A = \frac{50! - 49!}{7} olduğuna göre, A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimindeki … — ALES

$A = \frac{50! - 49!}{7}$

olduğuna göre, $A$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimindeki $7$ asal çarpanının üssü kaçtır?

A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimindeki 7 asal çarpanının üssü 9'dur.

Doğru cevap 9'dur.

50! - 49!

ifadesi ortak paranteze alındığında

49! \times 49 = 49! \times 7^2

elde edilir. Bu ifade paydadaki 7 ile bölündüğünde

A = 49! \times 7

olur.

49!

içindeki 7 asal çarpanı sayısı Legendre yöntemiyle

49/7 = 7

7/7 = 1

şeklinde bölünerek

7 + 1 = 8

olarak bulunur. Dışarıdaki 7 çarpanı da eklendiğinde toplam 7 asal çarpanının üssü

8 + 1 = 9

olur.

Pay kısmındaki

50! - 49!

ifadesini ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.

50! - 49! = 49! \times (50 - 1) = 49! \times 49 = 49! \times 7^2

elde edilir.

Ardışık faktöriyel ifadelerini ortak paranteze alarak ifadeyi daha sade bir hale getirmek için.

Bulunan pay ifadesini paydadaki

7

sayısına bölün.

A = \frac{49! \times 7^2}{7^1} = 49! \times 7^1

elde edilir.

A

sayısının en sade halini belirlemek için.

Legendre formülünü kullanarak

49!

sayısının içindeki

7

asal çarpanının üssünü bulun.

\lfloor 49 / 7 \rfloor = 7

\lfloor 7 / 7 \rfloor = 1

olduğundan,

7 + 1 = 8

adet

7

çarpanı vardır.

Faktöriyel bir sayının içindeki belirli bir asal çarpanın sayısını hesaplamak için ardışık bölme işlemi uygulanır.

49! \times 7^1

ifadesindeki toplam

7

çarpanı sayısını bulmak için elde edilen üsleri toplayın.

8 + 1 = 9

elde edilir.

Çarpım durumundaki ifadelerin üsleri toplanacağından,

49!

içindeki

8

tane

7

çarpanına dışarıdaki

7^1

çarpanının üssü eklenir.

Faktöriyel kavramı, ortak çarpan parantezine alma ve bir faktöriyelin içindeki asal çarpan sayısını bulma (Legendre formülü).

Question