Examkin

Question

Difficulty: HardTemel Kavramlar

aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.

a+ba + b ve a⋅b+ca \cdot b + c sayılarından biri tek, diğeri ise çift sayıdır.

Buna göre;

I. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
II. a⋅c+b⋅ca \cdot c + b \cdot c
III. a+b+ca + b + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve II ifadeleri her zaman çift sayıdır.
Birinci ifadenin her zaman çift olduğu, a,b,ca, b, c sayılarının tamamının tek olmasının başlangıçtaki biri tek diğeri çift koşuluyla çelişmesinden anlaşılır. İkinci ifade c(a+b)c(a+b) şeklinde yazıldığında, a+ba+b tek ise a⋅ba \cdot b çift ve a⋅b+ca \cdot b+c çift olması gerektiğinden cc çift olur, dolayısıyla çarpım çifttir; a+ba+b çift ise çarpım doğrudan çifttir. Bu nedenle birinci ve ikinci ifadeler her zaman çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
a+ba + b ve a⋅b+ca \cdot b + c ifadelerinin teklik-çiftlik durumlarını analiz etmek.
Bu iki ifadenin toplamı olan (a+b)+(a⋅b+c)(a+b) + (a \cdot b+c) ifadesinin tek sayı olması gerektiği bulunur. Çünkü biri tek, diğeri çifttir.
Tek sayı ile çift sayının toplamı her zaman tek sayıdır.
2
a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
Eğer aa, bb ve cc sayılarının tümü tek sayı olsaydı; a+ba+b çift, a⋅b+ca \cdot b+c de çift olurdu. Bu durum çelişki yarattığı için en az birinin çift olması gerekir. Dolayısıyla çarpımları a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c her zaman çifttir.
En az bir çarpanı çift olan tam sayı çarpımları her zaman çift sayıdır.
3
a⋅c+b⋅ca \cdot c + b \cdot c ifadesini ortak paranteze alarak analiz etmek.
a⋅c+b⋅c=c⋅(a+b)a \cdot c + b \cdot c = c \cdot (a + b) olur. Eğer a+ba+b tek ise, a⋅ba \cdot b çift olur ve a⋅b+ca \cdot b+c çift olacağından cc çift olmalıdır. a+ba+b çift ise sonuç doğrudan çift olur. Her iki durumda da çarpım çifttir.
Çarpımın elemanlarından birinin çift olması sonucun çift olmasını garanti eder.
4
a+b+ca + b + c ifadesinin her zaman çift olup olmadığını test etmek.
a=2,b=2,c=1a=2, b=2, c=1 için a+b=4a+b=4 (çift) ve a⋅b+c=5a \cdot b+c=5 (tek) şartı sağlanır ancak a+b+c=5a+b+c = 5 (tek) olur. Dolayısıyla bu ifade her zaman çift değildir.
Karşıt bir örnek bulunması ifadenin her zaman doğru olmadığını kanıtlar.

Key Concept

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri ve Parite Analizi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic