Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde △\triangle ve □\square işlemleri, her aa ve bb pozitif tam sayısı için
a△b=EBOB⁡(a,b)+1a \triangle b = \operatorname{EBOB}(a, b) + 1
a□b=EKOK⁡(a,b)−1a \square b = \operatorname{EKOK}(a, b) - 1
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x△12)□8=23(x \triangle 12) \square 8 = 23
eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç farklı xx doğal sayısı vardır?
  1. A
    14
  2. B
    15
  3. 16Answer
  4. D
    17
  5. E
    18

Answer

16
Doğru cevap 16'dır. Çünkü verilen bağıntılardan x△12x \triangle 12 ifadesinin değeri 3 olmalıdır. Buradan EBOB⁡(x,12)=2\operatorname{EBOB}(x, 12) = 2 eşitliğine ulaşılır. İki basamaklı pozitif tam sayılar içinde 2 ile bölünüp 3 ve 4 ile bölünmeyen tam olarak 16 sayı bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Dıştaki kare işlemini çözmek için tanımı uygularız.
Y=x△12Y = x \triangle 12 olsun. Bu durumda Y□8=EKOK⁡(Y,8)−1=23  ⟹  EKOK⁡(Y,8)=24Y \square 8 = \operatorname{EKOK}(Y, 8) - 1 = 23 \implies \operatorname{EKOK}(Y, 8) = 24 olur.
Bileşke işlemi dıştan içe doğru çözülerek içteki ifadenin alabileceği değerler sınırlandırılır.
2
En küçük ortak katı 24 olan Y değerlerini analiz ederiz.
24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 ve 8=238 = 2^3 olduğundan, YY sayısı 33'ün bir katı olmalıdır ve 22'nin kuvveti olarak en fazla 232^3 içerebilir. Bu durumda YY sayısı 3,6,123, 6, 12 veya 2424 olabilir.
Asal çarpan analizi ile EKOK koşulunu sağlayan olası sayıları belirleriz.
3
Y sayısının tanım gereği alabileceği değerleri sınırlarız.
Y=EBOB⁡(x,12)+1Y = \operatorname{EBOB}(x, 12) + 1 olduğundan ve EBOB değeri 1212'nin pozitif bir böleni (1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12) olmak zorunda olduğundan, YY ancak 2,3,4,5,7,132, 3, 4, 5, 7, 13 değerlerini alabilir. Bu küme ile bir önceki adımda bulduğumuz kümenin kesişimi sadece Y=3Y = 3 değeridir.
EBOB tanımından gelen matematiksel kısıtları uygulayarak olası çözümleri bire indirgeriz.
4
EBOB denklemini çözerek x sayısının taşıması gereken özellikleri belirleriz.
Y=3  ⟹  EBOB⁡(x,12)+1=3  ⟹  EBOB⁡(x,12)=2Y = 3 \implies \operatorname{EBOB}(x, 12) + 1 = 3 \implies \operatorname{EBOB}(x, 12) = 2 elde edilir. Bu durum, xx sayısının çift olduğunu (22'ye bölündüğünü) fakat 44 ve 33 ile bölünemediğini gösterir.
EBOB sonucunun tam olarak 2 çıkabilmesi için xx say��sının 1212 ile ortak çarpanlarının sadece 2 olması gerekir.
5
Belirlenen koşullara uyan iki basamaklı x doğal sayılarını sayarız.
xx sayısı 4k+24k+2 formunda olmalıdır. İki basamaklı sayılar için: 10≤4k+2≤99  ⟹  2≤k≤2410 \le 4k+2 \le 99 \implies 2 \le k \le 24 aralığında 24−2+1=2324 - 2 + 1 = 23 sayı vardır. Bu sayılardan 3 ile bölünenleri (k≡1(mod3)k \equiv 1 \pmod 3) çıkarmamız gerekir. Bu kk değerleri 4,7,10,13,16,19,224, 7, 10, 13, 16, 19, 22 olmak üzere 77 tanedir. Sonuç olarak 23−7=1623 - 7 = 16 farklı xx sayısı bulunur.
Kümelerdeki eleman sayısı formüllerini kullanarak aralıktaki koşula uyan sayıların adedini buluruz.

Key Concept

Özel tanımlı fonksiyonlar ile EBOB ve EKOK kavramlarının ortak özelliklerini kullanarak denklem çözme.

Hints

1
Bileşke işlemi çözer gibi önce en dıştaki □\square işlemini kullanarak EKOK⁡(x△12,8)\operatorname{EKOK}(x \triangle 12, 8) değerini bulun.
2
x△12x \triangle 12 ifadesinin EBOB⁡(x,12)+1\operatorname{EBOB}(x, 12) + 1 değerine eşit olduğunu ve EBOB değerinin 1212'nin pozitif bölenlerinden biri olmak zorunda olduğunu dikkate alın.
3
EBOB⁡(x,12)=2\operatorname{EBOB}(x, 12) = 2 olabilmesi için xx sayısının çift olması, ancak 33 ve 44 ile bölünmemesi gerekir. Bu koşulu sağlayan iki basamaklı sayıları belirleyin.

Practice More

Benzer şekilde EBOB ve EKOK operatörleri içeren, fakat bu kez üç değişkenli olan özel tanımlı işlem sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Koşulları belirledikten sonra (4k+24k+2 formunda olup 3 ile bölünmeme), iki basamaklı sayıları tek tek yazarak da kontrol edebilirsiniz: 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46, 50, 58, 62, 70, 74, 82, 86, 94, 98. Bu listede toplam 16 adet sayı olduğunu manuel olarak da doğrulayabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic