Examkin

Aralarında Asal Sayılar

9 questions

Question 1Question →

Aralarında asal iki pozitif tam sayının en büyük ortak böleni 11'dir. Yani, aa ve bb sayıları aralarında asal ise EBOB(a,b)=1\text{EBOB}(a, b) = 1 olur. Örneğin; ardışık iki pozitif tam sayı veya ardışık iki pozitif tek tam sayı her zaman aralarında asaldır.

Buna göre, aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

Show answer & explanation

Answer: 14 ve 15

Answer

14 ve 15 çifti aralarında asaldır.
14 ve 15 sayıları ardışık sayılardır ve ardışık pozitif tam sayıların 1'den başka ortak böleni yoktur. Dolayısıyla en büyük ortak bölenleri 1'dir ve aralarında asallardır.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asal sayıların tanımını ve EBOB ilişkisini hatırlayınız.
��ki sayının aralarında asal olması için en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olması gerekir.
Soruda verilen kurala göre aralarında asal olan sayı çiftinin EBOB'u 1 olmal��dır.
2
Seçeneklerdeki sayı çiftlerinin ortak bölenlerini inceleyiniz.
15 ve 25 sayıları 5'e, 9 ve 27 sayıları 9'a, 13 ve 39 sayıları 13'e, 14 ve 21 sayıları ise 7'ye bölünür. Ancak 14 ve 15 ardışık sayılar olup 1 dışında ortak bölenleri yoktur.
Ardışık iki pozitif tam sayının ortak böleni yalnızca 1'dir.
3
EBOB değeri 1 olan seçeneği belirleyiniz.
EBOB(14, 15) = 1 olduğundan 14 ve 15 sayı çifti aralarında asaldır.
Aralarında asallık tanımını tam olarak karşılayan tek çift ardışık olan 14 ve 15 çiftidir.

Key Concept

İki sayının ortak bölenlerinin sadece 1 olması durumunda bu sayılar aralarında asal olur. Ardışık tam sayılar her zaman aralarında asaldır.
Question 2Question →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.

a⋅b=72a \cdot b = 72
b⋅c=120b \cdot c = 120

olduğuna göre, aa ve cc sayıları aralarında asal ise a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Toplamın değeri 32'dir.
Verilen iki denklem oranlandığında bb çarpanları sadeleşir ve a/c=3/5a/c = 3/5 elde edilir. aa ve cc sayıları aralarında asal olduğu için pay ve payda daha fazla sadeleşemez; dolayısıyla a=3a = 3 ve c=5c = 5 olmalıdır. Bu değerler kullanıldığında b=24b = 24 bulunur. Buradan a+b+c=3+24+5=32a + b + c = 3 + 24 + 5 = 32 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İki denklemi taraf tarafa oranlayarak aa ve cc arasındaki ilişkiyi bulma.
a⋅bb⋅c=72120⇒ac=35\frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{72}{120} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{3}{5}
bb ortak çarpanını sadeleştirerek aa ve cc değişkenleri arasındaki oranı elde etmek.
2
aa ve cc sayılarının aralarında asal olması bilgisini kullanarak değerlerini belirleme.
a=3a = 3 ve c=5c = 5
Aralarında asal iki sayının oranı en sade biçimindedir, dolayısıyla pay ve payda doğrudan bu sayılara eşit olur.
3
bb sayısını bulma.
b=24b = 24
a⋅b=72a \cdot b = 72 denkleminde a=3a = 3 yazılarak bb değeri hesaplanır (3⋅b=72⇒b=243 \cdot b = 72 \Rightarrow b = 24).
4
Toplamı hesaplama.
a+b+c=3+24+5=32a + b + c = 3 + 24 + 5 = 32
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Aralarında asal iki sayının 1'den başka ortak böleni yoktur. Bu sayıların oranı en sade biçimdedir.

Alternative Method

Denklemlerden EBOB(a⋅b,b⋅c)=EBOB(72,120)\text{EBOB}(a \cdot b, b \cdot c) = \text{EBOB}(72, 120) yazılabilir. Ortak çarpan parantezine alındığında b⋅EBOB(a,c)=24b \cdot \text{EBOB}(a, c) = 24 elde edilir. aa ve cc aralarında asal olduğu için EBOB(a,c)=1\text{EBOB}(a, c) = 1'dir. Buradan doğrudan b=24b = 24 bulunur. Ardından a=72/24=3a = 72/24 = 3 ve c=120/24=5c = 120/24 = 5 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →
xx, yy ve zz pozitif tam sayılardır.
3x=4y3x = 4y
ve yy ile zz aralarında asal sayılardır.
x+y+z=35x + y + z = 35
olduğuna göre, z−yz - y farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: −5-5

Answer

-5
Belirlenen olası durumlar arasında, y = 12 ve z = 7 değerleri için sayılar aralarında asaldır ve bu durum z - y farkının en küçük değeri olan -5 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği ortak bir değişken cinsinden ifade etme
x=4kx = 4k ve y=3ky = 3k (burada kk pozitif bir tam sayıdır)
3x=4y3x = 4y eşitliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı oranlarını bulmak için katsayılar çaprazlanır.
2
Değişkenleri toplam denklemine yerleştirme
4k+3k+z=35  ⟹  7k+z=354k + 3k + z = 35 \implies 7k + z = 35
x+y+z=35x + y + z = 35 denklemini tek bir bilinmeyen kk ve zz cinsinden ifade etmek için.
3
Pozitif tam sayı koşuluna göre olası kk ve zz değerlerini belirleme
z=35−7kz = 35 - 7k olup, z≥1z \ge 1 koşulu altında k<5k < 5 olmalıdır. O halde k∈{1,2,3,4}k \in \{1, 2, 3, 4\} olabilir.
zz sayısının pozitif tam sayı olması sınırlandırmasını kullanarak kk'nın alabileceği de��er aralığını bulmak için.
4
Her kk değeri için yy ve zz değerlerini hesaplayıp aralarında asallık durumunu test etme
k=1  ⟹  y=3,z=28k=1 \implies y=3, z=28 (EBOB(3, 28) = 1, aralarında asal). Fark: 28−3=2528 - 3 = 25.
k=2  ⟹  y=6,z=21k=2 \implies y=6, z=21 (EBOB(6, 21) = 3, aralarında asal değil).
k=3  ⟹  y=9,z=14k=3 \implies y=9, z=14 (EBOB(9, 14) = 1, aralarında asal). Fark: 14−9=514 - 9 = 5.
k=4  ⟹  y=12,z=7k=4 \implies y=12, z=7 (EBOB(12, 7) = 1, aralarında asal). Fark: 7−12=−57 - 12 = -5.
yy ile zz'nin aralarında asal olma koşulunu sağlayan geçerli durumları ve bu durumlar için z−yz - y farkını bulmak için.
5
Elde edilen farklar arasından en küçük olanı seçme
En küçük değer −5-5 olarak bulunur.
Soruda istenen en küçük fark değerine ulaşmak için.

Key Concept

İki sayının aralarında asal olması, birden başka ortak pozitif bölenlerinin olmaması anlamına gelir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.

Hints

1
3x = 4y eşitliğinden yararlanarak x ve y sayılarını ortak bir k parametresi cinsinden yazın.
2
x + y + z = 35 denkleminde x ve y yerine k cinsinden değerlerini yazarak z'yi k cinsinden bulun ve z'nin pozitif tam sayı olma koşulunu kullanarak k'nın sınırlarını belirleyin.
3
Bulduğunuz k değerleri için y ve z sayı çiftlerini elde edin. Bu çiftlerin en büyük ortak böleninin (EBOB) 1 olup olmadığını kontrol ederek aralarında asal olanları belirleyin.

Practice More

Benzer şekilde, toplamları sabit olan ve aralarında asallık koşulu içeren çarpım en büyük/en küçük değer sorularını çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 4Question →
Ardışık iki pozitif tam sayı aa ve bb olmak üzere,
EKOK(a,b)−9⋅EBOB(a,b)=101\text{EKOK}(a, b) - 9 \cdot \text{EBOB}(a, b) = 101
eşitliği sağlanmaktad��r.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Ardışık iki pozitif tam sayının toplamı 21'dir.
Ardışık pozitif tam sayılar daima aralarında asaldır. Aralarında asal sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) 1'e, en küçük ortak katları (EKOK) ise sayıların çarpımına eşittir. Verilen denklemde bu özellikler yerine yazıldığında, sayıların çarpımı 110 olarak bulunur. Çarpımları 110 olan ardışık iki pozitif tam sayı 10 ve 11'dir. Bu sayıların toplamı ise 21'dir.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık iki pozitif tam sayının aralarında asal olduğunu ve bu nedenle EBOB ve EKOK özelliklerini belirlemek.
aa ve bb ardışık pozitif tam sayılar olduğundan aralarında asaldır. Dolayısıyla EBOB(a,b)=1\text{EBOB}(a, b) = 1 ve EKOK(a,b)=a⋅b\text{EKOK}(a, b) = a \cdot b olur.
Ardışık pozitif tam sayıların 1'den başka ortak böleni yoktur.
2
Bulunan EBOB ve EKOK değerlerini soruda verilen denklemde yerine yazarak sayıların çarpımını bulmak.
EKOK(a,b)−9⋅EBOB(a,b)=101  ⟹  a⋅b−9⋅1=101  ⟹  a⋅b=110\text{EKOK}(a, b) - 9 \cdot \text{EBOB}(a, b) = 101 \implies a \cdot b - 9 \cdot 1 = 101 \implies a \cdot b = 110 bulunur.
EBOB ve EKOK değerlerinin yerine yazılmasıyla denklemi tek bilinmeyenli hale getirmek.
3
Çarpımları 110 olan ardışık iki pozitif tam sayıyı bulmak ve toplamlarını hesaplamak.
Çarpımları 110 olan ardışık sayılar 10 ve 11'dir. Toplamları ise 10+11=2110 + 11 = 21 olarak hesaplanır.
Sayılar ardışık olduğu için ardışık çarpanlar belirlenir ve toplamları alınır.

Key Concept

Ardışık sayıların aralarında asal olması ve bu sayıların EBOB-EKOK ilişkileri
Question 5Question →
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılardır.
3a−ba+b=45\frac{3a - b}{a + b} = \frac{4}{5}
olduğuna göre, 2a+b2a + b ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

29
Denklemin içler dışlar çarpımı ile düzenlenmesi sonucu 11a=9b11a = 9b eşitliği bulunur. aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olduğundan, bu eşitliği sağlayan en küçük pozitif değerler olan a=9a = 9 ve b=11b = 11 seçilmelidir (9 ve 11 aralarında asaldır). Bu değerler 2a+b2a + b ifadesinde yerine konduğunda 2(9)+11=292(9) + 11 = 29 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rasyonel ifadede içler dışlar çarpımı yapılarak paydadan kurtulunur.
5⋅(3a−b)=4⋅(a+b)  ⟹  15a−5b=4a+4b5 \cdot (3a - b) = 4 \cdot (a + b) \implies 15a - 5b = 4a + 4b elde edilir.
Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek için bölme işleminden kurtulmak gerekir.
2
Benzer terimler eşitliğin aynı tarafında toplanır (aa'lar sola, bb'ler sağa).
15a−4a=4b+5b  ⟹  11a=9b15a - 4a = 4b + 5b \implies 11a = 9b elde edilir.
İki değişkenin oranını net bir şekilde görebilmek için sade bir eşitlik oluşturulur.
3
Aralarında asal olma şartı kullanılarak aa ve bb değerleri belirlenir.
a=9a = 9 ve b=11b = 11 bulunur.
11a=9b11a = 9b eşitliğinde aa, 99'un katı; bb ise 1111'in katı olmalıdır. aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olduğundan bu sayıların ortak böleni sadece 11 olmalıdır, bu yüzden en küçük katları olan a=9a=9 ve b=11b=11 değerleri alınır (9 ve 11 aralarında asaldır).
4
İstenen 2a+b2a + b ifadesinin değeri hesaplanır.
2a+b=2(9)+11=18+11=292a + b = 2(9) + 11 = 18 + 11 = 29 elde edilir.
Bulunan aa ve bb değerleri hedef ifadede yerine yazılır.

Key Concept

Aralarında asal sayıların en büyük ortak böleni 1'dir. p⋅x=q⋅yp \cdot x = q \cdot y eşitliğinde pp ve qq aralarında asal ise ve xx ile yy de aralarında asal pozitif tam sayılarsa, x=qx=q ve y=py=p olur.
Question 6Question →

xx, yy ve zz ikişer ikişer aralarında asal pozitif tam sayılardır.

x(y+z)=50x(y + z) = 50
y(x+z)=56y(x + z) = 56

olduğuna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 105

Answer

İkişer ikişer aralarında asal olan sayıların çarpımı 105'tir.
Denklem sisteminden elde edilen z(y−x)=6z(y - x) = 6 eşitliği analiz edildiğinde, ikişer ikişer aralarında asal olma koşulunu sağlayan tek pozitif tam sayı üçlüsünün (5,7,3)(5, 7, 3) olduğu görülür. Bu sayıların çarpımı 5⋅7⋅3=1055 \cdot 7 \cdot 3 = 105 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemleri parantez dışına dağıtarak taraf tarafa çıkarın.
xy+xz=50xy + xz = 50 ve xy+yz=56xy + yz = 56 denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında (xy+yz)−(xy+xz)=56−50(xy + yz) - (xy + xz) = 56 - 50 elde edilir. Buradan yz−xz=6⇒z(y−x)=6yz - xz = 6 \Rightarrow z(y - x) = 6 ilişkisine ulaşılır.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi basitleştirmek ve çarpanlara ayırmak için.
2
zz değişkeninin alabileceği değerleri belirleyin.
x,y,zx, y, z pozitif tam sayılar olduğundan, zz sayısı 6'nın pozitif bir böleni olmalıdır. Dolayısıyla z∈{1,2,3,6}z \in \{1, 2, 3, 6\} olabilir.
Pozitif tam sayı çözümlerini sınırlamak için.
3
zz değerinin alabileceği tüm durumları tek tek analiz edin.
Her bir zz değeri için:
- z=1z = 1 için: y−x=6⇒y=x+6y - x = 6 \Rightarrow y = x + 6. Birinci denklemde yerine yazıldığında x(x+7)=50x(x + 7) = 50 elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı çözümü yoktur.
- z=2z = 2 için: 2(y−x)=6⇒y=x+32(y - x) = 6 \Rightarrow y = x + 3. İkişer ikişer aralarında asal olma koşulundan dolayı z=2z = 2 ise xx ve yy tek sayı olmalıdır. Denklemde yerine yazıldığında x(x+5)=50⇒x=5x(x + 5) = 50 \Rightarrow x = 5 bulunur. Buradan y=8y = 8 olur. Ancak y=8y = 8 çift sayı olduğundan z=2z = 2 ile aralarında asal olamaz.
- z=3z = 3 için: 3(y−x)=6⇒y=x+23(y - x) = 6 \Rightarrow y = x + 2. z=3z = 3 ise xx ve yy 3'ün katı olmamalıdır. Denklemde yerine yazıldığında x(x+5)=50⇒x=5x(x + 5) = 50 \Rightarrow x = 5 bulunur. Buradan y=7y = 7 elde edilir.
- z=6z = 6 için: 6(y−x)=6⇒y=x+16(y - x) = 6 \Rightarrow y = x + 1. Denklemde yerine yazıldığında x(x+7)=50x(x + 7) = 50 elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı çözümü yoktur.
Aralarında asallık koşulunu sağlayan geçerli tam sayı değerlerini bulmak için.
4
Elde edilen tek geçerli çözüm kümesini doğrulayın ve çarpımı hesaplay��n.
x=5x = 5, y=7y = 7 ve z=3z = 3 sayıları ikişer ikişer aralarında asaldır. Bu sayıların çarpımı x⋅y⋅z=5⋅7⋅3=105x \cdot y \cdot z = 5 \cdot 7 \cdot 3 = 105 olarak hesaplanır.
Soruda istenen nihai çarpım sonucuna ulaşmak için.

Key Concept

İkişer ikişer aralarında asal sayılar, ortak bölen analizi ve Diophantine benzeri denklem sistemlerinin çözümü.

Hints

1
Denklemleri taraf tarafa çıkararak ortak olan xyxy teriminden kurtulmayı deneyin.

Practice More

Benzer şekilde, ikişer ikişer aralarında asal olan üç sayının toplamları ve çarpımları arasındaki sınır değerleri bulmaya yönelik sorular çözerek bu kavramı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemleri birbirine oranlayarak da çözüme başlayabilirsiniz: x(y+z)y(x+z)=5056=2528\frac{x(y+z)}{y(x+z)} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28}. Buradan içler dışlar çarpımı yaparak 28xy+28xz=25xy+25yz⇒3xy+28xz=25yz28xy + 28xz = 25xy + 25yz \Rightarrow 3xy + 28xz = 25yz elde edilir. Bu ifadeyi zz parantezine alarak düzenleyebilir ve yine aralarında asallık kurallarını uygulayabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Question 7Question →

AA ve BB iki basamaklı doğal sayılardır.

AA ve BB aralarında asal olmak üzere,
EBOB(A,B)+EKOK(A,B)=421\text{EBOB}(A, B) + \text{EKOK}(A, B) = 421
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, ardışık olan AA ve BB sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 41

Answer

Ardışık olan sayıların toplamı 41'dir.
Aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) 1 ve en küçük ortak katı (EKOK) bu sayıların çarpımına eşittir. Verilen denklemde EBOB(A,B)=1\text{EBOB}(A, B) = 1 yazıldığında EKOK(A,B)=420\text{EKOK}(A, B) = 420 ve dolayısıyla A⋅B=420A \cdot B = 420 elde edilir. Çarpımları 420 olan iki basamaklı ardışık iki doğal sayı 20 ve 21'dir. Bu sayıların toplamı ise 41'dir.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleninin (EBOB) özelliğini kullanmak.
EBOB(A,B)=1\text{EBOB}(A, B) = 1 olur.
Aralarında asal iki pozitif tam sayının 1'den başka ortak böleni yoktur.
2
EBOB değerini verilen denklemde yerine yazarak EKOK değerini bulmak.
1+EKOK(A,B)=421  ⟹  EKOK(A,B)=4201 + \text{EKOK}(A, B) = 421 \implies \text{EKOK}(A, B) = 420 olur.
Denklemde EBOB(A,B)\text{EBOB}(A, B) yerine 1 yazılarak en küçük ortak kat yalnız bırakılır.
3
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katının (EKOK) bu sayıların çarpımına eşit oldu��unu kullanmak.
EKOK(A,B)=A⋅B=420\text{EKOK}(A, B) = A \cdot B = 420 olur.
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.
4
Çarpımları 420 olan iki basamaklı ardışık iki doğal sayıyı belirlemek.
A⋅(A+1)=420  ⟹  A=20A \cdot (A + 1) = 420 \implies A = 20 ve B=21B = 21 bulunur.
Sayılar ardışık olduğundan aralarındaki fark 1'dir. 420≈20.49\sqrt{420} \approx 20.49 olduğundan bu sayılar 20 ve 21'dir ve her ikisi de iki basamaklıdır.
5
Bulunan AA ve BB sayılarının toplamını hesaplamak.
A+B=20+21=41A + B = 20 + 21 = 41 bulunur.
Soruda ardışık AA ve BB sayılarının toplamı istenmektedir.

Key Concept

Aralarında asal sayıların en büyük ortak bölenlerinin 1 olması ve en küçük ortak katlarının bu sayıların çarpımına eşit olması.
Estimated Time:2m 0s
Question 8Question →
aa ve bb ardışık tek pozitif tam sayılar, bb ve cc ise ardışık pozitif tam sayılardır.
EBOB(a,b)+EKOK(b,c)−2⋅EKOK(a,b)=1\text{EBOB}(a, b) + \text{EKOK}(b, c) - 2 \cdot \text{EKOK}(a, b) = 1
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Farklı durumlar için elde edilen toplamların toplamı olan 20 sayısıdır.
Doğru cevap olan 20 değeri, ardışık sayıların aralarında asal olma kuralları uygulanarak elde edilen iki farklı çözüm kümesindeki a+b+ca+b+c toplamlarının (14 ve 6) toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık sayıların ve ardışık tek sayıların aralarında asal olma özelliğini belirleme
Ardışık tek sayılar olan aa ve bb için EBOB(a,b)=1\text{EBOB}(a, b) = 1 ve EKOK(a,b)=a⋅b\text{EKOK}(a, b) = a \cdot b olur. Ardışık sayılar olan bb ve cc için ise EKOK(b,c)=b⋅c\text{EKOK}(b, c) = b \cdot c olur.
Ardışık tam sayılar ve ardışık tek tam sayılar kendi aralarında daima asaldır ve ortak bölenleri sadece 1'dir.
2
Elde edilen EBOB ve EKOK ifadelerini ana denklemde yerine yazarak sadeleştirme
1+b⋅c−2⋅a⋅b=1  ⟹  b(c−2a)=01 + b \cdot c - 2 \cdot a \cdot b = 1 \implies b(c - 2a) = 0 elde edilir.
Soruda verilen denklemi çözülebilir bir cebirsel ifadeye dönüştürmek.
3
bb pozitif bir tam sayı olduğundan b≠0b \neq 0 koşulunu kullanarak sadeleştirilmiş denklemi çözme
c−2a=0  ⟹  c=2ac - 2a = 0 \implies c = 2a olmalıdır.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
4
aa ve bb ardışık tek pozitif tam sayılar, bb ve cc ardışık pozitif tam sayılar koşullarını test etme
Durum 1: b=a+2b = a + 2 için cc ya a+3a+3 ya da a+1a+1 olur. Bunlar sırasıyla a=3,b=5,c=6a=3, b=5, c=6 (toplam 14) ve a=1,b=3,c=2a=1, b=3, c=2 (toplam 6) çözümlerini verir. Durum 2: b=a−2b = a - 2 için pozitif tam sayı çözümü bulunmaz.
Tüm olası sayı çiftlerini ve pozitiflik koşullarını belirlemek.
5
Bulunan a+b+ca + b + c değerlerini toplama
14+6=2014 + 6 = 20 bulunur.
Soru bizden alabileceği farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Key Concept

Ardışık sayıların ve ardışık tek sayıların aralarında asal olması ve EBOB-EKOK ilişkileri
Question 9Question →

xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılardır.

EBOB(x,y)=1\text{EBOB}(x, y) = 1 olduğu bilindiğine göre, ardışık iki tek sayı olan xx ve yy için
3x+2y=693x + 2y = 69
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu sayıların en küçük ortak katı olan EKOK(x,y)\text{EKOK}(x, y) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 195

Answer

195
Verilen denklem çözüldüğünde elde edilen ardışık tek sayılar 13 ve 15'tir. Bu sayılar ortak bir asal bölene sahip olmadıkları için aralarında asaldır ve en büyük ortak bölenleri (EBOB) 1'dir. Aralarında asal olan iki sayının en küçük ortak katı (EKOK), bu sayıların çarpımına eşit olduğundan, aranan değer 13 ile 15'in çarpımı olan 195 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Ardışık iki tek sayı olan xx ve yy arasındaki ilişkiyi yazma
y=x+2y = x + 2 veya x=y+2x = y + 2
Ardışık tek sayılar arasındaki fark her zaman 2'dir.
2
y=x+2y = x + 2 durumunu verilen denklemde yerine yazıp çözme
3x+2(x+2)=69  ⟹  5x+4=69  ⟹  5x=65  ⟹  x=133x + 2(x + 2) = 69 \implies 5x + 4 = 69 \implies 5x = 65 \implies x = 13. Buradan y=15y = 15 bulunur.
xx ve yy pozitif tam sayı değerlerini bulmak için denklem çözülür.
3
x=y+2x = y + 2 durumunu kontrol etme
3(y+2)+2y=69  ⟹  5y+6=69  ⟹  5y=633(y + 2) + 2y = 69 \implies 5y + 6 = 69 \implies 5y = 63. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur.
Olası diğer ardışıklık durumunun geçerliliği test edilir.
4
Bulunan x=13x = 13 ve y=15y = 15 sayılarının aralarında asal olup olmadığını denetleme
13 ve 15 sayılarının 1 dışında ortak böleni yoktur, yani EBOB(13,15)=1\text{EBOB}(13, 15) = 1 şartı sağlanır.
Soruda verilen aralarında asal olma ve EBOB koşullarının doğrulanması gerekir.
5
Sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplama
EKOK(13,15)=13×15=195\text{EKOK}(13, 15) = 13 \times 15 = 195
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.

Key Concept

Aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleni 1'e, en küçük ortak katı ise bu sayıların çarpımına eşittir. Kendileri asal olmayan sayılar da aralarında asal olabilir.