Ayla ve Berk, masada bulunan 20 adet madeni para ile bir oyun oynuyorlar. Oyunun kuralları… — ALES

Ayla ve Berk, masada bulunan $20$ adet madeni para ile bir oyun oynuyorlar. Oyunun kuralları şu şekildedir:

* Oyuncular sırayla hamle yapacaktır ve oyuna Ayla başlayacaktır.
* Her oyuncu kendi hamlesinde masadan $1$ , $3$ veya $4$ adet madeni para alabilir.
* Masadaki son madeni parayı alan oyuncu oyunu kazanacaktır.

Her iki oyuncu da oyunu kazanmak için en uygun (optimal) stratejiyle oynadığına göre, Ayla'nın oyunu kazanmayı garantilemesi için ilk hamlesinde masadan kaç adet madeni para alması gerekir?

A
$1$
B
$2$
C
$3$
$4$ Answer
E
Oyunu kazanmayı garantileyemez

Answer

4

Ayla masadan

4

adet madeni para aldığında geriye

16

madeni para kalır.

16

sayısı

7k+2

formunda bir sayı olup kaybeden bir durumdur. Berk kendi sırası geldiğinde hangi hamleyi yaparsa yapsın (

1

3

veya

4

), Ayla bir sonraki hamlesinde Berk'i tekrar

7k

veya

7k+2

formunda bir kaybeden duruma sokabilir. Bu döngü oyun sonuna kadar devam eder ve Ayla oyunu kazanmayı garantiler.

Step-by-Step Solution

Kaybeden (L) ve kazanan (W) durumları belirlemek için oyun analiz edilir.

Geriye kalan para miktarı

n

olsun.

n=0

durumu, hamle kalmadığı için kaybeden durumdur (

L

). Buradan hareketle diğer durumlar belirlenir:
-

n=1

için: Masadan

1

para alınıp rakibe

0

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=1

kazanan bir durumdur (

W

).
-

n=2

için: Yalnızca

1

para alınabilir ve rakibe

1

(

W

) bırakılır. Dolayısıyla

n=2

kaybeden bir durumdur (

L

).
-

n=3

için:

3

para al��nıp rakibe

0

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=3

kazanan durumdur (

W

).
-

n=4

için:

4

para alınıp rakibe

0

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=4

kazanan durumdur (

W

).
-

n=5

için:

3

para alınıp rakibe

2

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=5

kazanan durumdur (

W

).
-

n=6

için:

4

para alınıp rakibe

2

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=6

kazanan durumdur (

W

).
-

n=7

için: Yapılabilecek hamleler (

1

3

4

) sırasıyla

6, 4, 3

(hepsi

W

) bırakır. Dolayısıyla

n=7

kaybeden durumdur (

L

Oyunun her aşamasındaki kazanan ve kaybeden stratejik sayıları bulmak.

Kaybeden durumların genel kuralı (örüntüsü) tespit edilir.

Kaybeden durumlar dizisi

L = \\{0, 2, 7, 9, 14, 16, 21, 23, ...\\}

olarak devam eder. Bu sayıların

7

ile bölümünden kalanlar incelendiğinde, kaybeden durumların her zaman

7

ile kalansız bölünen (

7k

) veya

7

ile bölündüğünde

2

kalanını veren (

7k+2

) sayılar olduğu görülür.

Büyük sayılar için modüler aritmetik kullanarak strateji geliştirmek.

Başlangıçtaki

20

sayısı için en uygun hamle hesaplanır.

20

sayısının

7

ile bölümünden kalan

6

'dır (

20 \equiv 6 \pmod 7

). Ayla, rakibi Berk'i bir kaybeden duruma (yani

7k

veya

7k+2

formunda bir sayıya) bırakmalıdır. Ayla'nın yapabileceği hamleler:
-

1

alırsa:

20 - 1 = 19 \equiv 5 \pmod 7

(kaybeden durum değil)
-

3

alırsa:

20 - 3 = 17 \equiv 3 \pmod 7

(kaybeden durum değil)
-

4

alırsa:

20 - 4 = 16 \equiv 2 \pmod 7

(kaybeden durum!)

Dolayısıyla, Ayla ilk hamlesinde masadan tam olarak

4

adet madeni para almalıdır.

İlk hamlede rakibe kaybeden bir durum bırakarak galibiyeti garantilemek.

Key Concept

Geriye doğru tümevarım ve oyun teorisinde kazanan/kaybeden durum analizi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic