Taban yarıçapı 5\text{ cm} ve yüksekliği 20\pi\text{ cm} olan dik dairesel silindir şeklin… — ALES

Taban yarıçapı $5\text{ cm}$ ve yüksekliği $20\pi\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir şeklindeki bir kutunun alt tabanının çevresi üzerindeki bir $A$ noktasından, üst tabanının çevresi üzerindeki ve $A$ noktasının dikey izdüşümünün tam karşısında bulunan (çapsal olarak zıt) bir $B$ noktasına silindirin yan yüzeyi üzerinden dolanarak gidilecektir. Bu hareketli, silindirin yan yüzeyi etrafında tam olarak $1,5$ tur (bir buçuk tur) atarak en kısa yoldan $B$ noktasına ulaştığına göre, aldığı toplam yol kaç $\pi\text{ cm}$ 'dir?

$25$ Answer
B
$35$
C
$5\sqrt{7}$
D
$10\sqrt{5}$
E
$10\sqrt{13}$

Answer

En kısa yol

25\pi\text{ cm}

olup, toplam yol

25

adet

\pi\text{ cm}

'ye eşittir.

Silindirin taban çevresi

C = 2\pi R = 10\pi\text{ cm}

'dir.

1,5

tur atıldığında yatayda alınan yol

1,5 \times 10\pi = 15\pi\text{ cm}

olur. Silindirin açınımı yapıldığında yatay kenarı

15\pi\text{ cm}

ve dikey kenarı (yükseklik)

20\pi\text{ cm}

olan bir dik üçgen elde edilir. Bu üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında en kısa yol

25\pi\text{ cm}

olarak hesaplanır. Dolayısıyla alınan toplam yol

25\pi

yani

25

katıdır.

Step-by-Step Solution

Silindirin taban dairesinin çevresi hesaplanır.

Taban dairesinin yarıçapı

R = 5\text{ cm}

olduğundan çevre

C = 2\pi R = 10\pi\text{ cm}

olur.

Silindir yüzeyinde yatayda alınan yol taban çevresine bağlıdır.

Hareketlinin yatayda aldığı toplam yol belirlenir.

Hareketli

1,5

tur attığı için yatayda aldığı yol

1,5 \times 10\pi = 15\pi\text{ cm}

olarak bulunur.

B

noktası

A

'nın dikey izdüşümünün tam karşısında (çapsal olarak zıt konumda) olduğundan,

1,5

tur atılması yatayda tam olarak

1,5

çevre uzunluğuna karşılık gelir.

Hareketlinin dikeyde aldığı yol belirlenir.

Dikeyde alınan yol silindirin yüksekliği olan

20\pi\text{ cm}

'dir.

Kutunun alt tabanından üst tabanına ulaşıldığı için dikey yükseklik tamamen katedilmiştir.

Silindirin yan yüzeyi düzleme açılarak en kısa yol Pisagor bağıntısı ile hesaplanır.

En kısa yol

L

olmak üzere, dik kenarları

15\pi\text{ cm}

20\pi\text{ cm}

olan bir dik üçgen olu��ur. Pisagor bağıntısından

L^2 = (15\pi)^2 + (20\pi)^2 = 225\pi^2 + 400\pi^2 = 625\pi^2

buradan da

L = 25\pi\text{ cm}

bulunur.

Düzleme açılan yüzeyde iki nokta arasındaki en kısa mesafe, bu iki noktayı birleştiren doğru parçası (hipotenüs) uzunluğudur.

Key Concept

Silindirin yan yüzeyinin açınımı ve yüzey üzerindeki en kısa yolun Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunması.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic