Examkin

Question

Difficulty: HardTemel Kavramlar
Birbirinden farklı aa, bb ve cc asal sayıları için
a⋅b+b⋅c=75a \cdot b + b \cdot c = 75
a⋅c−b=43a \cdot c - b = 43
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    24
  3. 28Answer
  4. D
    30
  5. E
    25

Answer

Toplamın doğru değeri 28 olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen değer, ilk denklem ortak çarpan parantezine alınarak b(a+c)=75b(a+c) = 75 elde edildikten sonra bb asal sayısının 33 olması durumunda a+c=25a+c=25 toplamından teklik-çiftlik kuralı gereği çift olan tek asal sayı 22 kullanılarak a=2a=2 ve c=23c=23 olarak bulunur. Bu değerlerin ikinci denklemde de 2⋅23−3=432 \cdot 23 - 3 = 43 eşitliğini sağladığı doğrulanır. Dolayısıyla toplam 2+3+23=282+3+23 = 28 olur.

Step-by-Step Solution

1
İlk denklemi ortak çarpan parantezine alma
b(a+c)=75b(a+c) = 75 elde edilir.
Değişkenlerin çarpım durumundaki ortak çarpanlarını belirleyerek çarpanlara ayırma yöntemiyle olası değerleri sınırlandırmak.
2
Asal sayı çarpanlarını analiz etme
bb asal sayısı 7575 sayısının bir asal böleni olmalıdır. 75=3⋅5275 = 3 \cdot 5^2 olduğundan bb değeri 33 veya 55 olabilir.
Asal sayı tanımını kullanarak denklemi sa��layan bb değişkeni için olası durumları belirlemek.
3
Olası durumları deneme ve teklik-çiftlik kuralını uygulama
b=5b=5 için a+c=15a+c=15 olur. Toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri 22 olmalıdır. Bu durumda {a,c}={2,13}\{a, c\} = \{2, 13\} olur. Ancak ikinci denklemde yerine yazıldığında 2⋅13−5=21≠432 \cdot 13 - 5 = 21 \neq 43 olduğundan bu durum elenir.
Teklik-çiftlik kurallarını ve 22 dışındaki tüm asal sayıların tek sayı olması bilgisini kullanarak olası değerleri doğrulamak.
4
Diğer olası durumu kontrol etme ve çözüme ulaşma
b=3b=3 için a+c=25a+c=25 olur. Toplamın tek sayı olması nedeniyle sayılardan biri 22 olmalıdır. Buradan a=2a=2 ve c=23c=23 bulunur. İkinci denklemde denendiğinde 2⋅23−3=432 \cdot 23 - 3 = 43 eşitliği sağlanır.
Kalan olası durumu analiz ederek hem birinci hem de ikinci denklemi aynı anda sağlayan doğru asal sayıları tespit etmek.
5
Bulunan değerlerin toplamını hesaplama
a+b+c=2+3+23=28a+b+c = 2+3+23 = 28 elde edilir.
Soruda bizden istenen toplam ifadesinin değerini bulmak.

Key Concept

Asal sayılar, teklik-çiftlik kuralları ve denklem çözme mantığı.
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic