Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme
Rakamları birbirinden farklı, ABCABC ve CBACBA üç basamaklı doğal sayıları için,
ABC−CBA=396ABC - CBA = 396
eşitliği sağlanmaktadır. ABCABC sayısı 99 ile tam bölünebildiğine ve BB bir çift rakam olduğuna göre, bu koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 2592

Answer

Bu koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarının toplamı 25922592 sayısıdır.
Üç basamaklı sayıların çözümlenmesiyle elde edilen 99(A−C)=396  ⟹  A−C=499(A-C) = 396 \implies A-C = 4 bağıntısından yola çıkılarak sıfırdan farklı (A,C)(A, C) rakam ikilileri bulunur. Her bir durum için A+B+CA+B+C toplamının 9'un katı olması ve BB'nin çift rakam olması koşulları test edildiğinde sadece 783783, 864864 ve 945945 sayılarının bu kurallara uyduğu görülür. Bu sayıların toplamı 25922592'dir.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılarının çözümlenmiş hâllerini yazarak farklarını bulalım.
99(A−C)=396  ⟹  A−C=499(A - C) = 396 \implies A - C = 4 elde edilir.
Basamak analizi kurallarına göre ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve CBA=100C+10B+ACBA = 100C + 10B + A yazılabilir.
2
AA ve CC rakamlarının alabileceği değerleri belirleyelim.
(A,C)(A, C) çiftleri (5,1)(5, 1), (6,2)(6, 2), (7,3)(7, 3), (8,4)(8, 4) ve (9,5)(9, 5) olabilir.
ABCABC ve CBACBA üç basamaklı sayılar olduğundan yüzler basamağındaki AA ve CC sıfır olamaz.
3
ABCABC sayısının 9 ile tam bölünebilme ve BB'nin çift rakam olma koşullarını kontrol edelim.
Sadece (7,3)(7, 3) için B=8  ⟹  783B=8 \implies 783, (8,4)(8, 4) için B=6  ⟹  864B=6 \implies 864 ve (9,5)(9, 5) için B=4  ⟹  945B=4 \implies 945 sayıları koşulları sağlar.
A+B+CA+B+C toplamının 9'un katı olması gerekir. (5,1)(5, 1) için B=3B=3 (tek) ve (6,2)(6, 2) için B=1B=1 (tek) olduğundan bu durumlar elenir.
4
Koşulları sağlayan tüm ABCABC sayılarını toplayalım.
783+864+945=2592783 + 864 + 945 = 2592 bulunur.
Bizden istenen değer tüm olası ABCABC sayılarının toplamıdır.

Key Concept

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve farklarının alınması ile elde edilen 99(A−C)99(A-C) özelliğinin kullanılması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic