Examkin

Question

Difficulty: Very hardTemel Kavramlar

aa bir asal sayı, bb ve cc ise pozitif tam sayılardır.

a+b⋅c=29a + b \cdot c = 29
a⋅b+c=41a \cdot b + c = 41

olduğuna göre, a+b−ca + b - c ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    10
  3. C
    12
  4. 14Answer
  5. E
    16

Answer

Doğru cevap 14 değeridir.
Verilen iki denklem taraf tarafa çıkarılıp düzenlendiğinde (b−1)(a−c)=12(b-1)(a-c) = 12 çarpanlara ayrılmış biçimi elde edilir. aa sayısının asal sayı, bb ve cc sayılarının ise pozitif tam sayı olması koşulunu sağlayan tek çözüm kümesi a=3a = 3, b=13b = 13, c=2c = 2 değerleridir. Buradan a+b−ca + b - c toplamı 14 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak çarpan parantezine alınabilecek bir ifade elde edin.
(a⋅b+c)−(a+b⋅c)=41−29  ⟹  a⋅b−b⋅c−a+c=12(a \cdot b + c) - (a + b \cdot c) = 41 - 29 \implies a \cdot b - b \cdot c - a + c = 12
Denklemler arasındaki ilişkileri analiz edip değişkenleri gruplandırmak amacıyla çıkarma işlemi uygulanır.
2
Elde edilen ifadeyi gruplandırarak ortak paranteze alın ve çarpanlarına ayırın.
b(a−c)−1(a−c)=12  ⟹  (b−1)(a−c)=12b(a - c) - 1(a - c) = 12 \implies (b - 1)(a - c) = 12
Çarpım durumundaki bu ifade sayesinde tam sayı bölenleri üzerinden olası değerleri sınırlandırmak mümkün olur.
3
bb ve cc pozitif tam sayılar olduğundan, b−1b - 1 ve a−ca - c değerlerinin 12'nin pozitif bölenleri olduğunu dikkate alarak durumları tek tek analiz edin.
12'nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. b−1=12  ⟹  b=13b - 1 = 12 \implies b = 13 ve a−c=1  ⟹  a=c+1a - c = 1 \implies a = c + 1 durumu birinci denklemde yerine yazıldığında; a+13c=29  ⟹  (c+1)+13c=29  ⟹  14c=28  ⟹  c=2a + 13c = 29 \implies (c+1) + 13c = 29 \implies 14c = 28 \implies c = 2 ve a=3a = 3 elde edilir. a=3a = 3 bir asal sayıdır. Diğer bölenler denendiğinde aa ya asal sayı çıkmaz (örneğin b=4  ⟹  a=9b=4 \implies a=9 asal değildir) ya da pozitif tam sayı çözümü elde edilemez.
aa'nın asal sayı olması ve b,cb, c'nin pozitif tam sayı olması koşullarını sağlayan tek geçerli durum belirlenir.
4
Bulunan a=3a = 3, b=13b = 13 ve c=2c = 2 değerlerini kullanarak a+b−ca + b - c ifadesini hesaplayın.
3+13−2=143 + 13 - 2 = 14
Soru kökünde talep edilen aritmetik işlemi tamamlamak için toplama ve çıkarma yapılır.

Key Concept

İki bilinmeyenli doğrusal olmayan denklem sistemlerinin pozitif tam sayılar kümesinde çarpanlara ayırma yöntemi ve asal sayı tanımı kullanılarak çözülmesi.
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic