Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Kavramlar
aa, bb ve cc pozitif tam sayıları için
a⋅(b+c)=45a \cdot (b + c) = 45
b⋅(a+c)=33b \cdot (a + c) = 33

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının değeri kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    13
  3. 14Answer
  4. D
    15
  5. E
    16

Answer

Verilen denklemlerden yola çıkılarak elde edilen pozitif tam sayı değerlerinin toplamı 14'tür.
Denklemler taraf tarafa çıkarıldığında elde edilen (a−b)⋅c=12(a - b) \cdot c = 12 eşitliği ve b⋅(a+c)=33b \cdot (a + c) = 33 eşitliği kullanılarak cc değişkeninin alabileceği tam sayı değerleri elenir. Sağlayan değerler (9,3,2)(9, 3, 2) ve (5,3,6)(5, 3, 6) olup her iki durumda da a+b+ca + b + c toplamı 14 değerini vermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemleri açarak taraf tarafa çıkarma işlemi yapın.
a⋅b+a⋅c=45a \cdot b + a \cdot c = 45
b⋅a+b⋅c=33b \cdot a + b \cdot c = 33
İlk denklemden ikinci denklem çıkarıldığında:
a⋅c−b⋅c=12a \cdot c - b \cdot c = 12
(a−b)⋅c=12(a - b) \cdot c = 12 elde edilir.
Değişkenler arasındaki farkı ve ortak çarpanı belirlemek için.
2
cc değerinin 12'nin pozitif tam sayı bölenlerinden biri olması gerektiğini belirleyin.
cc sayısı 1,2,3,4,61, 2, 3, 4, 6 veya 1212 olabilir. Ayrıca aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan ve a⋅(b+c)>b⋅(a+c)a \cdot (b+c) > b \cdot (a+c) olduğundan a>ba > b, yani a−ba - b pozitif bir tam sayıdır.
Pozitif tam sayı sınırlandırmalarını kullanarak olası değerleri daraltmak için.
3
cc değerlerini ikinci denklemde yerine yazarak kontrol edin.
İkinci denklem: b⋅(a+c)=33b \cdot (a + c) = 33
a=b+12ca = b + \frac{12}{c} yazıp yerine koyarsak:
b⋅(b+12c+c)=33b \cdot \left(b + \frac{12}{c} + c\right) = 33
- c=2c = 2 için: b⋅(b+6+2)=33⇒b⋅(b+8)=33⇒b=3b \cdot (b + 6 + 2) = 33 \Rightarrow b \cdot (b + 8) = 33 \Rightarrow b = 3 (çünkü 3⋅11=333 \cdot 11 = 33). Buradan a=3+6=9a = 3 + 6 = 9 bulunur. Değerler: (a,b,c)=(9,3,2)(a,b,c) = (9,3,2).
- c=6c = 6 için: b⋅(b+2+6)=33⇒b⋅(b+8)=33⇒b=3b \cdot (b + 2 + 6) = 33 \Rightarrow b \cdot (b + 8) = 33 \Rightarrow b = 3. Buradan a=3+2=5a = 3 + 2 = 5 bulunur. Değerler: (a,b,c)=(5,3,6)(a,b,c) = (5,3,6).
Diğer bölenler için bb pozitif tam sayı çıkmaz.
Denklemleri sağlayan uygun pozitif tam sayı üçlülerini bulmak için.
4
Bulunan değerler için a+b+ca + b + c toplamını hesaplayın.
İlk durum için: 9+3+2=149 + 3 + 2 = 14
İkinci durum için: 5+3+6=145 + 3 + 6 = 14
Her iki durumda da toplam 14 olarak bulunur.
Soruda istenen nihai toplama ulaşmak için.

Key Concept

İki bilinmeyenli veya üç bilinmeyenli denklemlerde değer verme ve tam sayı bölen analizi.

Hints

1
İki denklemde de ortak olan çarpımları sadeleştirmek için denklemleri taraf tarafa çıkarmayı deneyin.
2
Denklemleri taraf tarafa çıkardığınızda c⋅(a−b)=12c \cdot (a - b) = 12 elde edersiniz. Burada cc sayısının 12'nin pozitif bir böleni olması gerektiğini kullanın.
3
c=2c = 2 ve c=6c = 6 değerlerini ikinci denklemde yerine yazarak bb ve aa tam sayılarını bulmaya çalışın.

Practice More

Benzer şekilde çarpım durumundaki ifadelerin asal çarpanlarını analiz etmeye yönelik diğer temel kavram sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemleri taraf tarafa oranlayarak da çözüme gitmek mümkündür: a(b+c)b(a+c)=4533=1511\frac{a(b+c)}{b(a+c)} = \frac{45}{33} = \frac{15}{11}. Buradan içler dışlar çarpımı yapılarak 11ab+11ac=15ab+15bc⇒11ac−15bc=4ab11ab + 11ac = 15ab + 15bc \Rightarrow 11ac - 15bc = 4ab elde edilir. Ancak taraf tarafa çıkarma yöntemi tam sayı bölenlerini doğrudan verdiği için çok daha pratiktir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic