Oyun ve Turnuva Problemleri

26 questions

Dört sporcunun katıldığı bir tenis turnuvasında her sporcu diğer sporcularla birer kez karşılaşmıştır. Bu turnuvada galip gelen sporcu $3$ puan kazanmakta, mağlup olan sporcu ise puan alamamaktadır (teniste beraberlik yoktur).

Buna göre, turnuva sonunda tüm sporcuların aldığı puanların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Turnuva sonunda tüm sporcuların aldığı toplam puan 18'dir.

Turnuvada 4 sporcu yer almaktadır ve her biri diğeriyle birer kez karşılaşmaktadır. Bu durumda toplam maç sayısı kombinasyon formülüyle

\binom{4}{2} = 6

olarak hesaplanır. Teniste beraberlik olmadığı için her maçta bir kazanan ve bir kaybeden olacaktır. Kazanana

3

, kaybedene

0

puan verildiğine göre, her maçta oyunculara toplamda

3

puan dağıtılmaktadır. Toplam 6 maç yapıldığı için turnuva genelinde dağıtılan toplam puan

6 \times 3 = 18

olacaktır. Dolayısıyla 18 puanı belirten seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

Turnuvadaki toplam maç sayısını hesaplama

Toplam maç say��sı

\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6

olarak bulunur.

4 sporcunun her biri diğeriyle birer kez karşılaştığı için kombine maç sayısını bulmamız gerekir.

Bir maçta dağıtılan toplam puanı belirleme

Her bir maçta

3 + 0 = 3

puan dağıtılır.

Her maçın bir kazananı (

3

puan) ve bir kaybedeni (

0

puan) vardır.

Turnuva sonundaki toplam puanı hesaplama

6 \times 3 = 18

puan elde edilir.

Yapılan 6 maçın her birinden sporculara toplam 3 puan dağıtılacağı için toplam puan maç sayısı ile maç başına puanın çarpımıdır.

Key Concept

Tek devreli lig usulü turnuvalarda toplam maç sayısı ve toplam puan hesabı

Question 2Question →

Ahmet, Burak, Cem, Deniz ve Emre'nin katıldığı bir satranç turnuvasında her oyuncu diğer tüm oyuncularla birer kez karşılaşmıştır. Turnuvadaki puanlama sistemi şu şekildedir:
- Her galibiyet için $3$ puan,
- Her beraberlik için $1$ puan,
- Her mağlubiyet için $0$ puan verilmektedir.

Turnuva sonunda oluşan durumla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Turnuvadaki tüm maçların tamamlanmasıyla oyuncuların aldığı toplam puan $26$ 'dır.
- Ahmet turnuvayı $10$ puanla birinci, Emre ise $1$ puanla sonuncu sırada tamamlamıştır.
- Burak, Cem ve Deniz turnuvayı aynı puanla tamamlamışlardır.
- Ahmet, Emre ile yaptığı maçı kazanmıştır.
- Cem, Burak ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Buna göre, turnuvadaki maçlarla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cem ile Deniz arasındaki maç berabere bitmiştir.

Ahmet, Burak ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Burak, Deniz ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Cem, Emre ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Ahmet, Cem ile yaptığı maçta berabere kalmıştır.

Show answer & explanation

Answer: Cem ile Deniz arasındaki maç berabere bitmiştir.

Answer

Cem ile Deniz arasındaki maçın berabere bittiğini belirten seçenek doğrudur.

Cem ile Deniz arasındaki maçın berabere bittiğini belirten seçenek doğrudur. Turnuvadaki puan dağılımları ve kısıtlar (toplam beraberlik maçı sayısının

4

olması, Ahmet'in Emre'yi, Cem'in Burak'ı yenmesi) analiz edildiğinde beraberlik eşleşmelerinin Ahmet-Burak, Burak-Deniz, Deniz-Cem ve Cem-Emre şeklinde olması zorunludur. Bu durum Cem ile Deniz arasındaki maçın beraberlikle sonuçlandığını gösterir.

Step-by-Step Solution

Toplam maç sayısını ve beraberlikle sonuçlanan maç sayısını hesaplama.

Turnuvada toplam maç sayısı

\frac{5 \times 4}{2} = 10

'dur. Beraberlikle biten maç sayısı

30 - 26 = 4

'tür.

Her galibiyet maçı toplam puana

3

puan (kazanana

3

, kaybedene

0

), her beraberlik maçı ise

2

puan (her iki oyuncuya

1

'er) kazandırır. Toplam puan

26

olduğuna göre, her beraberlik maçı toplam puan havuzunu

1

azaltmıştır (

30 - 26 = 4

beraberlik maçı).

Oyuncuların aldıkları puanlara göre galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet sayılarını (karnelerini) belirleme.

Ahmet:

3

Galibiyet,

1

Beraberlik,

0

Mağlubiyet. Emre:

0

Galibiyet,

1

Beraberlik,

3

Mağlubiyet. Burak, Cem ve Deniz: Her biri

1

Galibiyet,

2

Beraberlik,

1

Mağlubiyet.

Ahmet'in

4

maçta

10

puan alması için tek yol

3

galibiyet ve

1

beraberliktir. Emre'nin

1

puan alması için tek yol

1

beraberlik ve

3

mağlubiyettir. Diğer üç oyuncunun puanları toplamı

26 - (10 + 1) = 15

olup, her biri

5

'er puan almıştır.

4

maçta

5

puan almanın tek yolu ise

1

galibiyet,

2

beraberlik ve

1

mağlubiyettir.

Beraberlik eşleşmelerinin ve win/loss yapısının çözümlenmesi.

Ahmet'in tek beraberliği Burak ile, Emre'nin tek beraberliği ise Cem ile olmuştur. Burak, Cem ve Deniz'in ikişer beraberliği olduğundan, diğer beraberlikler Burak-Deniz ve Deniz-Cem arasında gerçekleşmiştir.

Ahmet, Emre'yi yendiği için aralarında beraberlik yoktur. Ahmet'in tek beraberliği Burak ile olmalıdır (Cem veya Deniz ile olsaydı çelişki doğardı). Emre'nin tek beraberliği ise Cem ile olmuştur. Buradan beraberlik zinciri Ahmet-Burak-Deniz-Cem-Emre olarak kurulur.

Tüm maç sonuçlarının matris üzerinde doğrulanması.

Cem ile Deniz arasındaki maçın beraberlikle bittiği kesinleşir.

Belirlenen beraberlik zincirinde Cem ile Deniz arasında bir beraberlik maçı mevcuttur.

Key Concept

Oyun ve turnuva problemlerinde puan kısıtlarından yola çıkarak beraberlik ve galibiyet grafiklerinin oluşturulması.

Estimated Time:3m 0s

Question 3Question →

Alp, Berk, Can ve Davut'un katıldığı bir masa oyunu turnuvasında her oyuncu diğer tüm oyuncularla tam olarak birer kez karşılaşmıştır. Turnuvadaki puanlama sistemine göre; kazanan oyuncu $3$ puan almakta, kaybeden oyuncu $0$ puan almakta ve beraberlik durumunda her iki oyuncu da $1$ 'er puan almaktadır. Turnuva sonunda oyuncuların puanları şu şekildedir:

* Alp: $7$ puan
* Berk: $5$ puan
* Can: $3$ puan

Buna göre, Davut turnuva sonunda kaç puan almıştır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Davut turnuva sonunda 1 puan almıştır.

Turnuvadaki 4 oyuncudan her biri 3 maç yapmıştır. Alp'in 7 puanı (2 galibiyet, 1 beraberlik), Berk'in 5 puanı (1 galibiyet, 2 beraberlik) vardır. Berk yenilmediği için Alp ile Berk arasındaki maç beraberlikle sonuçlanmıştır. Alp kalan maçlarında Can ve Davut'u yenmiştir. Can'ın 3 puanı olduğundan ve Alp'e yenildiğinden, kalan iki maçında beraberlik alamaz (çünkü tek maçtan 3 puan alması gerekir, yani Davut'u yenip Berk'e yenilmelidir). Bu durumda Berk, Davut ile berabere kalmıştır. Davut'un sonuçları 1 beraberlik (Berk) ve 2 mağlubiyet (Alp ve Can) olup toplamda 1 puan elde etmiştir.

Step-by-Step Solution

Oyuncuların yaptıkları maç sayılarını ve toplam maç sayısını belirleme.

Turnuvada 4 oyuncu olduğundan ve her oyuncu diğeriyle birer kez karşılaştığından, her oyuncu toplamda 3 maç yapmıştır. Toplam maç sayısı ise

\frac{4 \times 3}{2} = 6

maçtır.

Puan dağılımını analiz etmek için her oyuncunun yaptığı maç sayısını bilmemiz gerekir.

Alp ve Berk'in puanlarına göre maç sonuçlarını analiz etme.

Alp'in 7 puanı vardır. 3 maçta 7 puan alabilmesi için sadece 2 galibiyet ve 1 beraberlik (

3 + 3 + 1 = 7

) almış olması gerekir. Berk'in ise 5 puanı vardır. 3 maçta 5 puan alabilmesi için 1 galibiyet ve 2 beraberlik (

3 + 1 + 1 = 5

) almış olması gerekir. Berk hiç mağlup olmamıştır.

Oyuncuların galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik sayılarını netleştirmek için puan kombinasyonlarını inceleriz.

Alp ve Berk arasındaki maçın sonucunu belirleme.

Alp'in 1, Berk'in ise 2 beraberliği vardır. Berk hiç mağlup olmadığı için Alp'in Berk'i yenmesi mümkün değildir. Bu durumda Alp ile Berk arasındaki maç beraberlikle sonuçlanmış olmalıdır.

Alp'in tek beraberliğinin hangi maçta olduğunu bulmak turnuva ağacını çözer.

Alp ve Berk'in diğer maçlarını analiz etme.

Alp ile Berk berabere kaldığına göre, Alp kalan maçlarında (Can ve Davut) galip gelmiştir. Berk ise kalan maçlarında 1 galibiyet ve 1 beraberlik almıştır. Berk hiç yenilmediği için Berk-Can ve Berk-Davut maçlarından biri beraberlik, diğeri Berk'in galibiyeti ile bitmiştir.

Alp'in tüm maç sonuçları kesinleştiğinden, Berk'in kalan maç olasılıklarını değerlendiririz.

Can'��n 3 puanlık durumunu inceleyerek Berk'in kalan maçlarını netleştirme.

Can'ın 3 puanı vardır. Can, Alp'e yenildiği için (0 puan), kalan iki maçından (Berk ve Davut) toplam 3 puan almalıdır. Eğer Berk ile Can berabere kalsaydı, Can Berk'ten 1 puan alırdı ve Davut'u yenerek 3 puan daha alıp toplam 4 puana ulaşırdı, bu da 3 puanı sağlamazdı. Dolayıs��yla Berk, Can'ı yenmiştir (Can 0 puan alır). Can'ın 3 puana ulaşması için Davut'u yenmesi gerekir (3 puan). Bu durumda Berk ile Davut arasındaki maç beraberlikle bitmiştir.

Can'ın puan durumunun tutarlılığını kontrol ederek Davut'un maç sonuçlarını buluruz.

Davut'un maç sonuçlarını ve toplam puanını hesaplama.

Davut'un maçları: Alp'e yenildi (0 puan), Berk ile berabere kaldı (1 puan) ve Can'a yenildi (0 puan). Toplam puanı:

0 + 1 + 0 = 1

puan olur.

Tüm maçlar netleştiğinde Davut'un aldığı puanı toplarız.

Key Concept

Turnuva ve oyun problemlerinde puan kombinasyonları ve mantıksal eşleştirme analizi.

Hints

Her oyuncunun toplamda kaç maç yapacağını ve galibiyet, mağlubiyet ile beraberlik durumlarında alınacak puanları listeleyin.

Alp'in 7, Berk'in 5 puan alabilmesi için hangi maç sonuçlarına (galibiyet/beraberlik/mağlubiyet) sahip olması gerektiğini bulun.

Berk'in hiç yenilmediğini kullanarak Alp ile Berk arasındaki maçın sonucunu ve ardından Can'ın 3 puan alma durumunu inceleyin.

Practice More

Benzer şekilde 5 oyuncunun katıldığı ve her galibiyete 2, beraberliğe 1 puan verilen bir turnuva senaryosu çözerek mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm maçların toplam puanı üzerinden gidebiliriz. Galibiyetle biten her maç toplamda 3 puan (3 + 0), beraberlikle biten her maç ise toplamda 2 puan (1 + 1) kazandırır. Alp (7), Berk (5) ve Can (3) puanlarının toplamı 15'tir. Davut'un puanı

D

olsun. Toplam puan

15 + D

olur. Alp ve Berk'in toplam 3 beraberliği olduğu için turnuvadaki 6 maçtan en az 2'si (Alp-Berk ve Berk-Davut) berabere bitmiştir. Buradan da denklemlerle sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 4Question →

Bir masa tenisi turnuvasında her galibiyete $3$ puan verilmekte, her mağlubiyette ise oyuncudan $1$ puan düşülmektedir. Beraberliğin olmadığı bu turnuvada toplam $10$ maç yapan bir oyuncu $18$ puan toplamıştır. Buna göre, bu oyuncu yaptığı maçların kaç tanesinde galip gelmiştir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Oyuncunun galip geldiği maç sayısı 7'dir.

Oyuncunun galip geldiği maç sayısına

x

dersek, beraberlik olmadığından mağlup olduğu maç sayısı

10-x

olur. Galibiyetten kazanılan puan

3x

, mağlubiyetten kaybedilen puan ise

10-x

olur. Bu durumda elde edilen toplam puan

3x - (10-x) = 18

denkleminden

4x - 10 = 18 \implies 4x = 28 \implies x = 7

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Galibiyet sayısını temsil edecek bir değişken belirleyip mağlubiyet sayısını bu değişken cinsinden yazın.

Galibiyet sayısı

x

ise toplam 10 maç yapıldığı için mağlubiyet sayısı

10-x

olur.

Soruda toplam maç sayısı verilmiş ve beraberlik durumunun olmadığı belirtilmiştir.

Kazanılan ve kaybedilen puan kurallarını uygulayarak toplam puan denklemini kurun.

Toplam puan denklemi:

3x - (10-x) = 18

olur.

Her galibiyet için 3 puan eklenirken her mağlubiyet için 1 puan düşülmektedir.

Denklemi çözerek galibiyet sayısını bulun.

3x - 10 + x = 18 \implies 4x - 10 = 18 \implies 4x = 28 \implies x = 7

olarak bulunur.

Bilinmeyen değeri yalnız bırakmak için cebirsel işlemler uygulanır.

Key Concept

Turnuva puanlama mantığında galibiyet ve mağlubiyet ilişkilerini değişkenler kullanarak modelleme.

Question 5Question →

Ayla ve Berk, masada bulunan $20$ adet madeni para ile bir oyun oynuyorlar. Oyunun kuralları şu şekildedir:

* Oyuncular sırayla hamle yapacaktır ve oyuna Ayla başlayacaktır.
* Her oyuncu kendi hamlesinde masadan $1$ , $3$ veya $4$ adet madeni para alabilir.
* Masadaki son madeni parayı alan oyuncu oyunu kazanacaktır.

Her iki oyuncu da oyunu kazanmak için en uygun (optimal) stratejiyle oynadığına göre, Ayla'nın oyunu kazanmayı garantilemesi için ilk hamlesinde masadan kaç adet madeni para alması gerekir?

1

2

3

4

Oyunu kazanmayı garantileyemez

Show answer & explanation

Answer: $4$

Answer

4

Ayla masadan

4

adet madeni para aldığında geriye

16

madeni para kalır.

16

sayısı

7k+2

formunda bir sayı olup kaybeden bir durumdur. Berk kendi sırası geldiğinde hangi hamleyi yaparsa yapsın (

1

3

veya

4

), Ayla bir sonraki hamlesinde Berk'i tekrar

7k

veya

7k+2

formunda bir kaybeden duruma sokabilir. Bu döngü oyun sonuna kadar devam eder ve Ayla oyunu kazanmayı garantiler.

Step-by-Step Solution

Kaybeden (L) ve kazanan (W) durumları belirlemek için oyun analiz edilir.

Geriye kalan para miktarı

n

olsun.

n=0

durumu, hamle kalmadığı için kaybeden durumdur (

L

). Buradan hareketle diğer durumlar belirlenir:
-

n=1

için: Masadan

1

para alınıp rakibe

0

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=1

kazanan bir durumdur (

W

).
-

n=2

için: Yalnızca

1

para alınabilir ve rakibe

1

(

W

) bırakılır. Dolayısıyla

n=2

kaybeden bir durumdur (

L

).
-

n=3

için:

3

para al��nıp rakibe

0

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=3

kazanan durumdur (

W

).
-

n=4

için:

4

para alınıp rakibe

0

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=4

kazanan durumdur (

W

).
-

n=5

için:

3

para alınıp rakibe

2

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=5

kazanan durumdur (

W

).
-

n=6

için:

4

para alınıp rakibe

2

(

L

) bırakılabilir. Dolayısıyla

n=6

kazanan durumdur (

W

).
-

n=7

için: Yapılabilecek hamleler (

1

3

4

) sırasıyla

6, 4, 3

(hepsi

W

) bırakır. Dolayısıyla

n=7

kaybeden durumdur (

L

Oyunun her aşamasındaki kazanan ve kaybeden stratejik sayıları bulmak.

Kaybeden durumların genel kuralı (örüntüsü) tespit edilir.

Kaybeden durumlar dizisi

L = \\{0, 2, 7, 9, 14, 16, 21, 23, ...\\}

olarak devam eder. Bu sayıların

7

ile bölümünden kalanlar incelendiğinde, kaybeden durumların her zaman

7

ile kalansız bölünen (

7k

) veya

7

ile bölündüğünde

2

kalanını veren (

7k+2

) sayılar olduğu görülür.

Büyük sayılar için modüler aritmetik kullanarak strateji geliştirmek.

Başlangıçtaki

20

sayısı için en uygun hamle hesaplanır.

20

sayısının

7

ile bölümünden kalan

6

'dır (

20 \equiv 6 \pmod 7

). Ayla, rakibi Berk'i bir kaybeden duruma (yani

7k

veya

7k+2

formunda bir sayıya) bırakmalıdır. Ayla'nın yapabileceği hamleler:
-

1

alırsa:

20 - 1 = 19 \equiv 5 \pmod 7

(kaybeden durum değil)
-

3

alırsa:

20 - 3 = 17 \equiv 3 \pmod 7

(kaybeden durum değil)
-

4

alırsa:

20 - 4 = 16 \equiv 2 \pmod 7

(kaybeden durum!)

Dolayısıyla, Ayla ilk hamlesinde masadan tam olarak

4

adet madeni para almalıdır.

İlk hamlede rakibe kaybeden bir durum bırakarak galibiyeti garantilemek.

Key Concept

Geriye doğru tümevarım ve oyun teorisinde kazanan/kaybeden durum analizi.

Question 6Question →

Kuzey, Güney, Doğu ve Batı isimli dört tenisçinin katıldığı bir turnuvada her oyuncu diğer oyuncuların her biriyle birer kez karşılaşmıştır. Turnuvadaki puanlama şu şekildedir:

* Maçı kazanan oyuncu $2$ puan almaktadır.
* Maçı kaybeden oyuncu $0$ puan almaktadır.
* Beraberlik durumunda her iki oyuncu da $1$ 'er puan almaktadır.

Turnuva sonunda oyuncuların puanları şu şekildedir:

* Kuzey: $5$ puan
* Güney: $3$ puan
* Doğu: $3$ puan

Ayrıca bu turnuvada Kuzey ile Batı arasındaki maçın berabere bittiği ve hiçbir oyuncunun tüm maçlarını berabere tamamlamadığı bilinmektedir.

Buna göre, turnuvadaki maçlarla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Batı, Güney ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Batı'nın turnuva sonundaki toplam puanı

2

'dir.

Doğu, Kuzey ile yaptığı maçta berabere kalmıştır.

Güney ile Doğu arasındaki maç berabere bitmiştir.

Kuzey, Güney ile yaptığı maçta berabere kalmıştır.

Show answer & explanation

Answer: Güney ile Doğu arasındaki maç berabere bitmiştir.

Answer

Güney ile Doğu arasındaki maç berabere bitmiştir.

Kuzey (5 puan, 1 beraberlik) ile Batı'nın (1 puan, 1 beraberlik) berabere kaldığı bilinmektedir. Güney ve Doğu 3'er puana sahiptir ve her birinin en az bir maçı kazanıp bir maçı kaybetmesi gerektiğinden (tüm maçları berabere bitmemiş olamaz), her ikisinin de tam olarak 1'er beraberliği vardır. Kuzey ve Batı kendi aralarında berabere kaldığına göre, Güney ve Doğu da kendi aralarındaki maçta berabere kalmış olmalıdır. Bu nedenle Güney ile Doğu arasındaki maçın berabere bittiğini belirten ifade kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

Toplam maç sayısını ve turnuvada dağıtılan toplam puanı hesaplayalım.

Turnuvada 4 oyuncu olduğundan toplam maç sayısı

\frac{4 \times 3}{2} = 6

'dır. Her maçta galibiyet durumunda

2+0=2

puan, beraberlik durumunda ise

1+1=2

puan dağıtılır. Dolayısıyla dağıtılan toplam puan

6 \times 2 = 12

'dir.

Batı'nın puanını bulmak için turnuvadaki toplam puan dengesini kurmamız gerekir.

Batı'nın toplam puanını bulalım.

Kuzey (5), Güney (3) ve Doğu'nun (3) puanları toplamı

5 + 3 + 3 = 11

'dir. Toplam puan 12 olduğuna göre Batı'nın puanı

12 - 11 = 1

'dir.

Her oyuncunun galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik sayılarını analiz etmek için puanlarını bilmemiz gerekir.

Oyuncuların puanlarına göre galibiyet-beraberlik-mağlubiyet sayılarını analiz edelim.

Kuzey 5 puanı ancak 2 galibiyet ve 1 beraberlikle alabilir (2+2+1=5). Batı 1 puanı ancak 1 beraberlik ve 2 mağlubiyetle alabilir (1+0+0=1). Güney ve Doğu 3'er puana sahiptir; hiçbir oyuncunun tüm maçları berabere bitmediği için (3 beraberlik = 3 puan durumu elenir) her ikisi de 1 galibiyet, 1 beraberlik ve 1 mağlubiyet almıştır (2+1+0=3).

Beraberliklerin hangi maçlarda yaşandığını tespit etmek için oyuncuların beraberlik sayılarını bilmeliyiz.

Beraberliklerin hangi eşleşmelerde gerçekleştiğini belirleyelim.

Soruda Kuzey ile Batı arasındaki maçın berabere bittiği verilmiştir. Her iki oyuncunun da sadece 1'er beraberliği olduğu için bu haklarını kullanmışlardır. Güney ve Doğu'nun da 1'er beraberliği olması gerektiğinden, bu iki oyuncu kendi aralarında yaptıkları maçta berabere kalmıştır.

Güney ile Doğu arasındaki maçın sonucuna ulaşmak için kalan beraberlik durumlarını eşleştirmeliyiz.

Key Concept

Turnuva problemlerinde toplam puan korundurumu ve maç tablosu oluşturma mantığı

Hints

Turnuvadaki 4 oyuncunun yaptığı toplam maç sayısını ve her maçta dağıtılan toplam puanı hesaplayarak işe başlayın.

Toplam puanın 12 olması gerektiğini kullanarak Batı'nın puanını bulun. Ardından her oyuncunun aldığı puanlara göre kaç galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet aldığını listeleyin.

Kuzey ve Batı'nın 1'er beraberliği vardır ve bu beraberliği kendi aralarında yapmışlardır. Güney ve Doğu'nun da 1'er beraberlik hakkı kaldığını unutmayın.

Estimated Time:1m 30s

Question 7Question →

Kartal, Şahin, Atmaca ve Doğan takımlarının katıldığı tek devreli bir futbol turnuvasında her tak��m diğer takımlarla birer kez karşılaşmıştır. Turnuvadaki puanlama sistemine göre galibiyete $3$ puan, beraberliğe $1$ puan verilirken mağlubiyete puan verilmemektedir.

Turnuva sonunda takımların durumlarıyla ilgili şu bilgiler verilmiştir:
* Doğan takımı turnuva boyunca hiç gol atamamış ve tüm maçlarını kaybetmiştir.
* Atmaca takımı turnuvayı hiç mağlubiyet almadan tamamlamıştır.
* Kartal takımı turnuvayı $1$ galibiyet, $1$ beraberlik ve $1$ mağlubiyetle tamamlamıştır.
* Şahin takımı turnuva sonunda toplam $5$ puan toplamıştır.

Buna göre, turnuvada oynanan maçların sonuçlarıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Kartal ile Şahin arasındaki maç berabere bitmiştir.

Atmaca ile Kartal arasındaki maç berabere bitmiştir.

Şahin ile Atmaca arasındaki maçı Şahin kazanmıştır.

Kartal turnuvayı 5 puanla tamamlamışt��r.

Atmaca ile Doğan arasındaki maç berabere bitmiştir.

Show answer & explanation

Answer: Kartal ile Şahin arasındaki maç berabere bitmiştir.

Answer

Kartal ile Şahin arasındaki maçın berabere bittiği ifadesi kesinlikle doğrudur.

Kartal ile Şahin arasındaki maçın berabere bittiği kesin olarak bulunabilmektedir. Şahin takımı toplamda 5 puan almış olup bu puanı 1 galibiyet ve 2 beraberlik ile elde etmiştir. Doğan takımı tüm maçlarını kaybettiği için Şahin'in tek galibiyeti Doğan'a karşıdır. Şahin'in diğer iki maçı (Atmaca ve Kartal maçları) berabere bitmiştir. Dolayısıyla Kartal ile Şahin arasındaki maç berabere bitmiştir.

Step-by-Step Solution

Şahin takımının puan durumundan galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet sayılarını belirlemek.

Şahin takımının

5

puan alabilmesi için tek seçenek

1

galibiyet (

3

puan) ve

2

beraberlik (

2

puan) almasıdır. Toplamda

3

maç oynandığı için mağlubiyeti yoktur (

0

mağlubiyet).

Galibiyete

3

, beraberliğe

1

puan verilmesi durumunda toplam

3

maçta

5

puan elde etmenin başka bir yolu yoktur.

Doğan takımının durumunu ve turnuvadaki toplam galibiyet/mağlubiyet/beraberlik sayılarını analiz etmek.

Doğan takımı tüm maçlarını kaybettiği için diğer üç takım (Kartal, Şahin ve Atmaca) Doğan takımını yenmiştir. Kartal (

1

1

1

M) ve Şahin (

1

2

0

M) takımlarının galibiyet sayıları

1

olduğundan, bu galibiyetlerini Doğan'a karşı almışlardır. Atmaca takımı hiç mağlubiyet almamıştır. Toplam maç sayısı

6

olduğuna göre, galibiyet sayısı ile mağlubiyet sayısı toplamı eşit olmalıdır. Toplam mağlubiyet sayısı: Kartal (

1

) + Şahin (

0

) + Doğan (

3

) + Atmaca (

0

) =

4

'tür. O halde toplam galibiyet sayısı da

4

olmalıdır. Kartal (

1

), Şahin (

1

) ve Doğan (

0

) olduğuna göre Atmaca'nın galibiyet sayısı

4 - (1 + 1 + 0) = 2

olmalıdır. Atmaca'nın mağlubiyeti olmadığından ve

3

maç yaptığından kalan

1

maçı berabere bitmiştir (

2

1

0

M).

Maç sonuçlarının genel dengesini kurmak için toplam galibiyet ve mağlubiyet eşitliğini kullanmak gerekir.

Takımlar arasındaki tüm maçların sonuçlarını eşleştirmek.

Doğan'a karşı Kartal, Şahin ve Atmaca galip gelmiştir. Atmaca'nın kalan iki maçı Şahin ve Kartal'a karşıdır (

1

beraberlik,

1

galibiyet). Atmaca hiç yenilmediğine göre ve Şahin'in de mağlubiyeti olmadığına göre, Atmaca ile Şahin arasındaki maç berabere bitmelidir. Bu durumda Atmaca'nın diğer maçı olan Kartal maçı Atmaca'nın galibiyetiyle sonuçlanır. Şahin'in kalan diğer maçı Kartal'a karşıdır. Şahin'in toplamda

2

beraberliği olduğu için (biri Atmaca'ya karşı), Kartal ile yaptığı maç de berabere bitmelidir. Kartal'ın da durumuna bakıldığında (

1

beraberlik Şahin'e karşı,

1

galibiyet Doğan'a karşı,

1

mağlubiyet Atmaca'ya karşı) tüm durumların mükemmel bir şekilde eşleştiği görülür.

Sorunun kesin sonucuna ulaşmak için takımların ikili eşleşmelerini ve olası senaryoları belirlemek gerekir.

Key Concept

Turnuva ve Lig Problemlerinde Maç Dengesi ve Puanlama Analizi

Question 8Question →

Beş sporcunun katıldığı bir masa tenisi turnuvasında her oyuncu diğer tüm oyuncularla tam olarak ikişer kez karşılaşmıştır. Turnuvada beraberlik seçeneği yoktur. Turnuvada puanlama şu şekildedir:

* Her galibiyete $3$ puan verilmektedir. Mağlubiyete ise puan verilmemektedir ( $0$ puan).
* Üst üste kazanılan galibiyetlerde, 3. galibiyetten itibaren (3. galibiyet dahil) kazanılan her ardışık maç için oyuncunun hanesine ekstra $1$ bonus puan eklenmektedir. (Örneğin; bir oyuncu turnuvadaki ilk 4 maçını kazanıp sonraki 4 maçını kaybederse $3+3+4+4+0+0+0+0 = 14$ puan alır. Seri mağlubiyetle bozulursa bonus sıfırlanır.)

Turnuva sonunda sporcuların aldıkları puanlar ve galibiyet durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* En fazla galibiyet alan oyuncu tüm maçlarını kazanmamıştır.
* Turnuvadaki her oyuncu en az iki galibiyet almıştır.
* Oyunculardan biri turnuvayı $18$ puanla tamamlamıştır.

Buna göre, $18$ puan alan bu oyuncunun turnuva boyunca aldığı mağlubiyet sayısı en fazla kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Oyuncunun alabileceği maksimum mağlubiyet sayısı 3'tür.

Doğru cevap olan 3 seçeneği, oyuncunun 5 galibiyet ve 3 mağlubiyet alarak 18 puan elde edebileceği en yüksek mağlubiyet durumunu gösterir. Oyuncu 5 galibiyetini üst üste aldığında 3 + 3 + 4 + 4 + 4 = 18 puan elde etmekte ve geri kalan 3 maçını kaybederek maksimum mağlubiyet sayısına ulaşmaktadır.

Step-by-Step Solution

Her oyuncunun yaptığı toplam maç sayısını belirleme.

Turnuvada 5 oyuncu vardır. Her oyuncu diğer 4 oyuncuyla ikişer kez karşılaştığı için toplam

4 \times 2 = 8

maç yapar. Beraberlik olmadığından her oyuncu için Galibiyet (

G

) ve Mağlubiyet (

M

) sayılarının toplamı

G + M = 8

olmak zorundadır.

Olası galibiyet ve mağlubiyet kombinasyonlarını sınırlandırmak için her oyuncunun toplam maç sayısını bulmalıyız.

Farklı galibiyet sayıları için elde edilebilecek puanları ve 18 puan sınırını analiz etme.

G \le 4

ise: En fazla ardışık 4 galibiyet alınabilir ve puan en fazla

3 + 3 + 4 + 4 = 14

olur (18 puana ulaşılamaz).
-

G = 5

ise: 5 galibiyetin tamamı ardışık alınırsa (Galibiyet, Galibiyet, Galibiyet, Galibiyet, Galibiyet) puan:

3 + 3 + 4 + 4 + 4 = 18

olur. Bu durumda mağlubiyet sayısı

M = 8 - 5 = 3

olur.
-

G = 6

ise: Galibiyetler ardışık ikişerli gruplara bölünürse (örneğin G-G-M-G-G-M-G-G) hiç bonus alınmaz ve puan

3 \times 6 = 18

olur. Bu durumda mağlubiyet sayısı

M = 8 - 6 = 2

olur.
-

G = 7

ise: 1 mağlubiyet olacağından galibiyetler en fazla iki gruba ayrılabilir (örneğin 4 ve 3 ardışık galibiyet). Alınabilecek minimum puan

(3+3+4+4) + (3+3+4) = 24

olur (18 puan alınamaz).

18 puana ulaştıran galibiyet sayılarını ve bu durumlardaki mağlubiyet sayılarını bulmak için olasılıkları hesaplamalıyız.

Turnuva geneli kısıtlamalarının kontrol edilmesi.

En çok galibiyet alan oyuncunun tüm maçlarını kazanmadığı (

G < 8

) ve her oyuncunun en az iki galibiyet aldığı belirtilmiştir. Bizim 18 puan alan oyuncumuzun 5 galibiyet (3 mağlubiyet) veya 6 galibiyet (2 mağlubiyet) alması turnuva genelindeki toplam galibiyet dağılımını bozmaz. Örneğin, oyuncuların galibiyet sayıları sırasıyla 7, 5, 4, 2, 2 olabilir (Toplam galibiyet = 20, bu da toplam maç sayısına eşittir).

Bulunan bireysel durumların turnuvanın genel mantıksal çerçevesiyle çelişmediğini doğrulamak gerekir.

Maksimum mağlubiyet sayısının seçilmesi.

Oyuncu 18 puanı 3 mağlubiyet (

G=5

) veya 2 mağlubiyet (

G=6

) ile elde edebilir. Mağlubiyet sayısının en fazla olması istendiğinden doğru cevap 3'tür.

Soruda istenen maksimum mağlubiyet değerini belirlemek.

Key Concept

Turnuva puanlama ve ardışık durum kombinasyon analizi

Question 9Question →

Bir futbol turnuvasında $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ takımları tek devreli lig usulüne göre karşılaşmıştır (yani her takım diğer takımlarla birer kez oynamıştır). Bu turnuvada galibiyete $3$ puan, beraberliğe $1$ puan verilirken mağlubiyete puan verilmemektedir.

Turnuva sonunda takımların puanları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Takımların elde ettiği toplam puan $16$ 'dır.
- $A$ takımının puanı $7$ , $B$ takımının puanı $5$ 'tir.
- $C$ takımının puanı ise $3$ 'tür.

Buna göre, $B$ ile $D$ takımları arasında yapılan maç nasıl sonuçlanmıştır?

B takımı kazanmıştır.

D takımı kazanmıştır.

Maç berabere bitmiştir.

Bu iki takım turnuvada karşılaşmamıştır.

Maçın sonucu hakkında kesin bir bilgiye ulaşılamaz.

Show answer & explanation

Answer: Maç berabere bitmiştir.

Answer

Maç berabere bitmiştir.

B takımı turnuva boyunca toplam 2 beraberlik elde etmiştir. C takımının hiç beraberliği olmadığı belirlendiğinden, B takımı bu 2 beraberliği sadece A ve D takımlarına karşı almış olabilir. Bu durumda B ile D arasındaki maç zorunlu olarak berabere sonuçlanmıştır.

Step-by-Step Solution

D takımının puanını ve toplam maç sayısını belirleme.

Turnuvada

4

takım olduğundan toplam maç sayısı

\frac{4 \times 3}{2} = 6

'dır. D takımının puanı ise

16 - (7 + 5 + 3) = 1

olarak bulunur.

Turnuvadaki toplam puanı ve diğer takımların puanlarını kullanarak D takımının puanına ulaşmak ve toplam maç sayısını belirlemek gerekir.

Beraberlikle biten maç sayısını bulma.

Her galibiyetli maçta toplam

3

puan (kazanana

3

, kaybedene

0

), her beraberlikte ise toplam

2

puan (her iki takıma

1

'er) dağıtılır. Galibiyetle biten maç sayısı

w

, beraberlikle biten maç sayısı

d

olsun.

w + d = 6

3w + 2d = 16

denklem sisteminden

w = 4

d = 2

bulunur. Yani turnuvada

2

maç berabere bitmiş,

4

maç galibiyetle sonuçlanmıştır.

Beraberlikle biten toplam maç sayısını bulmak, takımların bireysel beraberlik sayılarını analiz etmek için gereklidir.

Takımların galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet sayılarını analiz etme.

A takımı

7

puanı yalnızca

2

galibiyet ve

1

beraberlik (

3+3+1

) ile alabilir. B takımı

5

puanı yalnızca

1

galibiyet ve

2

beraberlik (

3+1+1

) ile alabilir. D takımı

1

puanı yalnızca

0

galibiyet,

1

beraberlik ve

2

mağlubiyet (

1+0+0

) ile alabilir. Toplam beraberlik sayısı

2

olduğu için, takımların bireysel beraberlik sayılarının toplamı

2 \times 2 = 4

olmalıdır. A, B ve D'nin beraberlik sayıları toplamı zaten

1 + 2 + 1 = 4

olduğundan, C takımının hiç beraberliği yoktur (

0

beraberlik). C takımı

3

puanı

1

galibiyet ve

2

mağlubiyetle almıştır.

Her takımın elde ettiği puanların hangi maç sonuçlarından (galibiyet, beraberlik, mağlubiyet) kaynaklandığını belirlemek gerekir.

B ile D takımları arasındaki maçı analiz etme.

B takımı turnuvada

2

beraberlik almıştır. C takımının hiç beraberliği olmadığına göre, B takımı bu beraberlikleri ancak kalan diğer iki takım olan A ve D takımları ile yapmış olabilir. Bu durumda B ile D takımları arasındaki maç berabere bitmiştir.

B takımının beraberlik ortaklarını belirleyerek B ile D arasındaki maçın sonucuna kesin olarak ulaşılır.

Key Concept

Turnuva puanlama ve kombinasyonel mantık analizi

Question 10Question →

Arda, Burak, Cem, Deniz ve Elif'in katıldığı bir satranç turnuvasında her oyuncu diğer oyuncularla birer kez karşılaşmıştır. Turnuvada galibiyete $3$ puan, beraberliğe $1$ puan verilirken mağlubiyete puan verilmemektedir.

Turnuva sonunda oyuncuların topladıkları puanlar şu şekildedir:
- Arda: $10$
- Burak: $7$
- Cem: $5$
- Deniz: $4$
- Elif: $1$

Buna göre, bu turnuvayla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Arda, Elif ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Burak, Deniz ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Turnuvaya katılan her oyuncu en az bir maçta berabere kalmıştır.

Deniz, Elif ile yaptığı maçı kazanmıştır.

Deniz, turnuvadaki maçlarının hiçbirinde berabere kalmamıştır.

Show answer & explanation

Answer: Turnuvaya katılan her oyuncu en az bir maçta berabere kalmıştır.

Answer

Turnuvaya katılan her oyuncu en az bir maçta berabere kalmıştır.

Doğru cevap olan 'Turnuvaya katılan her oyuncu en az bir maçta berabere kalmıştır' ifadesi kesinlikle doğrudur. Çünkü oyuncuların puan analizi yapıldığında Arda (

1

), Burak (

1

), Cem (

2

) ve Elif (

1

) kesinlikle beraberlik almıştır. Deniz'in ise

4

puanı elde edebilmesi için ya

1

galibiyet,

1

beraberlik alması ya da

4

beraberlik alması gerekir. Her iki durumda da Deniz'in en az bir beraberliği olmak zorundadır. Böylece turnuvadaki tüm oyuncular en az birer maçta berabere kalmış olur.

Step-by-Step Solution

Oyuncuların yaptıkları maç sayılarını ve toplam maç sayısını belirleyelim.

Turnuvada

5

oyuncu olduğundan, her oyuncu diğer

4

oyuncuyla birer maç yapmıştır. Toplam maç sayısı

\frac{5 \times 4}{2} = 10

olarak bulunur.

Her oyuncunun galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet sayılarının toplamının

4

olması gerektiğini bilmemiz gerekir.

Oyuncuların puanlarına göre alabilecekleri olası galibiyet (G), beraberlik (B) ve mağlubiyet (M) kombinasyonlarını çıkaralım.

Arda (

10

puan) için tek olasılık:

3G, 1B, 0M

.
Burak (

7

puan) için tek olasılık:

2G, 1B, 1M

.
Cem (

5

puan) için tek olasılık:

1G, 2B, 1M

.
Elif (

1

puan) için tek olasılık:

0G, 1B, 3M

.
Deniz (

4

puan) için iki olası durum vardır:
- Durum I:

1G, 1B, 2M

- Durum II:

0G, 4B, 0M

Her bir oyuncunun elde ettiği puan, galibiyet sayısı çarpı

3

ve beraberlik sayısı çarpı

1

formülü ile hesaplanır.

Deniz'in olası durumlarından hangisinin geçerli olduğunu belirlemek için beraberlik sayılarını ve turnuva dengesini analiz edelim.

Eğer Deniz Durum II'deki gibi

4B

almış olsaydı, turnuvadaki toplam beraberlik katılımı

1 \text{ (Arda)} + 1 \text{ (Burak)} + 2 \text{ (Cem)} + 4 \text{ (Deniz)} + 1 \text{ (Elif)} = 9

olurdu. Bir beraberlik maçı iki oyuncu tarafından paylaşıldığından, tüm oyuncular��n beraberlik sayılarının toplamı çift bir sayı olmak zorundadır.

9

tek sayı olduğundan Deniz'in

4

beraberlik alması imkansızdır. Ayrıca, Deniz

4

beraberlik alsaydı turnuvadaki toplam galibiyet sayısı (

6

), toplam mağlubiyet sayısına (

5

) eşit olamazdı. Bu nedenle Deniz kesinlikle Durum I'deki gibi

1G, 1B, 2M

istatistiğine sahiptir.

Turnuvadaki toplam galibiyet sayısı toplam mağlubiyet sayısına eşit olmalı ve toplam beraberlik puanı alan oyuncu sayısı çift olmalıdır.

Tüm oyuncuların beraberlik sayılarını kontrol ederek kesin sonuca ulaşalım.

Arda (

1B

), Burak (

1B

), Cem (

2B

), Deniz (

1B

) ve Elif (

1B

) olmak üzere her oyuncunun en az bir beraberliği mevcuttur.

Bütün oyuncuların beraberlik sütunundaki değerlerin sıfırdan büyük olması, turnuvadaki herkesin en az bir kez berabere kaldığını gösterir.

Key Concept

Turnuva Problemlerinde Matris Dengesi ve Parite Analizi

Hints

Oyuncuların puanlarından yola çıkarak kaçar galibiyet ve beraberlik aldıklarını ayrı ayrı hesaplamaya çalışın.

Deniz'in

4

puanı için iki olasılık vardır (

1G, 1B, 2M

veya

0G, 4B, 0M

). Bu olasılıklardan hangisinin turnuvadaki toplam galibiyet ve beraberlik dengesine uyduğunu kontrol edin.

Turnuvadaki tüm beraberliklerin toplamı çift bir sayı olmalıdır çünkü her beraberlik maçı iki kişiye birer beraberlik yazar. Bu kuralı kullanarak Deniz'in kesinlikle

1

beraberlik aldığını kanıtlayabilirsiniz.

Practice More

Benzer sorularda takımların ya da oyuncuların galibiyet-mağlubiyet dengesini kurmak için 'toplam atılan gol-yenilen gol' ya da 'toplam galibiyet-toplam mağlubiyet' eşitliklerini her zaman göz önünde bulundurun.

Alternative Method

Toplam galibiyet sayısı ile toplam mağlubiyet sayısının eşit olması kuralını kullanabiliriz. Deniz'in

4

beraberlik (

0G, 0M

) aldığı durumda turnuvadaki diğer oyuncuların galibiyetleri toplamı

6

iken mağlubiyetleri toplamı

5

çıkmaktadır. Galibiyet ve mağlubiyet sayıları eşit olmak zorunda olduğundan Deniz'in

4

beraberlik alması imkansızdır ve mutlaka

1

beraberliği bulunmalıdır.

Estimated Time:2m 30s

Question 11Question →

Bir tenis turnuvasına $48$ sporcu katılmıştır. Turnuva tek elemeli (yenilen sporcunun elendiği) sistemle oynanmaktadır. Her turda eşleşen oyuncular birer maç yapmaktadır. Eğer turdaki sporcu sayısı tek ise, bir sporcu kura ile maç yapmadan doğrudan bir üst tura geçmektedir.

Buna göre, turnuva boyunca şampiyonu belirlemek için toplam kaç maç yapılmıştır?

24

45

47

46

48

Show answer & explanation

Answer: $47$

Answer

Toplam

47

maç yapılmıştır.

Doğru cevap

47

maç oynandığını belirten seçenektir. Tek elemeli bir turnuvada her maçta tam olarak bir oyuncu elenmektedir.

48

oyuncunun katıldığı bu turnuvada sadece

1

şampiyon belirleneceğine göre, toplam

48 - 1 = 47

oyuncunun elenmesi gerekir. Her maçta

1

kişi elendiği için elenmesi gereken kişi sayısı yapılan toplam maç sayısına eşittir. Dolayısıyla, turnuva boyunca kura çekimleri nasıl olursa olsun toplam

47

maç yapılır.

Step-by-Step Solution

Turnuva sistemini ve şampiyonluk koşulunu analiz etme.

Turnuvaya katılan oyuncu sayısı

48

'dir. Şampiyonun belirlenmesi için geriye

1

oyuncu kalmalı, yani

47

oyuncu elenmelidir.

Tek elemeli turnuvalarda her maçta yenilen oyuncu turnuvadan elenir. Dolayısıyla elenen oyuncu sayısı, yapılan maç sayısına eşittir.

Elenmesi gereken oyuncu sayısından hareketle maç sayısını bulma.

48 - 1 = 47

oyuncunun elenmesi gerektiğinden toplam

47

maç yapılmalıdır.

Kura ile doğrudan üst tura çıkma durumu sadece turların eşleşme sırasını değiştirir; elenmesi gereken oyuncu sayısını ve dolayısıyla toplam maç sayısın�� etkilemez.

Key Concept

Tek elemeli turnuvalarda maç sayısı ile elenen oyuncu sayısı arasındaki ilişki.

Hints

Tek elemeli bir turnuvada her maç sonucunda kaç oyuncu turnuvadan elenmektedir?

Turnuva sonunda sadece bir şampiyon kalacağına göre, toplamda kaç oyuncunun elenmesi gerektiğini düşünün.

Elenen her oyuncu için tam olarak bir maç yapılması gerektiğinden, toplam maç sayısı elenen oyuncu sayısına eşit olacaktır.

Practice More

Benzer bir mantıkla,

128

oyuncunun katıldığı tek elemeli bir turnuvada toplam kaç maç yapılacağını hesaplayabilirsiniz.

Alternative Method

Maç sayılarını tur tur hesaplayarak da sonuca ulaşabiliriz: 1. Turda

48

oyuncuyla

24

maç yapılır. Geriye kalan

24

oyuncuyla 2. Turda

12

maç yapılır.

12

oyuncuyla 3. Turda

6

maç yapılır.

6

oyuncuyla 4. Turda

3

maç yapılır.

3

oyuncudan biri kura ile bay geçer, kalan ikisi 5. Turda

1

maç yapar. Son tura kalan

2

oyuncu (bay geçen ve 5. turu kazanan) finalde

1

maç yapar. Toplam maç sayısı:

24 + 12 + 6 + 3 + 1 + 1 = 47

olur.

Estimated Time:45s

Question 12Question →

Bir okulda düzenlenen ve üç sınıfın ( $5\text{-A}$ , $5\text{-B}$ ve $5\text{-C}$ ) katıldığı tek devreli bir futbol turnuvasında, her sınıf diğer sınıflarla birer kez karşılaşmıştır. Turnuvada galibiyete $3$ puan, beraberliğe $1$ puan verilmekte, mağlubiyete ise puan verilmemektedir. Turnuva sonunda tüm sınıfların topladığı puanların toplamı $8$ olduğuna göre, bu turnuvada berabere biten maç sayısı kaçtır?

0

1

2

3

4

Show answer & explanation

Answer: $1$

Answer

Berabere biten maç sayısı 1'dir.

Turnuvada toplam 3 maç oynanmıştır. Her bir maç ya bir takımın galibiyetiyle (toplam 3 puan dağıtılır) ya da beraberlikle (her iki takıma 1'er puandan toplam 2 puan dağıtılır) sonuçlanır. Tüm maçlar galibiyetle bitseydi toplam puan

3 \times 3 = 9

olurdu. Toplam puan 8 olduğuna göre,

9 - 8 = 1

maç beraberlikle sonuçlanmıştır.

Step-by-Step Solution

Turnuvadaki toplam maç sayısını hesaplayın.

3 sınıf arasında oynanan toplam maç sayısı:

\frac{3 \times 2}{2} = 3

maçtır.

Her sınıfın diğer sınıflarla birer kez karşılaşması gerektiği için kombinasyon yoluyla toplam maç sayısı bulunur.

Maç başına dağıtılan toplam puanları belirleyin.

Galibiyetle biten bir maçta toplam 3 puan, beraberlikle biten bir maçta ise her iki takıma 1'er puandan toplam 2 puan dağıtılır.

Puanlama sistemine göre her iki durumun toplam puana etkisini anlamak gerekir.

Beraberlikle sonuçlanan maç sayısını bulmak için fark yöntemini uygulayın.

Eğer 3 maçın tamamı galibiyetle bitseydi toplam puan

3 \times 3 = 9

olurdu. Gerçekte toplam puan 8 olduğuna göre, berabere biten maç sayısı

9 - 8 = 1

olarak bulunur.

Her beraberlik maçı toplam puanı maksimum durumdan (9 puandan) 1 puan eksilttiği için aradaki fark berabere biten maç sayısını verir.

Key Concept

Turnuva puanlama ve maç sayısı mantığı

Question 13Question →

Beş takımın ( $K$ , $L$ , $M$ , $N$ ve $P$ ) katıldığı tek devreli lig usulü bir futbol turnuvasında her takım diğer takımlarla birer maç yapmıştır. Turnuvada galibiyete $3$ puan, beraberliğe $1$ puan verilmekte, mağlubiyete ise puan verilmemektedir.

Turnuva sonunda takımların puan durumu aşağıdaki gibidir:

Takım	Puan
$K$	$10$
$L$	$8$
$M$	$4$
$N$	$1$
$P$	$X$

Bu takımlardan $P$ , turnuvadakı tek beraberliğini $L$ takımına karşı almıştır.

Buna göre, $P$ takımının turnuva sonundaki puanı ( $X$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

P takımının turnuva sonundaki puanı 4'tür.

Yapılan adım adım analizde, K ve L takımlarının hiç yenilmediği ve kendi aralarındaki maçın berabere bittiği tespit edilir. L'nin diğer beraberliği P ile olduğu için L-P maçı berabere bitmiştir. M takımı K ve L'ye yenildiği için kalan maçlarından 4 puanı ancak N ile berabere kalıp P'yi yenerek alabilir. N takımı 1 puana sahip olduğundan M ile berabere kalmış ve P'ye yenilmiştir. Bu durumda P takımı K ve M'ye yenilmiş, L ile berabere kalmış (1 puan) ve N'yi yenmiştir (3 puan). Sonuç olarak P takımının puanı 4 olur.

Step-by-Step Solution

K ve L takımlarının maç sonuçlarını analiz etmek.

K takımı 10 puan almak için 4 maçta 3 galibiyet ve 1 beraberlik elde etmiştir. L takımı ise 8 puan almak için 4 maçta 2 galibiyet ve 2 beraberlik elde etmiştir. Her iki takım da hiç mağlubiyet almamıştır. Bu durum, K ile L arasındaki maçın berabere bittiğini gösterir.

Hiç yenilmeyen iki takımın kendi aralarındaki maç ancak beraberlikle sonuçlanabilir.

Turnuvadaki diğer beraberlikleri belirlemek.

L takımının 2 beraberliği vardır; bunlardan biri K ile, diğeri ise P takımıyladır (çünkü P'nin tek beraberliği L iledir). Bu durumda K, L ve P takımlarının beraberlik sayıları sırasıyla 1, 2 ve 1'dir. K takımının başka beraberliği olmadığı için K; M, N ve P takımlarını yenmiştir. L takımının da başka beraberliği olmadığı için L; M ve N takımlarını yenmiştir.

Öncülde verilen beraberlik kısıtlamalarını kullanarak takımların birbirleriyle olan maç sonuçlarını netleştirmek gerekir.

M takımının maçlarını ve N ile olan beraberliğini analiz etmek.

M takımının puanı 4'tür ve K ile L takımlarına yenilmiştir. Kalan 2 maçından (N ve P ile olan maçlar) 4 puan alabilmesi için 1 galibiyet ve 1 beraberlik almalıdır. K, L ve P'nin beraberlik limitleri dolduğundan, M'nin beraberliği ancak N takımıyla olabilir. Dolayısıyla M ile N berabere kalmış, M ise P takımını yenmiştir.

M'nin puanını 4 yapacak tek olası kombinasyonun 1 galibiyet ve 1 beraberlik olması ve beraberlik eşleşmesinin sadece N ile yapılabilmesidir.

N ve P takımlarının maç sonuçlarını belirlemek ve P'nin puanını hesaplamak.

N takımının puanı 1'dir ve bu puanı M ile yaptığı beraberlikten almıştır. N takımı K, L ve M ile olan maçlarını tamamladığına göre P ile yaptığı maçı kaybetmiştir (yani P, N'yi yenmiştir). Bu durumda P takımı; K ve M'ye yenilmiş, L ile berabere kalmış (1 puan) ve N'yi yenmiştir (3 puan). Toplam puanı 1 + 3 = 4 olur.

N'nin puan durumundan P ile yaptığı maçın sonucunu bulup, ardından P'nin tüm maç sonuçlarını toplayarak sonuca ulaşmak.

Key Concept

Turnuva tablolarında galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik sayılarının toplam puan denklemleri ve karşılıklı eşleşme kısıtlamaları üzerinden çözülmesi.

Question 14Question →

Alper, Berk, Caner ve Doruk'un katıldığı bir kelime oyunu turnuvasında her oyuncu diğer oyuncularla birer kez karşılaşmıştır. Turnuvadaki her karşılaşma sonucunda galip gelen oyuncu $3$ puan kazanmakta, mağlup olan oyuncu $0$ puan almaktadır. Beraberlik durumunda ise her iki oyuncuya da $1$ 'er puan verilmektedir. Turnuva sonunda oyuncuların topladıkları puanlar sırasıyla $7$ , $4$ , $3$ ve $2$ 'dir.

Buna göre, turnuvada toplam kaç karşılaşma beraberlikle sonuçlanmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Turnuvada toplam 2 karşılaşma beraberlikle sonuçlanmıştır.

Turnuvadaki toplam 6 karşılaşmada galibiyetle sonuçlananlar 3 puan, beraberlikle sonuçlananlar ise 2 puan kazandırmıştır. Toplam puan olan 16'yı elde etmek için galibiyetle biten maç sayısı 4, beraberlikle biten maç sayısı ise 2 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

Toplam maç sayısını hesaplama

Turnuvada toplam

6

karşılaşma yapılmıştır.

Dört oyuncunun katıldığı tek devreli turnuvada her oyuncu diğeriyle birer kez karşılaştığından, toplam karşılaşma sayısı kombinasyon formülüyle

\frac{4 \times 3}{2} = 6

olarak bulunur.

Turnuvada alınan toplam puanı hesaplama

Oyuncuların aldıkları puanların toplamı

16

'dır.

Oyuncuların aldıkları puanlar sırasıyla

7

4

3

2

olarak verildiğinden, toplam puan

7 + 4 + 3 + 2 = 16

olur.

Galibiyet ve beraberlik sayıları için denklem kurma ve çözme

Beraberlikle biten karşılaşma sayısı

2

olarak bulunur.

Galibiyetle biten maç sayısı

W

, beraberlikle biten maç sayısı

D

olsun. Toplam maç sayısı

W + D = 6

olur. Galibiyetle biten her maçta galip gelen

3

puan (mağlup olan

0

puan) aldığından toplam

3

puan; beraberlikle biten her maçta ise her iki oyuncu

1

'er puan aldığından toplam

2

puan dağıtılır. Buradan toplam puan denklemi

3W + 2D = 16

şeklinde kurulur. İki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde

W = 4

D = 2

elde edilir.

Key Concept

Oyun ve turnuva problemlerinde puan dengesi, el sıkışma prensibi (toplam maç sayısı) ve iki bilinmeyenli denklem sistemleri.

Alternative Method

Tüm maçların galibiyetle bittiği varsayılsaydı toplam puan

6 \times 3 = 18

olurdu. Beraberlikle biten her bir karşılaşma toplam puanı

1

puan azaltmaktadır (

3

puan yerine

2

puan dağıtıldığı için). Gerçekleşen toplam puan

16

olduğuna göre, maksimum puandan olan

18 - 16 = 2

puanlık azalma, berabere biten karşılaşma sayısının

2

olduğunu doğrudan gösterir.

Estimated Time:1m 30s

Question 15Question →

Kerem, Leyla ve Murat'ın katıldığı bir oyunda oyuncuların başlangıçta sırasıyla 12, 15 ve 18 çipi vardır. Oyunun kuralları şu şekildedir:

* Her turda yalnızca bir oyuncu kaybetmektedir.
* Kaybeden oyuncu, diğer iki oyuncunun her birine kendi çiplerinden 2'şer çip vermektedir.

Toplam 8 tur oynanan bu oyunun sonunda Kerem'in 22 çipi olduğu ve oyun bitiminde en az çipe sahip olan oyuncunun 10 çipi olduğu bilinmektedir.

Buna göre, oyun sonunda Leyla'nın çip sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Oyun sonunda Leyla'nın çip sayısı 13'tür.

Doğru cevap 13 değerini gösteren seçenektir. Kerem'in oyun sonundaki 22 çipinden yola çıkılarak kendisinin 1 tur kaybettiği kesin olarak hesaplanır. Toplam 8 turun geriye kalan 7 turunda Leyla ve Murat'ın kaybetme sayıları toplamı 7 olmalıdır. Oyun sonunda hiçbir oyuncunun çip sayısının negatif olmaması ve en az çipe sahip olan kişinin 10 çipinin bulunması şartını sağlayan tek durum Leyla'nın 3 tur, Murat'ın ise 4 tur kaybettiği senaryodur. Bu senaryoda Leyla'nın son çip sayısı

31 - 6 \times 3 = 13

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Oyun kurallarına göre bir turda gerçekleşen çip değişim miktarını belirlemek.

Her turda kaybeden oyuncu diğer iki oyuncuya 2'şer çip verdiğinden, kendisi toplam 4 çip kaybeder (

-4

). Diğer iki oyuncunun her biri ise 2'şer çip kazanır (

+2

). Toplam çip sayısı (

12 + 15 + 18 = 45

) oyun süresince değişmez.

Oyuncuların turlar sonundaki çip değişimlerini matematiksel olarak ifade edebilmek için.

Kerem'in kaybettiği tur sayıs��nı (

k

) hesaplamak.

Kerem başlangıçta 12 çipe sahiptir. Toplam 8 turda kendisinin kaybettiği tur sayısı

k

ise, diğer oyuncuların kaybettiği (ve Kerem'in kazandığı) tur sayısı

8 - k

olur. Kerem'in son durumdaki çip sayısı:

K_{son} = 12 - 4k + 2(8 - k) = 28 - 6k

şeklinde yazılır. Soruda bu değer 22 olarak verildiğinden;

28 - 6k = 22 \implies 6k = 6 \implies k = 1

bulunur. Yani Kerem oyun boyunca sadece 1 tur kaybetmiştir.

Kerem'in çip sayısındaki net değişimi kullanarak kaybetti��i tur sayısını tekil olarak bulmak için.

Leyla ve Murat'ın kaybettiği tur sayıları (

l

m

) için olası durumları incelemek.

Kerem 1 tur kaybettiği için kalan

8 - 1 = 7

turu Leyla ve Murat kaybetmiştir. Yani,

l + m = 7

'dir. Leyla'nın son çip sayısı:

L_{son} = 15 - 4l + 2(1 + m) = 15 - 4l + 2(1 + 7 - l) = 31 - 6l

olur. Murat'ın son çip sayısı ise:

M_{son} = 18 - 4m + 2(1 + l) = 18 - 4m + 2(1 + 7 - m) = 34 - 6m

olur. Çip sayılarının negatif olamayacağı göz önüne al��narak

l + m = 7

için olası tam sayı ikilileri yazıldığında:

*

l = 2, m = 5 \implies L_{son} = 19, M_{son} = 4

(En az çip: 4)
*

l = 3, m = 4 \implies L_{son} = 13, M_{son} = 10

(En az çip: 10)
*

l = 4, m = 3 \implies L_{son} = 7, M_{son} = 16

(En az çip: 7)
*

l = 5, m = 2 \implies L_{son} = 1, M_{son} = 22

(En az çip: 1)

Kalan turların paylaşımına göre oyuncuların alabileceği çip sayılarını ve sınır durumlarını görmek için.

En az çipe sahip oyuncunun 10 çipi olması kısıtını uygulamak.

İncelediğimiz durumlardan sadece

l = 3, m = 4

durumunda en az çipe sahip olan oyuncunun (Murat) çip sayısı 10 olmaktadır. Bu durumda Kerem'in 22, Leyla'nın 13 ve Murat'ın 10 çipi bulunur. Böylece Leyla'nın oyun sonundaki çip sayısı 13 olarak kesinleşir.

Soruda verilen son kısıtı kullanarak doğru senaryoyu ayırt etmek için.

Key Concept

Denklem kurma, kısıtlayıcı öncül analizi ve sınır durumların kontrolü

Question 16Question →

Bir masa tenisi turnuvası, yenilen oyuncunun elendiği (tek elemeli) turnuva sistemine göre düzenlenmiştir.

Turnuva boyunca toplam $15$ maç yapıldığına göre, bu turnuvaya kaç oyuncu katılmıştır?

8

15

16

30

32

Show answer & explanation

Answer: $16$

Answer

Turnuvaya katılan oyuncu sayısı 16'dır.

Tek elemeli bir turnuvada, şampiyon belirlenene kadar her maçta tam olarak 1 oyuncu elenir. Toplam

N

oyuncudan

N - 1

tanesi eleneceği için toplam maç sayısı

N - 1

olur. Soruda maç sayısı 15 olarak verildiğinden

N - 1 = 15

eşitliğinden turnuvaya katılan oyuncu sayısı 16 olarak bulunur. Bu nedenle 16 ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

Tek elemeli turnuva sisteminin mantığını incelemek.

Tek elemeli bir turnuvada, her bir maçta yenilen oyuncu elenir ve turnuvadan sadece 1 kişi şampiyon olarak ayrılır.

Maç sayısı ile elenen oyuncu sayısı arasındaki ilişkiyi kurmak için.

Elenen oyuncu sayısı ile toplam oyuncu sayısı arasındaki bağıntıyı kurmak.

Turnuvaya katılan toplam oyuncu sayısı

N

olsun. Şampiyon hariç elenen oyuncu sayısı

N - 1

olur. Her maçta tam olarak 1 oyuncu elendiğine göre, yapılan toplam maç sayısı elenen oyuncu sayısına eşittir:

\text{Toplam Maç Sayısı} = N - 1

Toplam oyuncu sayısını (

N

) bulmamızı sağlayacak denklemi oluşturmak için.

Verilen maç sayısını denklemde yerine yazarak çözmek.

N - 1 = 15 \Rightarrow N = 16

Turnuvaya katılan oyuncu sayısını bulmak için.

Key Concept

Tek elemeli turnuvalarda toplam maç sayısı, turnuvaya katılan toplam oyuncu sayısının 1 eksiğidir (Maç Sayısı = Oyuncu Sayısı - 1).

Question 17Question →

Bir dart (ok atma) oyununda hedef tahtasında kırmızı, mavi ve sarı olmak üzere üç bölge bulunmaktadır. Bu oyunun kuralları ve puanlaması şu şekildedir:

* Her oyuncunun başlangıçta $50$ puanı vardır.
* Kırmızı bölgeye isabet eden her atış için oyuncu $10$ puan kazanır.
* Mavi bölgeye isabet eden her atış için oyuncu $5$ puan kazanır.
* Sarı bölgeye isabet eden veya hedef tahtasına isabet etmeyen (karavana) her atış için oyuncudan $3$ puan düşülür.

Bu oyunda toplam $10$ atış yapan Hakan'ın oyun sonundaki puanı $96$ olmuştur. Hakan'ın kırmızı bölgeye yaptığı isabetli atış sayısı, mavi bölgeye yaptığı isabetli atış sayısından fazladır.

Buna göre, Hakan'ın sarı bölgeye isabet eden veya hedef dışına giden toplam atış sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Hakan'ın sar�� bölgeye veya hedef dışına yaptığı toplam atış sayısı 3'tür.

Doğru seçenekte belirtilen 3 değeri, puan değişimi ve toplam atış sayısı kısıtlarını sağlayan tek tam sayı çözümünden elde edilir. Denklem sistemi

13x + 8y = 76

x > y

şartlarını sağlayan tek değer çifti

x = 4, y = 3

olup, toplam atış sayısı olan 10 değerinden çıkarıldığında sarı/hedef dışı atış sayısı 3 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Hakan'ın kırmızı (

x

), mavi (

y

) ve sarı/karavana (

z

) atış sayılarını değişken olarak tanımlayıp toplam atış denklemini yazın.

x + y + z = 10 \implies z = 10 - x - y

Toplam atış sayısı

10

olarak verilmiştir.

Hakan'ın başlangıç ve son puanları arasındaki farkı hesaplayarak puan denklemini kurun.

96 - 50 = 46

puanlık bir artış olmuştur. Denklem:

10x + 5y - 3z = 46

olur.

Kırmızı atışlar

+10

, mavi atışlar

+5

, sarı/karavana atışlar ise

-3

puan getirmektedir.

İlk denklemdeki

z

ifadesini ikinci denklemde yerine yazarak iki bilinmeyenli bir denklem elde edin.

13x + 8y = 76

denklemi elde edilir.

10x + 5y - 3(10 - x - y) = 46 \implies 13x + 8y - 30 = 46 \implies 13x + 8y = 76

x

y

değerlerinin pozitif tam sayı ve

x + y \le 10

olması gerektiğini dikkate alarak uygun değerleri bulun.

x = 4

y = 3

tek geçerli tam sayı çözümüdür. Bu durumda

z = 10 - 4 - 3 = 3

olur.

Kırmızı atış sayısının mavi atış sayısından fazla olması (

x > y

) koşulunu (

4 > 3

) yalnızca bu değerler sağlar.

Key Concept

Oyun kurallarının ve kısıtların matematiksel denklemlere dönüştürülerek bilinmeyenlerin bulunması.

Question 18Question →

Bir kutu oyununda oyuncular sırası geldiğinde bir adet standart zar atmaktadır. Oyunun kurallarına göre, atılan zarın üzerindeki sayı çift ise oyuncu hanesine zarın değerinin 2 katı kadar puan eklemekte, tek ise hanesinden 3 puan düşmektedir.

Oyuna 10 puanla başlayan bir oyuncu sırasıyla 5, 4, 3 ve 6 zarlarını attığına göre, bu oyuncunun oyun sonundaki toplam puanı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Oyuncunun oyun sonundaki toplam puanı 24'tür.

Oyuncunun başlangıç puanı 10'dur. Sırasıyla atılan zarlar ve puan değişimleri şu şekildedir: 5 atıldığında (tek) 3 puan düşülür ve puan 7 olur. 4 atıldığında (çift)

4 \times 2 = 8

puan eklenir ve puan 15 olur. 3 atıldığında (tek) 3 puan düşülür ve puan 12 olur. Son olarak 6 atıldığında (çift)

6 \times 2 = 12

puan eklenir ve oyun sonundaki toplam puan 24 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Başlangıç puanını belirleme ve ilk atışı (5) değerlendirme.

Oyuncu 10 puanla başlar. 5 tek sayı olduğundan kural gereği 3 puan düşülür:

10 - 3 = 7

puan.

İlk adımda başlangıç durumuna birinci zarın kuralı uygulanmalıdır.

İkinci atışı (4) değerlendirme.

4 çift sayı olduğundan kural gereği zarın değerinin 2 katı (

4 \times 2 = 8

puan) eklenir:

7 + 8 = 15

puan.

Çift zarlar için kazanç puanı hesaplanıp mevcut puana eklenmelidir.

Üçüncü atışı (3) değerlendirme.

3 tek sayı olduğundan kural gereği 3 puan düşülür:

15 - 3 = 12

puan.

Tek zarlar için ceza puanı mevcut puandan düşülmelidir.

Dördüncü atışı (6) değerlendirme.

6 çift sayı olduğundan kural gereği zarın değerinin 2 katı (

6 \times 2 = 12

puan) eklenir:

12 + 12 = 24

puan.

Son atışın da çift kuralına göre değerlendirilip eklenmesiyle nihai puana ulaşılır.

Key Concept

Kurallı oyunlarda adım adım durum takibi ve basit aritmetik işlemler.

Question 19Question →

Bir futbol turnuvasına $X$ , $Y$ , $Z$ ve $W$ olmak üzere dört takım katılmıştır. Her takım diğer takımlarla tam birer kez karşılaşmıştır. Turnuvadaki puanlama sistemi şu şekildedir:
- Galibiyet alan takım $3$ puan kazanır.
- Mağlubiyet alan takım $0$ puan kazanır.
- Beraberlik durumunda her iki takım da $1$ 'er puan kazanır.

Turnuva sonunda takımların topladığı puanlar şu şekildedir:
- $X$ takımı: $7$ puan
- $Y$ takımı: $5$ puan
- $Z$ takımı: $3$ puan

Buna göre, turnuvayı son sırada tamamlayan $W$ takımının turnuva sonunda topladığı puan kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

1 puan

Turnuva kuralları analiz edildiğinde; X takımının 7 puanı ancak 2 galibiyet ve 1 beraberlikle, Y takımının 5 puanı ise 1 galibiyet ve 2 beraberlikle mümkündür. Z takımının 3 puan alması durumunda 3 beraberlik alması, X ve Y takımlarının puan tablolarıyla çelişki yarattığı için elenir. Bu yüzden Z takımı 1 galibiyet, 2 mağlubiyet almış ve hiç berabere kalmamıştır. Buradan Y takımının beraberliklerinden birini X, diğerini ise W ile yaptığı anlaşılır. Dolayısıyla W takımı 1 beraberlik ve 2 mağlubiyet alarak turnuvayı 1 puanla tamamlamıştır.

Step-by-Step Solution

Turnuvadaki toplam maç sayısını ve puanlama dinamiğini hesaplayın.

4 takımın katıldığı turnuvada toplam

\frac{4 \times 3}{2} = 6

maç yapılır. Beraberlik olmayan her maçta toplam 3 puan, berabere biten her maçta ise toplam 2 puan dağıtılır.

Turnuvada dağıtılan toplam puanın üst sınırını ve beraberliklerin etkisini belirlemek için.

Takımların puanlarına göre alabilecekleri galibiyet-beraberlik-mağlubiyet (G-B-M) kombinasyonlarını belirleyin.

X takımı (7 puan): 2 galibiyet, 1 beraberlik (2G, 1B, 0M). Y takımı (5 puan): 1 galibiyet, 2 beraberlik (1G, 2B, 0M). Z takımı (3 puan): Ya 3 beraberlik (3B) ya da 1 galibiyet, 2 mağlubiyet (1G, 2M).

Her takımın olası maç sonuçlarını sınırlandırarak çelişkileri yakalamak için.

Z takımının 3 beraberlik alıp alamayacağını kontrol edin.

Z takımı 3 beraberlik alırsa; X, Y ve W ile berabere kalmış olur. Bu durumda X'in tek beraberliği Z ile olur. Y ise 2 beraberliğini Z ve W ile yapmış olur. Dolayısıyla X ve Y kendi aralarında berabere kalamazlar. X yenilgisiz (2G, 1B) ve Y de yenilgisiz (1G, 2B) olduğuna göre, aralarındaki maçta biri yenilmek zorunda kalacağından çelişki oluşur. Bu yüzden Z takımı 3 beraberlik alamaz, 1 galibiyet ve 2 mağlubiyet almıştır (hiç beraberliği yoktur).

Z takımının beraberlik durumunu netleştirerek diğer takımların beraberlik eşleşmelerini bulmak için.

Eşleşmeleri tamamlayıp W takımının puanını hesaplayın.

Z'nin beraberliği olmadığına göre; X'in 1 beraberliği ve Y'nin 2 beraberliği vardır. Bu durumda Y, beraberliklerinden birini X ile, diğerini ise W ile yapmış olmalıdır. Buradan W'nin sadece 1 beraberliği olduğu anlaşılır. Galibiyetler incelendiğinde; X takımı Z ve W'yi yenmiş, Y takımı Z'yi yenmiş, Z takımı ise W'yi yenmiştir. Sonuç olarak W takımı X ve Z'ye yenilmiş, Y ile berabere kalmıştır. Toplam puanı

0 \times 3 + 1 \times 1 + 2 \times 0 = 1

puandır.

W takımının tüm maç sonuçlarını kesinleştirip toplam puanını bulmak için.

Key Concept

Turnuva ve lig usulü puan tablosu analizi

Hints

Her takımın toplamda 3 maç yaptığını ve galibiyetin 3, beraberliğin ise her iki takıma 1'er puan kazandırdığını unutmayın.

X takımının 7 puana ulaşmasının tek yolu 2 galibiyet ve 1 beraberliktir. Y takımının 5 puan almasının tek yolu ise 1 galibiyet ve 2 beraberliktir.

Estimated Time:1m 30s

Question 20Question →

Dört takım��n ( $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ ) katıldığı tek devreli lig usulü (her takımın diğerleriyle birer kez karşılaştığı) bir futbol turnuvasında galibiyete $3$ , beraberliğe $1$ ve mağlubiyete $0$ puan verilmektedir.

Turnuva sonunda takımlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* $A$ takımı turnuvayı namağlup (hiç maç kaybetmeden) tamamlamıştır.
* $B$ takımı turnuvadaki hiçbir maçında berabere kalmamıştır.
* $C$ takımı turnuvada en az bir galibiyet almıştır.
* $D$ takımının turnuva sonundaki toplam puanı, $C$ takımının toplam puanının $2$ katıdır.

Buna göre, $B$ takımının turnuva sonunda topladığı puan kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0

Answer

B takımının turnuva sonunda topladığı puan 0'dır.

D'nin puanı C'nin 2 katı olduğu ve 8 puan alınamadığı için C'nin puanı 3, D'nin puanı 6 olmak zorundadır. Bu durumda C ve D takımlarının hiç beraberliği yoktur. B takımının da beraberliği olmadığı için turnuvadaki toplam beraberlik sayısı çift olmalıdır kuralından A'nın da beraberliği olamaz. Namağlup A takımı 3 galibiyet almıştır. Toplam galibiyet sayısı 6 olması gerektiğinden, B takımına hiç galibiyet kalmaz ve tüm maçlarını kaybeden B takımı 0 puanla turnuvayı tamamlar.

Step-by-Step Solution

Bir takımın 3 maçta alabileceği olası puanları belirlemek

Olası puanlar: 9 (3G), 7 (2G 1B), 6 (2G 1M), 5 (1G 2B), 4 (1G 1B 1M), 3 (1G 2M veya 3B), 2 (2B 1M), 1 (1B 2M) ve 0 (3M).

Takımların alabileceği puan sınırlarını ve kombinasyonlarını görmek için.

C ve D takımlarının puanlarını bulmak

C'nin puanı 3, D'nin puanı 6'dır.

D'nin puanı C'nin 2 katı olduğuna göre C en az 3 puan almalıdır (en az 1 galibiyeti var). C = 4 olsaydı D = 8 olurdu ancak 8 puan almak imkansızdır. Dolayısıyla tek seçenek C = 3 ve D = 6'dır.

Turnuvadaki beraberlik durumlarını analiz etmek

Turnuvada hiç beraberlik yaşanmamıştır.

D = 6 puan için 2 galibiyet 1 mağlubiyet almalıdır (0 beraberlik). C = 3 puan ve en az 1 galibiyet için 1 galibiyet 2 mağlubiyet almalıdır (0 beraberlik). B'nin de beraberliği yoktur. Toplam beraberlik sayısı çift olmak zorunda olduğundan, A'nın da beraberliği olamaz. Yani tüm maçlar galibiyet/mağlubiyet ile bitmiştir.

B takımının galibiyet sayısını ve puanını hesaplamak

B takımı 0 galibiyet almıştır, dolayısıyla puanı 0'dır.

Beraberlik olmadığından toplam galibiyet sayısı toplam maç sayısına (6) eşittir. A namağlup ve beraberliksiz olduğu için 3 galibiyet almıştır. Toplam galibiyet: 3 (A) + 2 (D) + 1 (C) + B = 6 ise B = 0 galibiyet alır. B'nin puanı 0'dır.

Key Concept

Turnuva lig usulü puanlama ve mantıksal çıkarım

Page 1 / 2Next

Oyun ve Turnuva Problemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes