Examkin

Question

Difficulty: MediumKartezyen Çarpım

A={x∈Z:−3≤x<4}A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 \leq x < 4\} kümesi veriliyor.

Buna göre, A×AA \times A kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesi (a,b)(a, b) biçiminde olup a+ba + b toplamı sıfırdan büyüktür?

  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 21Answer
  4. D
    28
  5. E
    36

Answer

A kümesinin elemanları {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olmak üzere, A×AA \times A kartezyen çarpım kümesindeki elemanlardan a+b>0a + b > 0 koşulunu sağlayan sıralı ikililerin sayısı 21'dir.
A kümesinin elemanları {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olmak üzere toplam 7 elemandır. A×AA \times A kartezyen çarpım kümesindeki 49 elemanın 7 tanesinde toplam sıfıra eşittir (a+b=0a + b = 0). Kalan 42 elemanın yarısı simetriden dolayı sıfırdan büyük, diğer yarısı ise sıfırdan küçüktür. Bu durumda toplamı sıfırdan büyük olan sıralı ikili sayısı 21 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını listeleyerek eleman sayısını bulalım.
A={−3,−2,−1,0,1,2,3}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olup s(A)=7s(A) = 7 elemanlıdır.
Kartezyen çarpımın elemanlarını ve ko��ulu sağlayan ikilileri belirlemek için önce A kümesinin elemanlarını bilmemiz gerekir.
2
A×AA \times A kartezyen çarpımının toplam eleman sayısını hesaplayalım.
s(A×A)=s(A)×s(A)=7×7=49s(A \times A) = s(A) \times s(A) = 7 \times 7 = 49 elemandır.
İstenen koşulu sağlayan elemanları tüm elemanlar içinden seçmek veya tüm elemanlar üzerinden simetri kuralını uygulamak için toplam eleman sayısı gereklidir.
3
a+b=0a + b = 0 koşulunu sağlayan (a,b)(a, b) ikililerinin sayısını bulalım.
a+b=0  ⟹  a=−ba + b = 0 \implies a = -b olmalıdır. Bu ikililer: (−3,3)(-3, 3), (−2,2)(-2, 2), (−1,1)(-1, 1), (0,0)(0, 0), (1,−1)(1, -1), (2,−2)(2, -2) ve (3,−3)(3, -3) olmak üzere 7 tanedir.
Toplamın sonucuna göre durumlar pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Sıfır olan durumları tüm elemanlardan çıkararak simetrik durumları (pozitif ve negatif toplamları) yalnız bırakmak için bu adımı yapıyoruz.
4
Simetri özelliğini kullanarak a+b>0a + b > 0 olan ikililerin sayısını hesaplayalım.
49−7=4249 - 7 = 42 ikili için toplam sıfırdan farklıdır. A kümesi sıfıra göre simetrik olduğundan, bu 42 ikilinin yarısında toplam pozitif, diğer yarısında ise negatiftir. Dolayısıyla, 42/2=2142 / 2 = 21 ikili için a+b>0a + b > 0 olur.
Tüm ikilileri tek tek yazıp saymak yerine, kümenin simetrik yapısını kullanarak daha hızlı ve hatasız bir şekilde sonuca ulaşabiliriz.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ve sıralı ikililerin belirli koşullar altında sayılması.

Hints

1
İlk olarak A kümesinin tam sayı elemanlarını listeleyin ve toplam eleman sayısını belirleyin.
2
A×AA \times A kümesinin elemanları sıralı ikililerden oluşur. Toplamın sonucunun pozitif, negatif ya da sıfır olduğu durumları ayrı ayrı düşünün.
3
A kümesinin sıfıra göre simetrik yapısından faydalanın. Toplamı sıfır olan ikilileri tüm elemanlardan çıkardıktan sonra kalan ikililerin yarısının toplamı pozitif, diğer yarısının toplamı ise negatiftir.

Practice More

Benzer şekilde a⋅b>0a \cdot b > 0 (çarpımları sıfırdan büyük) ya da a−b<0a - b < 0 (farkları sıfırdan küçük) koşullarını sağlayan kartezyen çarpım eleman sayısını bulmaya yönelik sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sıralı ikilileri tek tek listeleyerek de sayabiliriz. aa değerine göre uygun bb değerlerini yazalım: a=−2a = -2 için b=3b = 3 (1 durum), a=−1a = -1 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 durum), a=0a = 0 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 durum), a=1a = 1 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 durum), a=2a = 2 için b∈{−1,0,1,2,3}b \in \{-1, 0, 1, 2, 3\} (5 durum) ve a=3a = 3 için b∈{−2,−1,0,1,2,3}b \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} (6 durum) bulunur. Toplamda 1+2+3+4+5+6=211 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 farklı sıralı ikili elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic