Examkin

Question

Difficulty: HardTemel Kavramlar
aa, bb ve cc birer pozitif tam sayı olmak üzere,
a+10b+1c=6a + \frac{10}{b + \frac{1}{c}} = 6
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    27
  2. B
    30
  3. 33Answer
  4. D
    42
  5. E
    45

Answer

Farklı değerlerin toplamı 33'tür.
Verilen denklemde, a pozitif tam sayı olduğundan bölümlü kısmın alabileceği değerler 1 ile 5 arasındaki tam sayılardır. Bu durumlara karşılık gelen çözümler incelendiğinde elde edilen benzersiz a+b+c toplamları 15, 9, 6 ve 3'tür. Bu değerlerin toplamı 33'e eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemi düzenleyip a değişkeninin sınırlarını belirleme
a≥1a \ge 1 bir pozitif tam sayı olduğundan, 10b+1c=6−a\frac{10}{b + \frac{1}{c}} = 6 - a ifadesi de bir pozitif tam sayı olmalıdır. Bu sayıya kk dersek, k=6−a≤5k = 6 - a \le 5 olmalıdır.
Değişkenlerin pozitif tam sayı olma koşulu, denklemin sağ tarafını sınırlar.
2
k de��erine göre durumları analiz etme
k∈{1,2,3,4,5}k \in \{1, 2, 3, 4, 5\} değerleri için b+1c=10kb + \frac{1}{c} = \frac{10}{k} eşitliğini sağlayan bb ve cc pozitif tam sayı ikililerini buluruz.
Her bir k tam sayı değerine karşılık gelen rasyonel ifade çözümlerini bulmak için.
3
Her durum için (a, b, c) üçlülerini ve toplamlarını hesaplama
- k=1  ⟹  a=5,b=9,c=1  ⟹  a+b+c=15k=1 \implies a=5, b=9, c=1 \implies a+b+c=15
- k=2  ⟹  a=4,b=4,c=1  ⟹  a+b+c=9k=2 \implies a=4, b=4, c=1 \implies a+b+c=9
- k=3  ⟹  a=3,b=3,c=3  ⟹  a+b+c=9k=3 \implies a=3, b=3, c=3 \implies a+b+c=9
- k=4  ⟹  a=2,b=2,c=2  ⟹  a+b+c=6k=4 \implies a=2, b=2, c=2 \implies a+b+c=6
- k=5  ⟹  a=1,b=1,c=1  ⟹  a+b+c=3k=5 \implies a=1, b=1, c=1 \implies a+b+c=3
Tüm olası pozitif tam sayı çözümlerini ve bu çözümlerden elde edilen toplamları listelemek için.
4
Farklı toplam değerlerini toplama
a+b+ca+b+c toplamının alabileceği farklı değerler 15, 9, 6 ve 3'tür. Bunların toplamı: 15+9+6+3=3315 + 9 + 6 + 3 = 33 olarak bulunur.
Soru bizden farklı toplamların toplamını istediği için tekrarlayan 9 değerini sadece bir kez dahil ederiz.

Key Concept

Rasyonel ve tam sayı içeren denklemlerde değer verme ve sınır analizi

Hints

1
a sayısı pozitif bir tam sayı olduğundan, sağ taraftaki rasyonel ifade kesinlikle 6'dan küçük bir pozitif tam sayı olmalıdır.
2
b+1/cb + 1/c ifadesi 10k\frac{10}{k} formatındadır. Burada k sayısı 1, 2, 3, 4 veya 5 olabilir. Her bir durum için b ve c pozitif tam sayılarını bulun.
3
k=3 için b+1/c=10/3=3+1/3b + 1/c = 10/3 = 3 + 1/3 yazarak b=3 ve c=3 elde edebileceğinizi unutmayın. Aynı mantığı k=4 için de uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, rasyonel ifadelerin tam sayı çıktığı diğer denklem tiplerinde sınır değerleri belirleme üzerine pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi b+1c=106−ab + \frac{1}{c} = \frac{10}{6-a} şeklinde yazıp, 6−a6-a ifadesinin alabileceği pozitif değerler için doğrudan b ve c değerlerini çekmek çözümü hızlandırabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic