Examkin

Question

Difficulty: HardOyun ve Turnuva Problemleri

Kerem, Leyla ve Murat'ın katıldığı bir oyunda oyuncuların başlangıçta sırasıyla 12, 15 ve 18 çipi vardır. Oyunun kuralları şu şekildedir:

* Her turda yalnızca bir oyuncu kaybetmektedir.
* Kaybeden oyuncu, diğer iki oyuncunun her birine kendi çiplerinden 2'şer çip vermektedir.

Toplam 8 tur oynanan bu oyunun sonunda Kerem'in 22 çipi olduğu ve oyun bitiminde en az çipe sahip olan oyuncunun 10 çipi olduğu bilinmektedir.

Buna göre, oyun sonunda Leyla'nın çip sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. 13Answer
  3. C
    16
  4. D
    19
  5. E
    22

Answer

Oyun sonunda Leyla'nın çip sayısı 13'tür.
Doğru cevap 13 değerini gösteren seçenektir. Kerem'in oyun sonundaki 22 çipinden yola çıkılarak kendisinin 1 tur kaybettiği kesin olarak hesaplanır. Toplam 8 turun geriye kalan 7 turunda Leyla ve Murat'ın kaybetme sayıları toplamı 7 olmalıdır. Oyun sonunda hiçbir oyuncunun çip sayısının negatif olmaması ve en az çipe sahip olan kişinin 10 çipinin bulunması şartını sağlayan tek durum Leyla'nın 3 tur, Murat'ın ise 4 tur kaybettiği senaryodur. Bu senaryoda Leyla'nın son çip sayısı 31−6×3=13 31 - 6 \times 3 = 13 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Oyun kurallarına göre bir turda gerçekleşen çip değişim miktarını belirlemek.
Her turda kaybeden oyuncu diğer iki oyuncuya 2'şer çip verdiğinden, kendisi toplam 4 çip kaybeder (−4 -4 ). Diğer iki oyuncunun her biri ise 2'şer çip kazanır (+2 +2 ). Toplam çip sayısı (12+15+18=45 12 + 15 + 18 = 45 ) oyun süresince değişmez.
Oyuncuların turlar sonundaki çip değişimlerini matematiksel olarak ifade edebilmek için.
2
Kerem'in kaybettiği tur sayıs��nı (k k ) hesaplamak.
Kerem başlangıçta 12 çipe sahiptir. Toplam 8 turda kendisinin kaybettiği tur sayısı k k ise, diğer oyuncuların kaybettiği (ve Kerem'in kazandığı) tur sayısı 8−k 8 - k olur. Kerem'in son durumdaki çip sayısı: Kson=12−4k+2(8−k)=28−6k K_{son} = 12 - 4k + 2(8 - k) = 28 - 6k şeklinde yazılır. Soruda bu değer 22 olarak verildiğinden; 28−6k=22  ⟹  6k=6  ⟹  k=1 28 - 6k = 22 \implies 6k = 6 \implies k = 1 bulunur. Yani Kerem oyun boyunca sadece 1 tur kaybetmiştir.
Kerem'in çip sayısındaki net değişimi kullanarak kaybetti��i tur sayısını tekil olarak bulmak için.
3
Leyla ve Murat'ın kaybettiği tur sayıları (l l ve m m ) için olası durumları incelemek.
Kerem 1 tur kaybettiği için kalan 8−1=7 8 - 1 = 7 turu Leyla ve Murat kaybetmiştir. Yani, l+m=7 l + m = 7 'dir. Leyla'nın son çip sayısı: Lson=15−4l+2(1+m)=15−4l+2(1+7−l)=31−6l L_{son} = 15 - 4l + 2(1 + m) = 15 - 4l + 2(1 + 7 - l) = 31 - 6l olur. Murat'ın son çip sayısı ise: Mson=18−4m+2(1+l)=18−4m+2(1+7−m)=34−6m M_{son} = 18 - 4m + 2(1 + l) = 18 - 4m + 2(1 + 7 - m) = 34 - 6m olur. Çip sayılarının negatif olamayacağı göz önüne al��narak l+m=7 l + m = 7 için olası tam sayı ikilileri yazıldığında:

* l=2,m=5  ⟹  Lson=19,Mson=4 l = 2, m = 5 \implies L_{son} = 19, M_{son} = 4 (En az çip: 4)
* l=3,m=4  ⟹  Lson=13,Mson=10 l = 3, m = 4 \implies L_{son} = 13, M_{son} = 10 (En az çip: 10)
* l=4,m=3  ⟹  Lson=7,Mson=16 l = 4, m = 3 \implies L_{son} = 7, M_{son} = 16 (En az çip: 7)
* l=5,m=2  ⟹  Lson=1,Mson=22 l = 5, m = 2 \implies L_{son} = 1, M_{son} = 22 (En az çip: 1)
Kalan turların paylaşımına göre oyuncuların alabileceği çip sayılarını ve sınır durumlarını görmek için.
4
En az çipe sahip oyuncunun 10 çipi olması kısıtını uygulamak.
İncelediğimiz durumlardan sadece l=3,m=4 l = 3, m = 4 durumunda en az çipe sahip olan oyuncunun (Murat) çip sayısı 10 olmaktadır. Bu durumda Kerem'in 22, Leyla'nın 13 ve Murat'ın 10 çipi bulunur. Böylece Leyla'nın oyun sonundaki çip sayısı 13 olarak kesinleşir.
Soruda verilen son kısıtı kullanarak doğru senaryoyu ayırt etmek için.

Key Concept

Denklem kurma, kısıtlayıcı öncül analizi ve sınır durumların kontrolü
Rate this question

Topics

Oyun ve Turnuva Problemleri

More questions from this topic