Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⊙\odot işlemi, her aa ve bb pozitif tam sayısı için

a⊙b={a2−3b,a>b ise3a+b2,a≤b isea \odot b = \begin{cases} a^2 - 3b, & a > b \text{ ise} \\ 3a + b^2, & a \le b \text{ ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(5⊙4)⊙x=160(5 \odot 4) \odot x = 160

eşitliğini sağlayan xx pozitif tam sayısı kaçtır?
  1. A
    11
  2. B
    7
  3. 3Answer
  4. D
    9
  5. E
    10

Answer

3
Verilen parçalı işlem tanımına göre 5⊙45 \odot 4 hesaplandığında, 5>45 > 4 olduğundan ilk kural uygulanır ve 1313 elde edilir. Ardından 13⊙x=16013 \odot x = 160 eşitliğinde 13>x13 > x koşulu altında birinci kural uygulandığında 169−3x=160  ⟹  x=3169 - 3x = 160 \implies x = 3 bulunur. 3<133 < 13 koşulu sağlandığı için bu değer doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki 5⊙45 \odot 4 işlemini hesaplayınız.
5⊙4=52−3⋅4=25−12=135 \odot 4 = 5^2 - 3 \cdot 4 = 25 - 12 = 13
5>45 > 4 olduğu için tanımın ilk satırındaki a⊙b=a2−3ba \odot b = a^2 - 3b kuralı uygulanmalıdır.
2
13⊙x=16013 \odot x = 160 eşitliğini çözmek için 13>x13 > x koşulunu varsayınız.
132−3x=160  ⟹  169−3x=160  ⟹  3x=9  ⟹  x=313^2 - 3x = 160 \implies 169 - 3x = 160 \implies 3x = 9 \implies x = 3
Eğer 13>x13 > x ise birinci satırdaki a2−3ba^2 - 3b kuralı geçerlidir. Bulunan x=3x = 3 değeri 13>313 > 3 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.
3
Alternatif olarak 13≤x13 \le x koşulunu varsayarak denklemi çözüp kontrol ediniz.
3⋅13+x2=160  ⟹  39+x2=160  ⟹  x2=121  ⟹  x=113 \cdot 13 + x^2 = 160 \implies 39 + x^2 = 160 \implies x^2 = 121 \implies x = 11
Eğer 13≤x13 \le x ise ikinci satırdaki 3a+b23a + b^2 kuralı geçerlidir. Ancak bulunan x=11x = 11 değeri 13≤1113 \le 11 koşulunu sağlamadığı için bu durumdan geçerli bir çözüm elde edilemez.

Key Concept

Parçalı kurallarla tanımlanmış özel işlemlerde koşullara uygun işlem basamaklarının uygulanması ve elde edilen sonuçların başlangıç koşullarıyla test edilmesi.
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic