Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

Rakamları sıfırdan farklı üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı ABAB ve BCBC doğal sayılarının toplamının 44 katına eşittir.

Buna g��re, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?

  1. A
    18
  2. 36Answer
  3. C
    48
  4. D
    80
  5. E
    120

Answer

Rakamları sıfırdan farkl�� üç basamaklı ABCABC sayısının rakamları çarpımı 36'dır.
Çözümleme yapıldığında elde edilen 60A=34B+3C60A = 34B + 3C denkleminde A,B,CA, B, C sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere tek bir çözüm vardır, o da A=2,B=3,C=6A=2, B=3, C=6 değerleridir. Bu rakamların çarpımı 2⋅3⋅6=362 \cdot 3 \cdot 6 = 36 olduğundan doğru yanıt 36 seçeneğidir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıları basamak değerlerine göre çözümleyip eşitliği yazalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
AB=10A+BAB = 10A + B
BC=10B+CBC = 10B + C
Eşitlik: 100A+10B+C=4⋅(10A+B+10B+C)100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + B + 10B + C)
Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak, bilinmeyen rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmanın temel adımıdır.
2
Elde edilen eşitliği sadeleştirelim.
100A+10B+C=4⋅(10A+11B+C)100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + 11B + C)
100A+10B+C=40A+44B+4C100A + 10B + C = 40A + 44B + 4C
60A=34B+3C60A = 34B + 3C
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi daha sade bir biçime dönüştürmek gerekir.
3
Elde edilen 60A=34B+3C60A = 34B + 3C denkleminde rakamların alabileceği değerleri inceleyelim.
Denklemin sol tarafı (60A60A) 10'un katıdır. Dolayısıyla sağ tarafındaki 34B+3C34B + 3C ifadesinin de birler basamağı 0 olmalıdır.
34B+3C≡0(mod10)  ⟹  4B+3C≡0(mod10)34B + 3C \equiv 0 \pmod{10} \implies 4B + 3C \equiv 0 \pmod{10} olur.
BB ve CC sıfırdan farklı rakamlar olduğundan, B=3B = 3 için 4(3)+3C=12+3C4(3) + 3C = 12 + 3C ifadesinin 10'un katı olması için C=6C = 6 olmalıdır.
Bu durumda: 60A=34(3)+3(6)=102+18=120  ⟹  A=260A = 34(3) + 3(6) = 102 + 18 = 120 \implies A = 2 bulunur.
Rakam olma ve basamak kuralları (sıfırdan farklı olma) sınırlandırmalarını kullanarak değer denemesi yapılır.
4
Bulunan rakamların çarpımını hesaplayalım.
A=2A = 2, B=3B = 3, C=6C = 6 olduğundan sayı 236236'dır.
Rakamların çarpımı: 2⋅3⋅6=362 \cdot 3 \cdot 6 = 36 bulunur.
Soruda bizden istenen rakamların çarpımı değerine ulaşmaktır.

Key Concept

Üç basamaklı ve iki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenerek elde edilen denklemlerde rakam sınırlandırmalarına göre değerlerin bulunması.

Hints

1
ABCABC, ABAB ve BCBC sayılarını basamak değerlerine göre 100A+10B+C100A+10B+C, 10A+B10A+B ve 10B+C10B+C şeklinde açarak işe başlayın.
2
Denklemi düzenlediğinizde 60A=34B+3C60A = 34B + 3C eşitliğini bulacaksınız. Sol tarafın 10'un katı olmasını kullanın.
3
34B+3C34B + 3C ifadesinin birler basamağının 0 olması için BB ve CC rakamlarına uygun değerleri verin. B=3B = 3 durumunu inceleyin.

Practice More

Benzer şekilde ABC=5⋅(AB+BC)ABC = 5 \cdot (AB + BC) eşitliğini sağlayan rakamları sıfırdan farklı ABCABC sayılarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi 60A−34B=3C60A - 34B = 3C şeklinde yazıp 2(30A−17B)=3C2(30A - 17B) = 3C haline getirebiliriz. Buradan CC sayısının çift ve 30A−17B30A - 17B ifadesinin 3'ün katı olması gerektiği görülür. BB rakamına değer verilerek 30A−17B30A - 17B ifadesinin sadeleşmesi kontrol edilebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic