Examkin

Kartezyen Çarpım

13 questions

Question 1Question →
AA ve BB kümeleri için,
s(A)=4s(A) = 4
s(A×B)=12s(A \times B) = 12
olduğuna göre, B×BB \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9
s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B) bağıntısına göre, 12=4×s(B)12 = 4 \times s(B) eşitliğinden s(B)=3s(B) = 3 elde edilir. İstenen B×BB \times B kartezyen çarpımının eleman sayısı ise s(B×B)=s(B)×s(B)=3×3=9s(B \times B) = s(B) \times s(B) = 3 \times 3 = 9 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B) formülünü kullanarak BB kümesinin eleman sayısını (s(B)s(B)) bulunuz.
12=4×s(B)⇒s(B)=312 = 4 \times s(B) \Rightarrow s(B) = 3 olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
B×BB \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplayınız.
s(B×B)=s(B)×s(B)=3×3=9s(B \times B) = s(B) \times s(B) = 3 \times 3 = 9 bulunur.
Aynı kümenin kendisiyle kartezyen çarpımının eleman sayısı, o kümenin eleman sayısının karesine eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülü: s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B)
Estimated Time:45s
Question 2Question →

A={x∈Z:−3≤x<4}A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 \leq x < 4\} kümesi veriliyor.

Buna göre, A×AA \times A kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesi (a,b)(a, b) biçiminde olup a+ba + b toplamı sıfırdan büyüktür?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

A kümesinin elemanları {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olmak üzere, A×AA \times A kartezyen çarpım kümesindeki elemanlardan a+b>0a + b > 0 koşulunu sağlayan sıralı ikililerin sayısı 21'dir.
A kümesinin elemanları {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olmak üzere toplam 7 elemandır. A×AA \times A kartezyen çarpım kümesindeki 49 elemanın 7 tanesinde toplam sıfıra eşittir (a+b=0a + b = 0). Kalan 42 elemanın yarısı simetriden dolayı sıfırdan büyük, diğer yarısı ise sıfırdan küçüktür. Bu durumda toplamı sıfırdan büyük olan sıralı ikili sayısı 21 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını listeleyerek eleman sayısını bulalım.
A={−3,−2,−1,0,1,2,3}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olup s(A)=7s(A) = 7 elemanlıdır.
Kartezyen çarpımın elemanlarını ve ko��ulu sağlayan ikilileri belirlemek için önce A kümesinin elemanlarını bilmemiz gerekir.
2
A×AA \times A kartezyen çarpımının toplam eleman sayısını hesaplayalım.
s(A×A)=s(A)×s(A)=7×7=49s(A \times A) = s(A) \times s(A) = 7 \times 7 = 49 elemandır.
İstenen koşulu sağlayan elemanları tüm elemanlar içinden seçmek veya tüm elemanlar üzerinden simetri kuralını uygulamak için toplam eleman sayısı gereklidir.
3
a+b=0a + b = 0 koşulunu sağlayan (a,b)(a, b) ikililerinin sayısını bulalım.
a+b=0  ⟹  a=−ba + b = 0 \implies a = -b olmalıdır. Bu ikililer: (−3,3)(-3, 3), (−2,2)(-2, 2), (−1,1)(-1, 1), (0,0)(0, 0), (1,−1)(1, -1), (2,−2)(2, -2) ve (3,−3)(3, -3) olmak üzere 7 tanedir.
Toplamın sonucuna göre durumlar pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Sıfır olan durumları tüm elemanlardan çıkararak simetrik durumları (pozitif ve negatif toplamları) yalnız bırakmak için bu adımı yapıyoruz.
4
Simetri özelliğini kullanarak a+b>0a + b > 0 olan ikililerin sayısını hesaplayalım.
49−7=4249 - 7 = 42 ikili için toplam sıfırdan farklıdır. A kümesi sıfıra göre simetrik olduğundan, bu 42 ikilinin yarısında toplam pozitif, diğer yarısında ise negatiftir. Dolayısıyla, 42/2=2142 / 2 = 21 ikili için a+b>0a + b > 0 olur.
Tüm ikilileri tek tek yazıp saymak yerine, kümenin simetrik yapısını kullanarak daha hızlı ve hatasız bir şekilde sonuca ulaşabiliriz.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ve sıralı ikililerin belirli koşullar altında sayılması.

Hints

1
İlk olarak A kümesinin tam sayı elemanlarını listeleyin ve toplam eleman sayısını belirleyin.
2
A×AA \times A kümesinin elemanları sıralı ikililerden oluşur. Toplamın sonucunun pozitif, negatif ya da sıfır olduğu durumları ayrı ayrı düşünün.
3
A kümesinin sıfıra göre simetrik yapısından faydalanın. Toplamı sıfır olan ikilileri tüm elemanlardan çıkardıktan sonra kalan ikililerin yarısının toplamı pozitif, diğer yarısının toplamı ise negatiftir.

Practice More

Benzer şekilde a⋅b>0a \cdot b > 0 (çarpımları sıfırdan büyük) ya da a−b<0a - b < 0 (farkları sıfırdan küçük) koşullarını sağlayan kartezyen çarpım eleman sayısını bulmaya yönelik sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sıralı ikilileri tek tek listeleyerek de sayabiliriz. aa değerine göre uygun bb değerlerini yazalım: a=−2a = -2 için b=3b = 3 (1 durum), a=−1a = -1 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 durum), a=0a = 0 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 durum), a=1a = 1 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 durum), a=2a = 2 için b∈{−1,0,1,2,3}b \in \{-1, 0, 1, 2, 3\} (5 durum) ve a=3a = 3 için b∈{−2,−1,0,1,2,3}b \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} (6 durum) bulunur. Toplamda 1+2+3+4+5+6=211 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 farklı sıralı ikili elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}
B={2,3,4,5,6,7}B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}
C={4,5,6,7,8,9}C = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, (A×B)∩(A×C)(A \times B) \cap (A \times C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Sorulan kümenin eleman sayısı 20'dir.
Dağılma özelliği kullanılarak (A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) sadeleştirmesi yapılır. A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5 ve BB ile CC kümelerinin kesişimi olan B∩C={4,5,6,7}B \cap C = \{4, 5, 6, 7\} kümesinin eleman sayısı s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 olarak bulunur. Kartezyen çarpım eleman sayısı formülüne göre s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=5⋅4=20s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 5 \cdot 4 = 20 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
AA, BB ve CC kümelerinin eleman sayılarını ve kesişim kümelerini belirleyin.
s(A)=5s(A) = 5, s(B)=6s(B) = 6, s(C)=6s(C) = 6 ve B∩C={4,5,6,7}B \cap C = \{4, 5, 6, 7\} olduğundan s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 olur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak için bileşen kümelerin eleman sayılarına ihtiyaç vardır.
2
Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerindeki dağılma özelliğini kullanarak sorulan ifadeyi sadeleştirin.
(A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği elde edilir.
Dağılma özelliği sayesinde iki ayrı kartezyen çarpım yerine tek bir kartezyen çarpım üzerinden hesaplama kolayca yapılabilir.
3
Elde edilen yeni kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayın.
s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=5⋅4=20s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 5 \cdot 4 = 20 bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği ve eleman sayısı formülü.
Estimated Time:1m 30s
Question 4Question →
A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{ x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \leq 3 \}
B={y∈Z:∣y+1∣≤2}B = \{ y \in \mathbb{Z} : |y + 1| \leq 2 \}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan (x,y)(x, y) sıralı ikililerinden kaç tanesi x+y>2x + y > 2 koşulunu sağlar?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10
Doğru seçenekte belirtilen değer, A ve B kümelerinin elemanları listelenip x+y>2x + y > 2 koşulunu sağlayan (x,y)(x, y) sıralı ikilileri tek tek gruplandırıldığında elde edilen 10 değeridir. y=1y = 1 için x∈{2,3,4,5}x \in \{2, 3, 4, 5\} (4 adet), y=0y = 0 için x∈{3,4,5}x \in \{3, 4, 5\} (3 adet), y=−1y = -1 için x∈{4,5}x \in \{4, 5\} (2 adet), y=−2y = -2 için x∈{5}x \in \{5\} (1 adet) ve y=−3y = -3 için koşulu sağlayan eleman bulunmamaktadır. Toplamda 4+3+2+1=104+3+2+1=10 adet sıralı ikili vardır.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için ∣x−2∣≤3|x - 2| \leq 3 eşitsizliğini çözün.
A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Mutlak değer özelliğinden −3≤x−2≤3-3 \leq x - 2 \leq 3 yazılır. Her tarafa 2 eklendiğinde −1≤x≤5-1 \leq x \leq 5 elde edilir.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek için ∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2 eşitsizliğini çözün.
B={−3,−2,−1,0,1}B = \{-3, -2, -1, 0, 1\}
Mutlak değer özelliğinden −2≤y+1≤2-2 \leq y + 1 \leq 2 yazılır. Her taraftan 1 çıkarıldığında −3≤y≤1-3 \leq y \leq 1 elde edilir.
3
B kümesindeki her bir yy değeri için x+y>2  ⟹  x>2−yx + y > 2 \implies x > 2 - y koşulunu sağlayan x∈Ax \in A de��erlerini bulun.
y = 1 için 4, y = 0 için 3, y = -1 için 2, y = -2 için 1, y = -3 için 0 değer bulunur.
y = 1 ise x > 1 olmalıdır. A kümesinden {2, 3, 4, 5} olmak üzere 4 eleman vardır. y = 0 ise x > 2 olmalıdır. A kümesinden {3, 4, 5} olmak üzere 3 eleman vardır. y = -1 ise x > 3 olmalıdır. A kümesinden {4, 5} olmak üzere 2 eleman vardır. y = -2 ise x > 4 olmalıdır. A kümesinden {5} olmak üzere 1 eleman vardır. y = -3 ise x > 5 olmalıdır. A kümesinden bu koşulu sağlayan eleman yoktur.
4
Her durum için bulunan eleman sayılarını toplayın.
4+3+2+1+0=104 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10
Toplam sağlayan durumların sayısı aranan sıralı ikililerin sayısını verir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesindeki elemanların belirli bir koşula göre sayılması

Hints

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanları olan tam sayıları mutlak değerli eşitsizlikleri çözerek ayrı ayrı listeleyin.
2
Kartezyen çarpımın elemanları (x,y)(x, y) şeklindedir, burada x∈Ax \in A ve y∈By \in B'dir. Koşulumuz olan x+y>2x + y > 2 ifadesini x>2−yx > 2 - y şeklinde yazarak inceleyebilirsiniz.
3
B kümesindeki her bir yy elemanı için (yani 1,0,−1,−2,−31, 0, -1, -2, -3 için) x>2−yx > 2 - y eşitsizliğini sağlayan kaç tane x∈Ax \in A elemanı olduğunu tek tek belirleyip toplayın.

Practice More

Benzer şekilde, x⋅y<0x \cdot y < 0 koşulunu sağlayan sıralı ikililerin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm durumların sayısından (yani s(A×B)=7×5=35s(A \times B) = 7 \times 5 = 35), x+y≤2x + y \leq 2 koşulunu sağlayan durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 5Question →

Boş kümeden farklı A,BA, B ve CC sonlu kümeleri için, A×BA \times B ve B×CB \times C kartezyen çarpım kümelerinin eleman sayıları sırasıyla 20 ve 30'dur.

B⊆(A∩C)B \subseteq (A \cap C)

olduğuna göre, A∪CA \cup C kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Kümenin eleman sayısı en az 15 olabilir.
Kümelerin eleman sayıları arasındaki çarpım ilişkisinden s(B)s(B) değeri 1 veya 2 olmak zorundadır. s(B)=2s(B) = 2 seçildiğinde s(A)=10s(A) = 10 ve s(C)=15s(C) = 15 elde edilir. BB kümesi AA ve CC'nin kesişiminin alt kümesi olduğundan, kesişim kümesinin eleman sayısı en fazla s(A)=10s(A) = 10 olabilir. Bu durumda birleşim kümesinin eleman sayısı en az 10+15−10=1510 + 15 - 10 = 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkileri belirleyin.
s(A×B)=s(A)×s(B)=20s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 20 ve s(B×C)=s(B)×s(C)=30s(B \times C) = s(B) \times s(C) = 30 denklem sistemini elde ederiz. Buradan s(B)s(B) değeri hem 20'nin hem de 30'un ortak bir pozitif tam sayı böleni olmalıdır.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
Alt küme ilişkisinden yararlanarak s(B)s(B) için sınırlandırmaları tespit edin.
B⊆(A∩C)B \subseteq (A \cap C) olduğuna göre BB kümesi hem AA kümesinin hem de CC kümesinin bir alt kümesidir. Dolayısıyla s(B)≤s(A)s(B) \leq s(A) ve s(B)≤s(C)s(B) \leq s(C) olmalıdır. 20 ve 30'un ortak bölenleri {1,2,5,10}\{1, 2, 5, 10\} kümesidir. Eğer s(B)=5s(B) = 5 olursa s(A)=4s(A) = 4 olur ki bu durum s(B)≤s(A)s(B) \leq s(A) şartıyla çelişir (5≤45 \leq 4 yanlıştır). Benzer şekilde s(B)=10s(B) = 10 olursa s(A)=2s(A) = 2 olur ve yine çelişki oluşur. Bu durumda s(B)s(B) değeri yalnızca 1 veya 2 olabilir.
Bir küme diğerinin alt kümesi ise eleman sayısı onun eleman sayısından büyük olamaz.
3
Olası s(B)s(B) değerleri için birleşim kümesinin eleman sayısını en az yapacak durumu bulun.
s(A∪C)=s(A)+s(C)−s(A∩C)s(A \cup C) = s(A) + s(C) - s(A \cap C) formülünü kullanırız. s(A∪C)s(A \cup C)'yi en az yapmak için kesişim kümesinin eleman sayısı olan s(A∩C)s(A \cap C)'yi en büyük seçmeliyiz. B⊆(A∩C)B \subseteq (A \cap C) olduğundan s(A∩C)s(A \cap C) en az s(B)s(B) olmalıdır. Kesişim kümesinin maksimum eleman sayısı ise min⁡(s(A),s(C))\min(s(A), s(C)) kadardır. s(B)=2s(B) = 2 için s(A)=10s(A) = 10 ve s(C)=15s(C) = 15 olur. Bu durumda kesişim kümesi en fazla min⁡(10,15)=10\min(10, 15) = 10 elemanlı seçilebilir ve birleşim kümesinin eleman sayısı en az 10+15−10=1510 + 15 - 10 = 15 olur. s(B)=1s(B) = 1 için ise s(A)=20s(A) = 20 ve s(C)=30s(C) = 30 olur, birleşim en az 20+30−20=3020 + 30 - 20 = 30 olur. Dolayısıyla minimum değer 15'tir.
Birleşim kümesinin eleman sayısını en az yapmak için kesişim kümesini en büyük değerinde seçmek gerekir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve kümelerde alt küme ilişkisi ile birleşim-kesişim işlemleri arasındaki eşitsizlikler.
Question 6Question →

AA kümesi tek rakamlardan, BB kümesi ise asal rakamlardan oluşan birer kümedir.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Doğru cevap 20'dir.
Tek rakamlar kümesi A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\} olup s(A)=5s(A) = 5'tir. Asal rakamlar kümesi B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} olup s(B)=4s(B) = 4'tür. Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülü s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B) olduğundan, 5×4=205 \times 4 = 20 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.
A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\} olup eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5 olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulmak için ilk kümenin eleman sayısı bilinmelidir.
2
B kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} olup eleman sayısı s(B)=4s(B) = 4 olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulmak için ikinci kümenin eleman sayısı bilinmelidir.
3
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak.
s(A×B)=s(A)×s(B)=5×4=20s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 5 \times 4 = 20 olarak bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir: s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B)
Question 7Question →
AA ve BB kümeleri için,
s(A∖B)=3s(A \setminus B) = 3
s(B∖A)=4s(B \setminus A) = 4
s((A∩B)×(A∪B))=30s((A \cap B) \times (A \cup B)) = 30
olduğuna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

42
Verilen fark kümeleri ve kartezyen çarpım eleman sayısı ilişkisi kullanılarak kesişim kümesinin eleman sayısı 33 olarak belirlenir. Buradan AA kümesinin eleman sayısı 66, BB kümesinin eleman sayısı 77 bulunur. Kartezyen çarpım tanımı gereği bu iki değer çarpıldığında 6⋅7=426 \cdot 7 = 42 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kesişim kümesinin eleman sayısını bir değişken ile ifade edip birleşim kümesinin eleman sayısını bu değişken cinsinden yazalım.
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x olsun. Bu durumda birleşim kümesinin eleman sayısı s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)=3+4+x=7+xs(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 3 + 4 + x = 7 + x olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünde kullanmak üzere birleşim kümesinin eleman sayısını kesişim kümesine bağlı olarak ifade etmemiz gerekir.
2
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak bir denklem kuralım.
s((A∩B)×(A∪B))=s(A∩B)⋅s(A∪B)=30s((A \cap B) \times (A \cup B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cup B) = 30 olduğundan, x⋅(7+x)=30x \cdot (7 + x) = 30 denklemi elde edilir.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözelim.
x2+7x−30=0  ⟹  (x+10)(x−3)=0x^2 + 7x - 30 = 0 \implies (x + 10)(x - 3) = 0 olur. xx bir kümenin eleman sayısı olduğundan negatif olamaz (x≥0x \geq 0), bu yüzden x=3x = 3 bulunur.
Kesişim kümesinin eleman sayısını net olarak belirlemek için denklemin pozitif kökünü bulmamız gerekir.
4
AA ve BB kümelerinin eleman sayılarını hesaplayalım.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=3+3=6s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3 + 3 = 6 ve s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)=4+3=7s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 4 + 3 = 7 olarak bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulabilmek için ��ncelikle çarpımı oluşturan kümelerin kendi eleman sayılarını bulmalıyız.
5
A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplayalım.
s(A×B)=s(A)⋅s(B)=6⋅7=42s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 6 \cdot 7 = 42 elde edilir.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpılmasıyla bulunur.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir: s(X×Y)=s(X)⋅s(Y)s(X \times Y) = s(X) \cdot s(Y).

Hints

1
Birleşim kümesinin eleman sayısını s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülüyle bulabileceğinizi hatırlayın.
2
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x diyerek verilen kartezyen çarpım eleman sayısından yararlanıp xx değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3
x(7+x)=30x(7 + x) = 30 denklemini sağlayan pozitif tam sayı değerini bulduktan sonra s(A)=3+xs(A) = 3 + x ve s(B)=4+xs(B) = 4 + x eşitliklerini kullanarak kümelerin eleman sayılarını bulun.

Practice More

Kümelerin kartezyen çarpımının grafik üzerindeki gösterimi ve oluşturduğu kapalı bölgenin alanını bulma ile ilgili soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek bölgelere eleman sayılarını yerleştirebilirsiniz. Kesişim bölgesine xx yazıldığında, AA kümesinin kalan kısmına 33, BB kümesinin kalan kısmına 44 yazılır. Kesişim kümesinin eleman sayısı xx, birleşim kümesinin eleman sayısı x+7x + 7 olur. Bu iki bölgenin eleman sayılarının çarpımı 3030 olacağından, çarpımları 3030 ve aralarındaki fark 77 olan pozitif tam sayıları düşünürsek bu sayıların 33 ve 1010 olduğu kolayca görülür. Buradan x=3x = 3 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 8Question →

A={x∈Z:−1<x≤5}A = \{x \in \mathbb{Z} : -1 < x \leq 5\} kümesi veriliyor. BB kümesi asal rakamlardan, CC kümesi ise tek rakamlardan oluşan kümelerdir. Buna göre, (A×B)∩(C×A)(A \times B) \cap (C \times A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 9 olarak bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin kesişim özelliği kullanılarak (A×B)∩(C×A)=(A∩C)×(B∩A)(A \times B) \cap (C \times A) = (A \cap C) \times (B \cap A) eşitliği elde edilir. Burada s(A∩C)=3s(A \cap C) = 3 ve s(B∩A)=3s(B \cap A) = 3 olduğundan, çarpım kümesinin eleman sayısı 3×3=93 \times 3 = 9 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyip eleman sayısını bulalım.
A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} ve s(A)=6s(A) = 6 olur.
−1<x≤5-1 < x \leq 5 aralığındaki tam sayılar AA kümesini oluşturur.
2
BB ve CC kümelerinin elemanlarını belirleyelim.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} ve C={1,3,5,7,9}C = \{1, 3, 5, 7, 9\} olur.
Asal rakamlar BB kümesini, tek rakamlar ise CC kümesini tanımlar.
3
(A×B)∩(C×A)(A \times B) \cap (C \times A) ifadesini kartezyen çarpımın kesişim özelliğiyle düzenleyip sonucu hesaplayalım.
(A×B)∩(C×A)=(A∩C)×(B∩A)(A \times B) \cap (C \times A) = (A \cap C) \times (B \cap A) özelliğinden s(A∩C)×s(B∩A)=3×3=9s(A \cap C) \times s(B \cap A) = 3 \times 3 = 9 bulunur.
A∩C={1,3,5}A \cap C = \{1, 3, 5\} ve B∩A={2,3,5}B \cap A = \{2, 3, 5\} kümelerinin eleman sayıları 3'tür.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği ve Eleman Sayısı
Question 9Question →
AA ve BB kümelerinin birleşimi ile kartezyen çarpımının eleman sayıları sırasıyla şu şekildedir:
s(A∪B)=10s(A \cup B) = 10
s(A×B)=24s(A \times B) = 24

AA ve BB kümelerinin en az bir ortak elemanı bulunduğuna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 14'tür.
Doğru cevap 14'tür. Kartezyen çarpım eleman sayısı formülüne göre iki kümenin eleman sayılarının çarpımı 24 olmalıdır. Birleşim formülünden kesişim eleman sayısı formüle edildiğinde, ortak eleman bulunma ve alt küme sınırlama şartlarını sadece 3 ve 8 elemanlı kümeler sağlar. Buradan elde edilen fark kümelerinin eleman sayıları 2 ve 7 olup, bunların kartezyen çarpımının eleman sayısı 14 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanarak s(A)⋅s(B)s(A) \cdot s(B) çarpımını belirlemek.
s(A×B)=s(A)⋅s(B)=24s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 24
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazarak kesişim kümesinin eleman sayısını veren ifadeyi bulmak.
s(A∩B)=s(A)+s(B)−10s(A \cap B) = s(A) + s(B) - 10
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) olduğundan ve s(A∪B)=10s(A \cup B) = 10 verildiğinden bu eşitlik elde edilir.
3
Çarpımları 24 olan pozitif tam sayı çiftlerini (s(A)s(A) ve s(B)s(B)) inceleyerek küme sınırlamalarını kontrol etmek.
s(A)=3s(A) = 3 ve s(B)=8s(B) = 8 (veya tam tersi) olup s(A∩B)=1s(A \cap B) = 1 bulunur.
Kesişimin en az 1 elemanlı olması ve kesişim eleman sayısının kümelerin eleman sayılarından küçük veya eşit olması koşullarını sadece 3 ve 8 çarpan çifti sağlar.
4
Fark kümelerinin eleman sayılarını bulmak ve kartezyen çarpımlarını hesaplamak.
s(A∖B)⋅s(B∖A)=(3−1)⋅(8−1)=2⋅7=14s(A \setminus B) \cdot s(B \setminus A) = (3 - 1) \cdot (8 - 1) = 2 \cdot 7 = 14 elde edilir.
Her iki kümeden de kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak fark kümelerinin eleman sayıları bulunur ve bu değerler çarpılır.

Key Concept

Kartezyen Çarpım Eleman Sayısı ve Kümelerde İşlemler

Hints

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısının, iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşit olduğunu hatırlayın.
2
Çarpımları 24 olan pozitif tam sayı çiftlerini bulun ve bu çiftlerin birleşim formülündeki toplamlarını inceleyin.
3
Kümelerin en az bir ortak elemanı olduğu ve kesişim eleman sayısının kümelerin kendi eleman sayısını aşamayacağı sınırlarını kullanarak doğru çarpan çiftini (3 ve 8) belirleyin.

Practice More

Kartezyen çarpım kümelerinin analitik düzlemdeki grafikleri ve bu grafiklerin sınırladığı alanlarla ilgili soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek bölgelere eleman sayıları atanabilir. Ortadaki kesişim bölgesine x dersek, A fark B bölgesi a, B fark A bölgesi b olsun. Buradan a + x + b = 10 ve (a + x)(b + x) = 24 denklemleri elde edilir. x >= 1 ve x <= min(a+x, b+x) koşuluyla sistem çözüldüğünde x=1, a=2 ve b=7 bulunur. İstenen kartezyen çarpımın eleman sayısı a * b = 2 * 7 = 14 olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 10Question →
Boş kümeden farklı AA, BB ve CC sonlu kümeleri için,
s(A×B)=18s(A \times B) = 18
s(A×C)=24s(A \times C) = 24
s(B∪C)=7s(B \cup C) = 7
olduğu biliniyor.
Buna göre, (B∖C)×(C∖B)(B \setminus C) \times (C \setminus B) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 12'dir.
Doğru cevap 12'dir. AA, BB ve CC kümelerinin eleman sayıları analiz edildiğinde s(A)=6s(A) = 6, s(B)=3s(B) = 3 ve s(C)=4s(C) = 4 bulunur. Birleşim kümesinin eleman sayısı 7 olduğundan, BB ve CC kümelerinin kesişimi boştur (s(B∩C)=0s(B \cap C) = 0). Bu durumda s(B∖C)=3s(B \setminus C) = 3 ve s(C∖B)=4s(C \setminus B) = 4 olur. Bu iki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı ise 3×4=123 \times 4 = 12 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanarak s(A×B)=s(A)⋅s(B)=18s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 18 ve s(A×C)=s(A)⋅s(C)=24s(A \times C) = s(A) \cdot s(C) = 24 eşitliklerini yazmak.
s(A)s(A) sayısı hem 18 hem de 24 sayılarının ortak bir tam sayı böleni olmalıdır.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
s(B∪C)=7s(B \cup C) = 7 bilgisini kullanarak s(A)s(A) için alt sınır belirlemek.
s(B)≤7  ⟹  s(A)≥18/7≈2.57s(B) \leq 7 \implies s(A) \geq 18/7 \approx 2.57 ve s(C)≤7  ⟹  s(A)≥24/7≈3.43s(C) \leq 7 \implies s(A) \geq 24/7 \approx 3.43 olduğundan s(A)≥4s(A) \geq 4 olmalıdır.
Bir kümenin eleman sayısı, o kümenin alt kümesi veya birleşim kümesinin eleman sayısından büyük olamaz.
3
1818 ve 2424 sayılarının 44 veya 44'ten büyük ortak bölenini belirlemek.
Ortak bölenler {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} kümesinden 44'ten büyük olan tek sayı 66'dır. Buradan s(A)=6s(A) = 6 bulunur.
s(A)s(A) hem tam sayı olmalı hem de belirlenen alt sınır şartını sağlamalıdır.
4
s(A)=6s(A) = 6 değerini kullanarak BB ve CC kümelerinin eleman sayılarını bulmak.
s(B)=18/6=3s(B) = 18 / 6 = 3 ve s(C)=24/6=4s(C) = 24 / 6 = 4 elde edilir.
Kartezyen çarpım eleman sayıları ile s(A)s(A) bilindiği için diğer kümelerin eleman sayıları doğrudan hesaplanabilir.
5
s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C) formülünü uygulayarak kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak.
7=3+4−s(B∩C)  ⟹  s(B∩C)=07 = 3 + 4 - s(B \cap C) \implies s(B \cap C) = 0 bulunur.
Kümelerin birleşim formülü kullanılarak ortak eleman sayısı tespit edilir.
6
B∖CB \setminus C ve C∖BC \setminus B kümelerinin eleman sayılarını hesaplamak.
Kümeler ayrık olduğundan (s(B∩C)=0s(B \cap C) = 0) s(B∖C)=s(B)=3s(B \setminus C) = s(B) = 3 ve s(C∖B)=s(C)=4s(C \setminus B) = s(C) = 4 olur.
İki küme ayrık olduğunda, bir kümenin diğerinden farkı kendisidir.
7
(B∖C)×(C∖B)(B \setminus C) \times (C \setminus B) kartezyen çarpımının eleman sayısını hesaplamak.
s((B∖C)×(C∖B))=s(B∖C)⋅s(C∖B)=3⋅4=12s((B \setminus C) \times (C \setminus B)) = s(B \setminus C) \cdot s(C \setminus B) = 3 \cdot 4 = 12 bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı tanımı gereği iki kümenin eleman sayılarının çarpımıdır.

Key Concept

Kartezyen Çarpım ve Küme İşlemleri İlişkisi
Question 11Question →
AA ve BB tam sayı kümeleri olmak üzere,
A={x∈Z:−3<x≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 < x \leq 2\}
B={y∈Z:∣y−1∣≤2}B = \{y \in \mathbb{Z} : |y - 1| \leq 2\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin (a,b)(a, b) elemanlarından kaç tanesi a+b≥2a + b \geq 2 koşulunu sağlar?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10
A kümesinin elemanları {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} ve B kümesinin elemanları {−1,0,1,2,3}\{-1, 0, 1, 2, 3\} şeklindedir. a+b≥2a + b \geq 2 koşulu incelendiğinde; a=−1a = -1 için b=3b = 3 (1 adet), a=0a = 0 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 adet), a=1a = 1 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 adet) ve a=2a = 2 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 adet) olmak üzere toplam 10 adet (a,b)(a, b) ikilisi bu koşulu sağlar.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek
A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}
−3<x≤2-3 < x \leq 2 koşulunu sağlayan tam sayılar bu elemanlardan oluşmaktadır.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek
B={−1,0,1,2,3}B = \{-1, 0, 1, 2, 3\}
∣y−1∣≤2|y - 1| \leq 2 mutlak değerli eşitsizliği −2≤y−1≤2  ⟹  −1≤y≤3-2 \leq y - 1 \leq 2 \implies -1 \leq y \leq 3 aralığı olarak çözülür.
3
A kümesindeki her bir a elemanı için a+b≥2a + b \geq 2 koşulunu sağlayan b elemanlarını bulmak
a=−2a = -2 için b≥4b \geq 4 (0 adet), a=−1a = -1 için b=3b = 3 (1 adet), a=0a = 0 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 adet), a=1a = 1 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 adet), a=2a = 2 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 adet) bulunur.
b≥2−ab \geq 2 - a eşitsizliğini sağlayan b∈Bb \in B elemanları her durum için ayrı ayrı tespit edilir.
4
Koşulu sağlayan toplam ikili sayısını hesaplamak
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 adet ikili
Her bir durum için bulunan uygun ikili sayılarının toplanması toplam sonucu verir.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesindeki elemanların koşullu sayımı

Hints

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazın.
2
B kümesini bulmak için ∣y−1∣≤2|y - 1| \leq 2 mutlak değerli eşitsizliğini çözerek y tam sayılarının sınırlarını belirleyin.
3
A kümesinden seçeceğiniz her bir eleman için b≥2−ab \geq 2 - a koşulunu sağlayan B elemanlarının sayısını ayrı ayrı belirleyip toplayın.

Practice More

Kartezyen çarpımın elemanlarını bir koordinat düzleminde noktalar olarak gösterip, a+b=2a + b = 2 doğrusunun üzerinde ve sağında kalan noktaları sayarak görsel bir çözüm yapmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Koşulu sağlayan elemanları tek tek saymak yerine, kartezyen çarpımın tüm elemanlarından (25 adet) koşulu sağlamayan (a+b<2a + b < 2) elemanları bulup çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 12Question →

A={x∈Z:x2−3x−4≤0}A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 3x - 4 \leq 0\} kümesi veriliyor.

BB kümesi 1212 sayısının pozitif tam bölenlerinden, CC kümesi ise 1818 sayısının pozitif tam bölenlerinden oluşmaktadır.

Buna göre, (A×B)∩(A×C)(A \times B) \cap (A \times C) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 24'tür.
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılarak (A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği elde edilir. A kümesinin eleman sayısı s(A) = 6 ve B ve C kümelerinin kesişim kümesinin eleman sayısı s(B ve C ortak elemanları) = 4 olarak bulunur. Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülüne göre bu iki değer çarpıldığında 6 * 4 = 24 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 24 elemanlı seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirleme.
x2−3x−4≤0⇒(x−4)(x+1)≤0x^2 - 3x - 4 \leq 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) \leq 0 eşitsizliğinden −1≤x≤4-1 \leq x \leq 4 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar A={−1,0,1,2,3,4}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} olup eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6 bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplamak için birinci kümenin eleman sayısına ihtiyaç vardır.
2
BB ve CC kümelerini yazıp kesişim kümesini ve eleman sayısını bulma.
B={1,2,3,4,6,12}B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} ve C={1,2,3,6,9,18}C = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} kümelerinin kesişimi B∩C={1,2,3,6}B \cap C = \{1, 2, 3, 6\} olup eleman sayısı s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 bulunur.
Kartezyen çarpımın dağılma özelliği uygulandıktan sonra elde edilen ikinci bileşen kümenin eleman sayısı gereklidir.
3
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliğini uygulayarak eleman sayısını hesaplama.
(A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği kullanılır. Bu kümenin eleman sayısı s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=6⋅4=24s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 6 \cdot 4 = 24 olarak hesaplanır.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bileşen kümelerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği ve eleman sayısı formülü

Alternative Method

Kümelerin elemanları tek tek yazılıp kartezyen çarpım kümelerinin elemanları oluşturularak bu iki kümenin ortak olan elemanları sayılarak da sonuca ulaşılabilir. Ancak bu yöntem oldukça zaman alıcı ve işlem hatasına açık bir yoldur.
Estimated Time:1m 30s
Question 13Question →
Pozitif tam sayılardan oluşan AA ve BB kümeleri şu şekilde tanımlanmıştır:
A={x∈Z+:x bir rakam ve 24 sayısı x ile kalansız bo¨lu¨nu¨r}A = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x \text{ bir rakam ve } 24 \text{ sayısı } x \text{ ile kalansız bölünür}\}
B={y∈Z+:y<8 ve y bir asal sayıdır}B = \{y \in \mathbb{Z}^+ : y < 8 \text{ ve } y \text{ bir asal sayıdır}\}

Buna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 8'dir.
AA kümesi {1,2,3,4,6,8}\{1, 2, 3, 4, 6, 8\} ve BB kümesi {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} olarak belirlenir. Buradan fark kümeleri A∖B={1,4,6,8}A \setminus B = \{1, 4, 6, 8\} ve B∖A={5,7}B \setminus A = \{5, 7\} olur. Bu kümelerin eleman sayıları sırasıyla s(A∖B)=4s(A \setminus B) = 4 ve s(B∖A)=2s(B \setminus A) = 2 olduğundan, kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 4×2=84 \times 2 = 8 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin elemanlarını belirlemek için 24'ü kalansız b��len pozitif rakamları buluruz.
A={1,2,3,4,6,8}A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} kümesi elde edilir ve bu kümenin eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6'dır.
A kümesinin elemanları tanım gereği pozitif rakamlar ve 24'ün bölenleridir.
2
BB kümesinin elemanlarını belirlemek için 8'den küçük pozitif asal sayıları buluruz.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} kümesi elde edilir ve bu kümenin eleman sayısı s(B)=4s(B) = 4'tür.
B kümesinin elemanları tanım gereği 8'den küçük pozitif asal sayılardır.
3
A∖BA \setminus B ve B∖AB \setminus A fark kümelerini ve eleman sayılarını hesaplarız.
A∖B={1,4,6,8}A \setminus B = \{1, 4, 6, 8\} olup s(A∖B)=4s(A \setminus B) = 4 ve B∖A={5,7}B \setminus A = \{5, 7\} olup s(B∖A)=2s(B \setminus A) = 2 bulunur.
Kartezyen çarpımı yapılacak fark kümelerinin eleman sayılarını bulmak için kümelerin ortak elemanları çıkarılır.
4
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bulmak için elde edilen fark kümelerinin eleman sayılarını çarparız.
s((A∖B)×(B∖A))=s(A∖B)×s(B∖A)=4×2=8s((A \setminus B) \times (B \setminus A)) = s(A \setminus B) \times s(B \setminus A) = 4 \times 2 = 8 olarak hesaplanır.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen Çarpımının Eleman Sayısı ve Küme Fark İşlemi
Kartezyen Çarpım Practice Questions — ALES | Examkin