  x=6,y=36 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \implies \frac{6!}{3!} = 120 \implies x = 6, y = 3
- Dört ardışık çarpan olarak: 5⋅4⋅3⋅2=120  ⟹  5!1!=120  ⟹  x=5,y=15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \implies \frac{5!}{1!} = 120 \implies x = 5, y = 1
(Not: 5⋅4⋅3⋅2⋅1=120  ⟹  5!0!5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \implies \frac{5!}{0!} durumu da mevcuttur ancak y pozitif bir tam sayı olması gerektiği için y = 0 durumu elenir. Fakat bu durum zaten x = 5 sonucunu değiştirmemektedir.)
Faktöriyellerin bölümü (x!/y!x! / y!) ardışık sayıların çarpımını temsil eder. 120 sayısının tüm ardışık tam sayı çarpan gruplarını bularak olası x değerlerini buluruz.
4
Elde edilen farklı xx değerlerini toplayın.
120+6+5=131120 + 6 + 5 = 131
Pozitif tam sayılar kümesindeki t��m geçerli x değerlerinin toplamını bularak nihai sonuca ulaşırız.

Key Concept

Faktöriyel denklemlerde sadeleştirme ve ardışık çarpan analizi

Hints

1
Sol taraftaki rasyonel ifadeyi x!y!−2⋅y!y!\frac{x!}{y!} - \frac{2 \cdot y!}{y!} şeklinde yazarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
Sadeleştirme sonucunda x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 eşitliğine ulaşacaksınız. 120 sayısını ardışık sayıların çarpımı biçiminde (1, 3 veya 4 terimli) yazabileceğiniz durumları inceleyin.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış a!−3⋅b!b!=21\frac{a! - 3 \cdot b!}{b!} = 21 denklemini pozitif tam sayılarda çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi içler dışlar çarpımıyla düzenleyerek x!−2⋅y!=118⋅y!  ⟹  x!=120⋅y!x! - 2 \cdot y! = 118 \cdot y! \implies x! = 120 \cdot y! elde edebilir ve buradan 120'nin ardışık çarpanlarını inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel

More questions from this topic