Examkin

Question

Difficulty: Very hardAralarında Asal Sayılar

xx, yy ve zz ikişer ikişer aralarında asal pozitif tam sayılardır.

x(y+z)=50x(y + z) = 50
y(x+z)=56y(x + z) = 56

olduğuna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımı kaçtır?

  1. A
    80
  2. 105Answer
  3. C
    120
  4. D
    150
  5. E
    180

Answer

İkişer ikişer aralarında asal olan sayıların çarpımı 105'tir.
Denklem sisteminden elde edilen z(y−x)=6z(y - x) = 6 eşitliği analiz edildiğinde, ikişer ikişer aralarında asal olma koşulunu sağlayan tek pozitif tam sayı üçlüsünün (5,7,3)(5, 7, 3) olduğu görülür. Bu sayıların çarpımı 5⋅7⋅3=1055 \cdot 7 \cdot 3 = 105 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemleri parantez dışına dağıtarak taraf tarafa çıkarın.
xy+xz=50xy + xz = 50 ve xy+yz=56xy + yz = 56 denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında (xy+yz)−(xy+xz)=56−50(xy + yz) - (xy + xz) = 56 - 50 elde edilir. Buradan yz−xz=6⇒z(y−x)=6yz - xz = 6 \Rightarrow z(y - x) = 6 ilişkisine ulaşılır.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi basitleştirmek ve çarpanlara ayırmak için.
2
zz değişkeninin alabileceği değerleri belirleyin.
x,y,zx, y, z pozitif tam sayılar olduğundan, zz sayısı 6'nın pozitif bir böleni olmalıdır. Dolayısıyla z∈{1,2,3,6}z \in \{1, 2, 3, 6\} olabilir.
Pozitif tam sayı çözümlerini sınırlamak için.
3
zz değerinin alabileceği tüm durumları tek tek analiz edin.
Her bir zz değeri için:
- z=1z = 1 için: y−x=6⇒y=x+6y - x = 6 \Rightarrow y = x + 6. Birinci denklemde yerine yazıldığında x(x+7)=50x(x + 7) = 50 elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı çözümü yoktur.
- z=2z = 2 için: 2(y−x)=6⇒y=x+32(y - x) = 6 \Rightarrow y = x + 3. İkişer ikişer aralarında asal olma koşulundan dolayı z=2z = 2 ise xx ve yy tek sayı olmalıdır. Denklemde yerine yazıldığında x(x+5)=50⇒x=5x(x + 5) = 50 \Rightarrow x = 5 bulunur. Buradan y=8y = 8 olur. Ancak y=8y = 8 çift sayı olduğundan z=2z = 2 ile aralarında asal olamaz.
- z=3z = 3 için: 3(y−x)=6⇒y=x+23(y - x) = 6 \Rightarrow y = x + 2. z=3z = 3 ise xx ve yy 3'ün katı olmamalıdır. Denklemde yerine yazıldığında x(x+5)=50⇒x=5x(x + 5) = 50 \Rightarrow x = 5 bulunur. Buradan y=7y = 7 elde edilir.
- z=6z = 6 için: 6(y−x)=6⇒y=x+16(y - x) = 6 \Rightarrow y = x + 1. Denklemde yerine yazıldığında x(x+7)=50x(x + 7) = 50 elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı çözümü yoktur.
Aralarında asallık koşulunu sağlayan geçerli tam sayı değerlerini bulmak için.
4
Elde edilen tek geçerli çözüm kümesini doğrulayın ve çarpımı hesaplay��n.
x=5x = 5, y=7y = 7 ve z=3z = 3 sayıları ikişer ikişer aralarında asaldır. Bu sayıların çarpımı x⋅y⋅z=5⋅7⋅3=105x \cdot y \cdot z = 5 \cdot 7 \cdot 3 = 105 olarak hesaplanır.
Soruda istenen nihai çarpım sonucuna ulaşmak için.

Key Concept

İkişer ikişer aralarında asal sayılar, ortak bölen analizi ve Diophantine benzeri denklem sistemlerinin çözümü.

Hints

1
Denklemleri taraf tarafa çıkararak ortak olan xyxy teriminden kurtulmayı deneyin.

Practice More

Benzer şekilde, ikişer ikişer aralarında asal olan üç sayının toplamları ve çarpımları arasındaki sınır değerleri bulmaya yönelik sorular çözerek bu kavramı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemleri birbirine oranlayarak da çözüme başlayabilirsiniz: x(y+z)y(x+z)=5056=2528\frac{x(y+z)}{y(x+z)} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28}. Buradan içler dışlar çarpımı yaparak 28xy+28xz=25xy+25yz⇒3xy+28xz=25yz28xy + 28xz = 25xy + 25yz \Rightarrow 3xy + 28xz = 25yz elde edilir. Bu ifadeyi zz parantezine alarak düzenleyebilir ve yine aralarında asallık kurallarını uygulayabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic