Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

Boş kümeden farklı A,BA, B ve CC sonlu kümeleri için, A×BA \times B ve B×CB \times C kartezyen çarpım kümelerinin eleman sayıları sırasıyla 20 ve 30'dur.

B⊆(A∩C)B \subseteq (A \cap C)

olduğuna göre, A∪CA \cup C kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 15Answer
  4. D
    25
  5. E
    30

Answer

Kümenin eleman sayısı en az 15 olabilir.
Kümelerin eleman sayıları arasındaki çarpım ilişkisinden s(B)s(B) değeri 1 veya 2 olmak zorundadır. s(B)=2s(B) = 2 seçildiğinde s(A)=10s(A) = 10 ve s(C)=15s(C) = 15 elde edilir. BB kümesi AA ve CC'nin kesişiminin alt kümesi olduğundan, kesişim kümesinin eleman sayısı en fazla s(A)=10s(A) = 10 olabilir. Bu durumda birleşim kümesinin eleman sayısı en az 10+15−10=1510 + 15 - 10 = 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkileri belirleyin.
s(A×B)=s(A)×s(B)=20s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 20 ve s(B×C)=s(B)×s(C)=30s(B \times C) = s(B) \times s(C) = 30 denklem sistemini elde ederiz. Buradan s(B)s(B) değeri hem 20'nin hem de 30'un ortak bir pozitif tam sayı böleni olmalıdır.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
Alt küme ilişkisinden yararlanarak s(B)s(B) için sınırlandırmaları tespit edin.
B⊆(A∩C)B \subseteq (A \cap C) olduğuna göre BB kümesi hem AA kümesinin hem de CC kümesinin bir alt kümesidir. Dolayısıyla s(B)≤s(A)s(B) \leq s(A) ve s(B)≤s(C)s(B) \leq s(C) olmalıdır. 20 ve 30'un ortak bölenleri {1,2,5,10}\{1, 2, 5, 10\} kümesidir. Eğer s(B)=5s(B) = 5 olursa s(A)=4s(A) = 4 olur ki bu durum s(B)≤s(A)s(B) \leq s(A) şartıyla çelişir (5≤45 \leq 4 yanlıştır). Benzer şekilde s(B)=10s(B) = 10 olursa s(A)=2s(A) = 2 olur ve yine çelişki oluşur. Bu durumda s(B)s(B) değeri yalnızca 1 veya 2 olabilir.
Bir küme diğerinin alt kümesi ise eleman sayısı onun eleman sayısından büyük olamaz.
3
Olası s(B)s(B) değerleri için birleşim kümesinin eleman sayısını en az yapacak durumu bulun.
s(A∪C)=s(A)+s(C)−s(A∩C)s(A \cup C) = s(A) + s(C) - s(A \cap C) formülünü kullanırız. s(A∪C)s(A \cup C)'yi en az yapmak için kesişim kümesinin eleman sayısı olan s(A∩C)s(A \cap C)'yi en büyük seçmeliyiz. B⊆(A∩C)B \subseteq (A \cap C) olduğundan s(A∩C)s(A \cap C) en az s(B)s(B) olmalıdır. Kesişim kümesinin maksimum eleman sayısı ise min⁡(s(A),s(C))\min(s(A), s(C)) kadardır. s(B)=2s(B) = 2 için s(A)=10s(A) = 10 ve s(C)=15s(C) = 15 olur. Bu durumda kesişim kümesi en fazla min⁡(10,15)=10\min(10, 15) = 10 elemanlı seçilebilir ve birleşim kümesinin eleman sayısı en az 10+15−10=1510 + 15 - 10 = 15 olur. s(B)=1s(B) = 1 için ise s(A)=20s(A) = 20 ve s(C)=30s(C) = 30 olur, birleşim en az 20+30−20=3020 + 30 - 20 = 30 olur. Dolayısıyla minimum değer 15'tir.
Birleşim kümesinin eleman sayısını en az yapmak için kesişim kümesini en büyük değerinde seçmek gerekir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve kümelerde alt küme ilişkisi ile birleşim-kesişim işlemleri arasındaki eşitsizlikler.
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic