Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!(y−1)!=12y+12\frac{x!}{(y-1)!} = 12y + 12
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?

Answer: 17

Answer

Eşitliği sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı 17'dir.
Verilen denklem düzenlendiğinde y(y+1)…x=12(y+1)y(y+1)\dots x = 12(y+1) elde edilir. Her iki taraf y+1y+1 ile sadeleştirildiğinde geriye kalan ardışık çarpanların çarpımının 12 olması gerekir. Bu durum y=12y=12 (tek çarpanlı durum, x=13x=13) veya y(y+2)=12y(y+2)=12 (iki çarpanlı durum, y=1y=1 ve x=4x=4) olmak üzere iki farklı xx değeri üretir. Bu değerlerin toplamı da 17'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafını ortak çarpan parantezine alın.
12y+12=12(y+1)12y + 12 = 12(y+1) olur. Böylece denklem x!(y−1)!=12(y+1)\frac{x!}{(y-1)!} = 12(y+1) haline gelir.
Denklemi sadeleştirmek ve çarpanları daha net görmek için sağ tarafı düzenleriz.
2
xx ve y−1y-1 arasındaki büyüklük ilişkisini analiz ederek faktöriyeli sadeleştirin.
x<y−1x < y-1 durumunda pozitif tam sayılarda çözüm yoktur. x≥yx \ge y için x!=x(x−1)…y(y−1)!x! = x(x-1)\dots y(y-1)! ifadesi denklemde yerine yazıldığında, sol taraf y(y+1)…xy(y+1)\dots x ardı��ık çarpımına dönüşür.
Pay ve paydadaki (y−1)!(y-1)! ifadelerini sadeleştirmek için faktöriyel açılımını kullanırız.
3
Elde edilen ardışık çarpım denkleminde terim sayısına göre çözümleri belirleyin.
y(y+1)…x=12(y+1)y(y+1)\dots x = 12(y+1) denkleminde her iki taraf y+1y+1 ile sadeleştiğinde geriye kalan çarpanların çarpımı 12 olmalıdır. İki terimli durumda (x=y+1x = y+1) y=12y = 12 ve dolayısıyla x=13x = 13 bulunur. Dört terimli durumda (x=y+3x = y+3) y(y+2)(y+3)=12y(y+2)(y+3) = 12 eşitliğinden y=1y=1 ve dolayısıyla x=4x=4 bulunur. Diğer terim sayıları için pozitif tam sayılarda çözüm yoktur.
Sadeleşen denklemdeki ardışık sayı çarpımlarının çarpan analizini yaparak olası tüm (x,y)(x, y) ikililerini buluruz.
4
Bulunan farklı xx değerlerini toplayın.
x=4x = 4 ve x=13x = 13 değerlerinin toplamı 4+13=174 + 13 = 17 olarak bulunur.
Soru kökünde bizden istenen farklı xx değerlerinin toplamını elde etmek için bu işlemi yaparız.

Key Concept

Faktöriyel içeren denklemlerde ardışık çarpan analizi ve sadeleştirme teknikleri.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel

More questions from this topic