Examkin

Faktöriyel

11 questions

Question 1Question →
x=6!⋅7!x = 6! \cdot 7!
y=5!⋅8!y = 5! \cdot 8!
z=4!⋅9!z = 4! \cdot 9!

olduğuna göre; xx, yy ve zz sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: x<y<zx < y < z

Answer

x<y<zx < y < z
Doğru cevap x<y<zx < y < z sıralamasıdır. yy sayısı xx cinsinden yazıldığında y=43xy = \frac{4}{3}x elde edilir, bu da y>xy > x olduğunu gösterir. zz sayısı ise yy cinsinden yazıldığında z=95yz = \frac{9}{5}y elde edilir, bu da z>yz > y olduğunu gösterir. Bu iki durum birleştirildiğinde doğru sıralama x<y<zx < y < z olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen xx, yy ve zz ifadelerini karşılaştırabilmek amacıyla ortak çarpanlar elde edecek şekilde düzenleyelim.
x=6!⋅7!x = 6! \cdot 7! olarak kalsın.
y=5!⋅8!=6!6⋅8⋅7!=43⋅(6!⋅7!)=43xy = 5! \cdot 8! = \frac{6!}{6} \cdot 8 \cdot 7! = \frac{4}{3} \cdot (6! \cdot 7!) = \frac{4}{3}x olur.
z=4!⋅9!=5!5⋅9⋅8!=95⋅(5!⋅8!)=95yz = 4! \cdot 9! = \frac{5!}{5} \cdot 9 \cdot 8! = \frac{9}{5} \cdot (5! \cdot 8!) = \frac{9}{5}y olur.
Sayıların değerleri çok büyük olduğu için doğrudan hesaplamak yerine birbirleri cinsinden oranlarını bulmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
xx ile yy değerlerini kıyaslayalım.
y=43xy = \frac{4}{3}x eşitliğinde 43>1\frac{4}{3} > 1 ve xx pozitif bir değer olduğundan y>xy > x elde edilir.
Bir sayının 1'den büyük bir katı kendisinden büyüktür.
3
yy ile zz değerlerini kıyaslayalım.
z=95yz = \frac{9}{5}y eşitliğinde 95>1\frac{9}{5} > 1 ve yy pozitif bir değer olduğundan z>yz > y elde edilir.
Benzer şekilde, bir sayının 1'den büyük bir katı kendisinden büyüktür.
4
Elde edilen y>xy > x ve z>yz > y eşitsizliklerini birleştirelim.
x<y<zx < y < z sıralamasına ulaşılır.
Geçişme özelliği kullanılarak tüm terimler küçükten büyüğe sıralanır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerinde sadeleştirme ve ardışık terimlerin birbirleri cinsinden yazılması
Question 2Question →
n>2n > 2 olmak üzere,
(n+1)!−n!(n−1)!+(n−2)!=30\frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 30
olduğuna göre, nn kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Ardışık iki sayının çarpımının 30 olmasını sağlayan 6 değeri doğru cevaptır.
Verilen rasyonel ifadenin payı en küçük terim olan n!n! parantezine, paydası ise (n−2)!(n-2)! parantezine alınır. İfadeler düzenlendiğinde pay kısmı n⋅n!n \cdot n! ve payda kısmı n⋅(n−2)!n \cdot (n-2)! olur. Burada bulunan nn çarpanları sadeleşir. Kalan n!(n−2)!\frac{n!}{(n-2)!} ifadesi ise n(n−1)n(n-1) çarpımına eşittir. Buradan n(n−1)=30n(n-1) = 30 eşitliği elde edilir. Çarpımları 30 olan ardışık pozitif tam sayılar 5 ve 6 olduğundan nn değeri 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak faktöriyel parantezine almak için düzenleriz.
(n+1)!−n!=n!⋅(n+1)−n!=n!⋅(n+1−1)=n⋅n!(n+1)! - n! = n! \cdot (n+1) - n! = n! \cdot (n+1 - 1) = n \cdot n! ve (n−1)!+(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1)+(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1+1)=n⋅(n−2)!(n-1)! + (n-2)! = (n-2)! \cdot (n-1) + (n-2)! = (n-2)! \cdot (n-1 + 1) = n \cdot (n-2)! elde edilir.
Faktöriyel içeren ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini sadeleştirebilmek için terimler en küçük faktöriyelli terim cinsinden yazılır.
2
Bulduğumuz ifadeleri ana kesirde yerine koyarak sadeleştirme yaparız.
n⋅n!n⋅(n−2)!=n!(n−2)!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!(n−2)!=n(n−1)\frac{n \cdot n!}{n \cdot (n-2)!} = \frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n(n-1)$ şeklinde sadeleşir.
Pay ve paydadaki ortak çarpanlar olan nn ve (n−2)!(n-2)! terimleri sadeleştirilerek ifade yalın hâle getirilir.
3
Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen değere eşitleyerek nn değerini buluruz.
n(n−1)=30n(n-1) = 30 denkleminden ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı 30 olmalıdır. Buradan 6⋅5=306 \cdot 5 = 30 olduğu için n=6n = 6 bulunur.
Denklemi sağlayan pozitif tam sayı değerini belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapma.

Hints

1
Pay ve paydadaki faktöriyelli ifadeleri, içlerindeki en küçük faktöriyelli terimlerin ortak parantezine alarak yazmaya çalışın.
2
(n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n! ve (n−1)!=(n−1)⋅(n−2)!(n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)! eşitliklerini kullanarak ortak paranteze alma işlemlerini tamamlayın.
3
Sadeleştirmelerden sonra elinizde n(n−1)=30n(n-1) = 30 denklemi kalacaktır. Çarpımları 30 olan iki ardışık pozitif tam sayıyı düşünün.

Practice More

Benzer şekilde, n!+(n−1)!(n−1)!−(n−2)!=9\frac{n! + (n-1)!}{(n-1)! - (n-2)!} = 9 denklemini sağlayan nn değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Seçeneklerde verilen sayıları denklemde nn yerine koyarak deneme yöntemiyle çözüme gidilebilir. Örneğin n=6n=6 için pay kısmı 7!−6!=43207! - 6! = 4320 ve payda kısmı 5!+4!=1445! + 4! = 144 olur. Bu değerlerin oranı 4320144=30\frac{4320}{144} = 30 eşitliğini sağlar.
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →
7!+6!5!\frac{7! + 6!}{5!}

işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

48
İfadenin pay kısmındaki 7!+6!7! + 6! toplamı, 6!6! parantezine alınarak 6!×(7+1)=8×6!6! \times (7 + 1) = 8 \times 6! olarak yazılır. Paydadaki 5!5! ile sadeleştirme yapabilmek için paydaki 6!6! ifadesi 6×5!6 \times 5! şeklinde açılır. Böylece ifade 8×6×5!5!\frac{8 \times 6 \times 5!}{5!} halini alır. Pay ve paydadaki 5!5! terimleri sadeleştiğinde geriye kalan 8×68 \times 6 çarpımı 4848 sonucunu verir. Bu nedenle doğru cevap 48'dir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak çarpan parantezine almak için büyük olan 7!7! ifadesini 7×6!7 \times 6! şeklinde açarız.
7!+6!=7×6!+6!=6!×(7+1)=8×6!7! + 6! = 7 \times 6! + 6! = 6! \times (7 + 1) = 8 \times 6!
İfadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Elde ettiğimiz 8×6!8 \times 6! ifadesini paydadaki 5!5! ile sadeleştirebilmek için 6!6! ifadesini 6×5!6 \times 5! şeklinde yazarız.
8×6×5!8 \times 6 \times 5!
Payda ile paydaki en küçük faktöriyel terimini eşitlemek için açılım yapılır.
3
Pay ve paydadaki 5!5! terimlerini sadeleştirerek kalan çarpma işlemini tamamlarız.
8×6×5!5!=8×6=48\frac{8 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 6 = 48
İfadenin en sade sayısal değerini hesaplamak.

Key Concept

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde, büyük olan fakt��riyeller küçük olanın cinsinden açılarak ortak paranteze alınır ve sadeleştirme yapılır.
Question 4Question →

A=50!−49!7A = \frac{50! - 49!}{7}

olduğuna göre, AA sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimindeki 77 asal çarpanının üssü kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimindeki 7 asal çarpanının üssü 9'dur.
Doğru cevap 9'dur. 50!−49!50! - 49! ifadesi ortak paranteze alındığında 49!×49=49!×7249! \times 49 = 49! \times 7^2 elde edilir. Bu ifade paydadaki 7 ile bölündüğünde A=49!×7A = 49! \times 7 olur. 49!49! içindeki 7 asal çarpanı sayısı Legendre yöntemiyle 49/7=749/7 = 7 ve 7/7=17/7 = 1 şeklinde bölünerek 7+1=87 + 1 = 8 olarak bulunur. Dışarıdaki 7 çarpanı da eklendiğinde toplam 7 asal çarpanının üssü 8+1=98 + 1 = 9 olur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki 50!−49!50! - 49! ifadesini ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirin.
50!−49!=49!×(50−1)=49!×49=49!×7250! - 49! = 49! \times (50 - 1) = 49! \times 49 = 49! \times 7^2 elde edilir.
Ardışık faktöriyel ifadelerini ortak paranteze alarak ifadeyi daha sade bir hale getirmek için.
2
Bulunan pay ifadesini paydadaki 77 sayısına bölün.
A=49!×7271=49!×71A = \frac{49! \times 7^2}{7^1} = 49! \times 7^1 elde edilir.
AA sayısının en sade halini belirlemek için.
3
Legendre formülünü kullanarak 49!49! sayısının içindeki 77 asal çarpanının üssünü bulun.
⌊49/7⌋=7\lfloor 49 / 7 \rfloor = 7 ve ⌊7/7⌋=1\lfloor 7 / 7 \rfloor = 1 olduğundan, 7+1=87 + 1 = 8 adet 77 çarpanı vardır.
Faktöriyel bir sayının içindeki belirli bir asal çarpanın sayısını hesaplamak için ardışık bölme işlemi uygulanır.
4
49!×7149! \times 7^1 ifadesindeki toplam 77 çarpanı sayısını bulmak için elde edilen üsleri toplayın.
8+1=98 + 1 = 9 elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin üsleri toplanacağından, 49!49! içindeki 88 tane 77 çarpanına dışarıdaki 717^1 çarpanının üssü eklenir.

Key Concept

Faktöriyel kavramı, ortak çarpan parantezine alma ve bir faktöriyelin içindeki asal çarpan sayısını bulma (Legendre formülü).
Question 5Question →

xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,

x!3y\frac{x!}{3^y}

ifadesi bir çift tam sayı olduğuna göre, yy nin alabileceği en büyük değer 1414 ise xx in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 93

Answer

Koşulu sağlayan x değerlerinin toplamı 93'tür.
Verilen ifadenin tam sayı olması ve y'nin en büyük değerinin 14 olması, x! içindeki 3 asal çarpanı sayısının tam olarak 14 olmasını gerektirir. Legendre formülü yardımıyla bu şartı sağlayan en küçük x değeri 30 olarak bulunur. Faktöriyelli ifadede 3 çarpanı sayısı ancak 33 sayısına ulaşıldığında artacağı için x değerleri 30, 31 ve 32 olabilir. Bu değerlerin toplamı da 93 yapar.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin çift tam sayı olma koşulunun analiz edilmesi.
y≤v3(x!)y \le v_3(x!) ve x≥2x \ge 2 olmalıdır.
x!3y\frac{x!}{3^y} ifadesinin tam sayı olması için payın paydadaki 3 çarpanlarını sadeleştirebilmesi gerekir. x!x! içindeki 3 çarpanı sayısı v3(x!)v_3(x!) ile gösterilirse, y≤v3(x!)y \le v_3(x!) olmalıdır. yy nin alabileceği en büyük değer 14 olduğundan v3(x!)=14v_3(x!) = 14 olmalıdır. Sonucun çift olması için de x≥2x \ge 2 olması yeterlidir.
2
Legendre formülü kullanılarak v3(x!)=14v_3(x!) = 14 denkleminin çözülmesi.
x=30x = 30 için v3(30!)=14v_3(30!) = 14 bulunur.
v3(x!)=⌊x3⌋+⌊x9⌋+⌊x27⌋+…v_3(x!) = \lfloor \frac{x}{3} \rfloor + \lfloor \frac{x}{9} \rfloor + \lfloor \frac{x}{27} \rfloor + \dots formülü uygulanarak sınır değer tespit edilir. x=30x = 30 için bu değer ⌊30/3⌋+⌊30/9⌋+⌊30/27⌋=10+3+1=14\lfloor 30/3 \rfloor + \lfloor 30/9 \rfloor + \lfloor 30/27 \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14 olur.
3
Koşulu sağlayan tüm xx değerlerinin belirlenmesi.
x∈{30,31,32}x \in \{30, 31, 32\} olarak bulunur.
x=29x = 29 için çarpan sayısı 13'tür ve yetersizdir. x=33x = 33 için çarpan sayısı 15 olur ve koşulu aşar. Dolayısıyla xx değerleri 30, 31 ve 32 olabilir.
4
Değerlerin toplamının hesaplanması.
30+31+32=9330 + 31 + 32 = 93
xx in alabileceği farklı değerlerin toplamı sorulduğu için bu değerler toplanır.

Key Concept

Faktöriyel kavramı ve Legendre formülü yardımıyla bir faktöriyelli ifadedeki asal çarpan üssünün bulunması.

Hints

1
Bir ifadenin çift tam sayı olması için öncelikle tam sayı olması gerekir. Paydanın payı tam bölmesi şartını düşünün.
2
x!x! sayısının içindeki 3 asal çarpanı sayısını bulmak için Legendre formülünü kullanabilirsiniz.
3
v3(x!)=14v_3(x!) = 14 koşulunu sağlayan en küçük xx değerini bulduktan sonra, bu değerin ardışığı olan ve 3'ün yeni bir katı olmayan diğer sayıları da kontrol edin.

Practice More

Benzer mantıkla, x!x! sayısının sonundan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 5 asal çarpanı sayısının Legendre formülüyle nasıl hesaplandığı sorusunu çözebilirsiniz.

Alternative Method

Legendre formülünü doğrudan kullanmak yerine, 14 adet 3 çarpanının hangi faktöriyel değerlerinde biriktiğini tek tek çarpanları analiz ederek de bulabilirsiniz (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 sayılarının her birinin içindeki 3 çarpanlarını toplayarak).
Estimated Time:2m 0s
Question 6Question →
(n+2)!+(n+1)!n!+(n−1)!=28\frac{(n+2)! + (n+1)!}{n! + (n-1)!} = 28

eşitliğini sağlayan nn pozitif tam sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4
Verilen rasyonel ifadede pay (n+3)⋅(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+3) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! şeklinde, payda ise (n+1)⋅(n−1)!(n+1) \cdot (n-1)! şeklinde düzenlenip ortak terimler sadeleştirildiğinde geriye n⋅(n+3)=28n \cdot (n+3) = 28 eşitliği kalır. Çarpımları 28 olan ve aralarında 3 fark bulunan pozitif tam sayı 4 olduğundan doğru yanıt bu değere karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak paranteze alabilmek için en küçük faktöriyelli terimler cinsinden açalım.
Pay kısmında (n+1)!(n+1)! parantezine alırsak:
(n+2)!+(n+1)!=(n+2)⋅(n+1)!+(n+1)!=(n+1)!⋅(n+2+1)=(n+3)⋅(n+1)!(n+2)! + (n+1)! = (n+2) \cdot (n+1)! + (n+1)! = (n+1)! \cdot (n+2+1) = (n+3) \cdot (n+1)!

Payda kısmında (n−1)!(n-1)! parantezine alırsak:
n!+(n−1)!=n⋅(n−1)!+(n−1)!=(n−1)!⋅(n+1)n! + (n-1)! = n \cdot (n-1)! + (n-1)! = (n-1)! \cdot (n+1)
elde edilir.
Toplama halindeki faktöriyelli ifadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Bulduğumuz parantezli ifadeleri kesirli denklemde yerine yazıp ortak terimleri sadeleştirelim.
(n+3)⋅(n+1)!(n+1)⋅(n−1)!=28\frac{(n+3) \cdot (n+1)!}{(n+1) \cdot (n-1)!} = 28

Pay kısmındaki (n+1)!(n+1)! ifadesini (n−1)!(n-1)! terimine kadar açarak yazalım:
(n+3)⋅(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+1)⋅(n−1)!=28\frac{(n+3) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n+1) \cdot (n-1)!} = 28

Pay ve paydadaki ortak (n+1)(n+1) ve (n−1)!(n-1)! terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan ifade:
n⋅(n+3)=28n \cdot (n+3) = 28
olur.
Kesirli ifadelerde pay ve paydadaki çarpım durumundaki ortak terimler sadeleştirilerek işlem kolayla��tırılır.
3
Elde edilen n⋅(n+3)=28n \cdot (n+3) = 28 denklemini sağlayan pozitif tam sayı değerini belirleyelim.
n2+3n−28=0  ⟹  (n+7)⋅(n−4)=0n^2 + 3n - 28 = 0 \implies (n+7) \cdot (n-4) = 0
Buradan n=−7n = -7 veya n=4n = 4 bulunur. Faktöriyel tanımı gereği n−1≥0  ⟹  n≥1n-1 \geq 0 \implies n \geq 1 olmalıdır, bu yüzden nn pozitif bir tam sayı olmak zorundadır. Dolayısıyla n=4n = 4 olarak seçilir.
İkinci derece denklemin köklerinden faktöriyel tanım kümesine uygun olan pozitif tam sayı kökü alınmalıdır.

Key Concept

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde en küçük terime göre açarak ortak paranteze alma ve sadeleştirme yöntemlerinin uygulanması.

Hints

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak paranteze alabilmek için öncelikle terimleri daha küçük faktöriyelli ifadeler cinsinden açmayı deneyin.
2
Pay kısmını (n+1)!(n+1)!, payda kısmını ise (n−1)!(n-1)! parantezine alarak sadeleştirmeleri gerçekleştirin.
3
Sadeleştirmelerden sonra elinizde n(n+3)=28n(n+3) = 28 denklemi kalacaktır. Çarpımları 28 olan ve aralarında 3 fark bulunan pozitif tam sayıyı bulun.

Practice More

Faktöriyel parantezine alma mantığını pekiştirmek için ardışık üç faktöriyel teriminin toplamının/farkının sadeleştirildiği benzer rasyonel denklem sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Zaman kısıtı olan sınavlarda, seçeneklerdeki küçük tam sayı değerlerini doğrudan denklemde yerine koyarak deneme yöntemiyle de hızlıca doğru cevaba ulaşabilirsiniz. Örneğin n=4n=4 için sol taraf 6!+5!4!+3!=720+12024+6=84030=28\frac{6! + 5!}{4! + 3!} = \frac{720 + 120}{24 + 6} = \frac{840}{30} = 28 eşitliğini doğrudan sağlar.
Estimated Time:1m 30s
Question 7Question →
n≥2n \geq 2 olmak üzere,
(n+2)!−(n+1)!−n!n!−(n−1)!\frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{n! - (n-1)!}

ifadesini tam sayı yapan nn tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İfadeyi tam sayı yapan değerlerin toplamı 6 sayısıdır.
Doğru seçenekte belirtilen 6 sayısı, ifadenin pay ve paydasındaki faktöriyel terimlerinin doğru bir şekilde sadeleştirilmesiyle elde edilir. Sadeleştirme sonucunda ulaşılan n2+3n+3+3n−1n^2 + 3n + 3 + \frac{3}{n-1} ifadesinin tam sayı olması için n−1n-1 ifadesi 3'ün pozitif bölenleri olan 1 ve 3 değerlerini almalıdır. Buradan nn değerleri 2 ve 4 olarak bulunur ve toplamları 6 olur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak olan n!n! parantezine alarak düzenlemek.
(n+2)!−(n+1)!−n!=n!⋅(n2+2n)(n+2)! - (n+1)! - n! = n! \cdot (n^2 + 2n)
İfadeyi sadeleştirmek amacıyla en küçük faktöriyelli terim cinsinden yazmamız gerekir.
2
Payda kısmındaki ifadeleri ortak olan (n−1)!(n-1)! parantezine alarak düzenlemek.
n!−(n−1)!=(n−1)!⋅(n−1)n! - (n-1)! = (n-1)! \cdot (n-1)
Pay ve payda arasındaki ortak faktöriyel terimlerini sadeleştirebilmek için tabanları eşitlemeliyiz.
3
Bulunan ifadeleri yerlerine yazıp sadeleştirme işlemini yapmak.
n!⋅(n2+2n)(n−1)!⋅(n−1)=n⋅(n−1)!⋅n(n+2)(n−1)!⋅(n−1)=n2(n+2)n−1\frac{n! \cdot (n^2 + 2n)}{(n-1)! \cdot (n-1)} = \frac{n \cdot (n-1)! \cdot n(n+2)}{(n-1)! \cdot (n-1)} = \frac{n^2(n+2)}{n-1}
n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! özelliğini kullanarak paydadaki (n−1)!(n-1)! terimini sadeleştirmek.
4
Elde edilen rasyonel ifadeyi polinom bölmesi yöntemiyle tam ve kesirli kısımlarına ayırmak.
n3+2n2n−1=n2+3n+3+3n−1\frac{n^3 + 2n^2}{n-1} = n^2 + 3n + 3 + \frac{3}{n-1}
nn değerlerinin hangi koşulda tam sayı üreteceğini daha net görebilmek için kesri parçalamalıyız.
5
3n−1\frac{3}{n-1} ifadesinin bir tam sayı olabilmesi için n−1n-1 değerinin 3'ün pozitif bölenleri olmasını sağlamak.
n−1=1  ⟹  n=2n-1 = 1 \implies n = 2 ve n−1=3  ⟹  n=4n-1 = 3 \implies n = 4 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olur.
n≥2n \geq 2 koşulunu sağlayan ve ifadeyi tam sayı yapan tüm nn tam sayılarını bulup toplamak.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde ortak paranteze alma ve rasyonel ifadelerin tam sayı yapılması

Alternative Method

İfadeyi sadeleştirmek yerine n≥2n \geq 2 koşuluna uyan tam sayılar (2, 3, 4, ...) sırasıyla formülde yerine yazılarak doğrudan test edilebilir. Örneğin n=2n=2 için ifade 24−6−22−1=16\frac{24-6-2}{2-1} = 16 (tam sayı), n=3n=3 için ifade 120−24−66−2=22.5\frac{120-24-6}{6-2} = 22.5 (tam sayı değil), n=4n=4 için ifade 720−120−2424−6=32\frac{720-120-24}{24-6} = 32 (tam sayı) değerlerini üretir. Bu şekilde n=2n=2 ve n=4n=4 değerleri tespit edilebilir, fakat bu yöntem zaman alıcıdır ve daha büyük değerler için kesin bir sınır çizmek zordur.
Estimated Time:2m 30s
Question 8Question →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a!+b!=9⋅2ca! + b! = 9 \cdot 2^c
eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b)(a, b) sıralı ikilisi vardır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Eşitliği sağlayan 2 farklı sıralı ikili vardır.
Denklemin sağ tarafında 5 asal çarpanı bulunmadığı için aa ve bb değerlerinden en az biri 5'ten küçük olmak zorundadır. Yapılan ayrıntılı durum analizleri sonucunda bu şartı sağlayan tek pozitif tam sayı ikililerinin (4,5)(4, 5) ve (5,4)(5, 4) olduğu görülür. Dolayısıyla eşitliği sağlayan 2 farklı sıralı ikili vardır.

Step-by-Step Solution

1
Asal çarpan analizi ile değer sınırlandırması yapılması.
a!+b!=9⋅2ca! + b! = 9 \cdot 2^c eşitliğinde sağ tarafın asal çarpanları yalnızca 2 ve 3'tür. Sol tarafta eğer a≥5a \geq 5 ve b≥5b \geq 5 olsaydı, her iki faktöriyel de 5 ile tam bölüneceğinden toplam da 5'in katı olurdu. Sağ taraf 5 ile b��lünemediği için aa ve bb sayılarından en az biri 5'ten küçük olmalıdır.
Değişkenlerin alabileceği değer aralığını daraltmak.
2
Simetri kabulü ile durum sayısının azaltılması.
Simetriden dolayı a≤ba \leq b kabul edilirse a<5a < 5 olmalıdır. Bu durumda a∈{1,2,3,4}a \in \{1, 2, 3, 4\} değerleri incelenmelidir.
Analiz edilecek durum sayısını azaltmak.
3
Belirlenen aa değerleri için denklemin tek tek çözülmesi.
a=1,2,3a=1, 2, 3 değerleri için sağ tarafı 9⋅2c9 \cdot 2^c biçiminde olan bir tam sayı çözümü bulunamaz. a=4a=4 için 24+b!=9⋅2c24 + b! = 9 \cdot 2^c elde edilir. Burada b≥6b \geq 6 için b!b! sayısı 9'un tam katı olacağından 24+b!24 + b! ifadesi 9 ile bölündüğünde 6 kalanını verir ve 9⋅2c9 \cdot 2^c ile eşitlenemez. Dolayısıyla b<6b < 6 olmalıdır. b≥a=4b \geq a = 4 olduğundan b=4b=4 veya b=5b=5 olabilir. b=4  ⟹  48=9⋅2cb=4 \implies 48 = 9 \cdot 2^c (çözüm yok). b=5  ⟹  144=9⋅2c  ⟹  2c=16  ⟹  c=4b=5 \implies 144 = 9 \cdot 2^c \implies 2^c = 16 \implies c=4 elde edilir. Bu durum geçerli bir çözümdür.
Olası durumları tek tek analiz ederek doğru değerleri tespit etmek.
4
Simetri kaldırılarak tüm sıralı ikililerin belirlenmesi.
a≤ba \leq b koşulu altında bulunan tek çözüm (4,5)(4, 5) olduğundan, tüm pozitif tam sayı çözümleri (4,5)(4, 5) ve (5,4)(5, 4) olmak üzere 2 tanedir.
Sıralı ikili tanımı gereği elemanların yer değiştirmesini hesaba katmak.

Key Concept

Faktöriyel içeren denklemlerde asal çarpan analizi ve bölünebilme kuralları yardımıyla değer sınırlandırma.

Hints

1
a!a! ve b!b! ifadelerinin hangi durumlarda 5 ile tam bölünebileceğini düşünün. Eşitliğin sağ tarafı 5 ile bölünebilir mi?
2
a≥5a \geq 5 ve b≥5b \geq 5 durumunda sol tarafın 5'in katı olduğunu, ancak sağ tarafın olmadığını görün. Bu durumda değişkenlerden en az biri 5'ten küçük olmalıdır.
3
a≤ba \le b kabul edip aa için 1,2,3,41, 2, 3, 4 değerlerini deneyin. a=4a=4 için 24+b!=9⋅2c24 + b! = 9 \cdot 2^c olur. Burada b≥6b \geq 6 için b!b! sayısı 9'un katı olacağından sol taraf 9 ile bölündüğünde 6 kalanını verir. Bu yüzden b<6b < 6 olmalıdır.

Practice More

Faktöriyel sorularında taban ve asal çarpan sınırlamalarını kavramak adına x!−y!=3c⋅5x! - y! = 3^c \cdot 5 denklemini inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 9Question →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 232

Answer

Eşitliği sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı 232'dir.
İfadeyi sağlayan ardışık çarpan durumları incelendiğinde xx sayısının alabileceği değerlerin 210210, 1515 ve 77 olduğu görülür. Bu pozitif tam sayı değerlerinin toplamı 210+15+7=232210 + 15 + 7 = 232 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel ifadesini ardışık sayıların çarpımı biçiminde yazmak.
x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=210\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 210 eşitliği elde edilir.
Faktöriyel tanımı gereği x!x!, y!y! cinsinden yazılarak sadeleştirilebilir.
2
210 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazmak.
210 sayısı tek terimli olarak 210; iki ardışık terim olarak 15⋅1415 \cdot 14; üç ardışık terim olarak 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 şeklinde yazılabilir. Dört veya daha fazla terimli ardışık çarpım durumunda pozitif tam sayı çözümü bulunmamaktadır.
Çarpımın sonucunun 210 olabilmesi için tüm olası ardışık çarpan grupları incelenmelidir.
3
Bulunan her bir durum için xx değerlerini belirlemek ve toplamak.
Birinci durumdan x=210x = 210 (ve y=209y = 209), ikinci durumdan x=15x = 15 (ve y=13y = 13), üçüncü durumdan x=7x = 7 (ve y=4y = 4) elde edilir. Bu değerlerin toplamı 210+15+7=232210 + 15 + 7 = 232 olur.
xx ve yy pozitif tam sayı koşulunu sağladığından tüm bu xx değerleri geçerlidir.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme ve ardışık sayılarla ilişkilendirme.
Question 10Question →

aa ve bb birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

(a−1)!+(b+1)!=126(a-1)! + (b+1)! = 126

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Farklı pozitif tam sayıların çarpımı 12'dir.
Toplamları 126 olan faktöriyel değerleri sadece 120120 (5!5!) ve 66 (3!3!) olabilir. Bu durumda a−1=5⇒a=6a-1=5 \Rightarrow a=6 ve b+1=3⇒b=2b+1=3 \Rightarrow b=2 olur. Sayılar birbirinden farklı olduğu için bu durum geçerlidir ve çarpımları 12'dir. Diğer durumda ise a=4a=4 ve b=4b=4 çıkmaktadır fakat bu durum sayıların farklı olması koşuluna uymamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Toplamı 126 olan iki faktöriyel ifadesini belirlemek.
(a−1)!+(b+1)!=120+6(a-1)! + (b+1)! = 120 + 6
Faktöriyel değerlerini incelediğimizde (0!=10!=1, 1!=11!=1, 2!=22!=2, 3!=63!=6, 4!=244!=24, 5!=1205!=120), toplamı 126 yapan tek ikilinin 120 ve 6 olduğu görülür.
2
aa ve bb sayıları için olası durumları bulmak.
Birinci durum: a−1=5⇒a=6a-1=5 \Rightarrow a=6 ve b+1=3⇒b=2b+1=3 \Rightarrow b=2. İkinci durum: a−1=3⇒a=4a-1=3 \Rightarrow a=4 ve b+1=5⇒b=4b+1=5 \Rightarrow b=4.
5!=1205! = 120 ve 3!=63! = 6 eşitlikleri kullanılarak değişkenlerin değerleri hesaplanır.
3
Birbirinden farklı olma koşulunu kontrol ederek çarpımı hesaplamak.
a=6a=6 ve b=2b=2 için a⋅b=12a \cdot b = 12 elde edilir.
aa ve bb sayılarının birbirinden farklı pozitif tam sayılar olması istendiğinden a=4,b=4a=4, b=4 durumu elenir. Bu durumda tek geçerli çözüm a=6,b=2a=6, b=2 olur.

Key Concept

Faktöriyel kavramı ve temel faktöriyel değerlerinin denklemlerde kullanımı

Hints

1
Küçük sayıların faktöriyel değerlerini (1!,2!,3!,4!,5!1!, 2!, 3!, 4!, 5!) listeleyip, hangi ikisinin toplamının 126 ettiğini bulun.
2
Toplamları 126 yapan faktöriyeller 5!=1205! = 120 ve 3!=63! = 6 sayılarıdır. Buradan iki farklı durum elde edersiniz.
3
aa ve bb sayılarının birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğunu unutmayın. Bu bilgi elde ettiğiniz iki durumdan birini elemenizi sağlayacaktır.

Practice More

Benzer şekilde üç terimli faktöriyel toplamları içeren denklemleri ve bu denklemlerdeki kısıtlamaları inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 11Question →
n>1n > 1 bir tam sayı olmak üzere,
(n−2)!⋅(n2−1)(n+2)!=124\frac{(n-2)! \cdot (n^2 - 1)}{(n+2)!} = \frac{1}{24}
olduğuna göre, nn kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen n(n+2) = 24 eşitliğinden n = 4 bulunur.
Verilen denklemde payda yer alan n2−1n^2-1 ifadesi iki kare farkı özdeşliğiyle (n−1)(n+1)(n-1)(n+1) şeklinde yazılır. Paydadaki (n+2)!(n+2)! ifadesi ise (n−2)!(n-2)! terimine kadar geriye doğru açıldığında (n+2)(n+1)n(n−1)(n−2)!(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)! elde edilir. Bu açılımlar rasyonel ifadede yerine yazılıp pay ve paydadaki ortak olan (n−2)!(n-2)!, (n−1)(n-1) ve (n+1)(n+1) çarpanları sadeleştirilirse denklem 1n(n+2)=124\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{24} haline gelir. Buradan n(n+2)=24n(n+2) = 24 eşitliği elde edilir. Çarpımları 24 olan ve aralarında 2 fark bulunan pozitif tam sayılardan küçük olanı 4'tür. Bu nedenle n=4n = 4 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyelli terim olan (n-2)! cinsinden açın ve iki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
n2−1=(n−1)(n+1)n^2 - 1 = (n-1)(n+1) ve (n+2)!=(n+2)(n+1)n(n−1)(n−2)!(n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!
Ortak çarpanları bularak sadeleştirme işlemini gerçekleştirmek.
2
Açılımları denklemde yerine yazarak ortak terimleri sadeleştirin.
(n−2)!⋅(n−1)(n+1)(n+2)(n+1)n(n−1)(n−2)!=1n(n+2)=124\frac{(n-2)! \cdot (n-1)(n+1)}{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!} = \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{24}
Pay ve paydadaki (n−2)!(n-2)!, (n−1)(n-1) ve (n+1)(n+1) terimleri birbirini sadele��tirerek ifadeyi en basit haline getirir.
3
Sadeleşen eşitlikten içler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden bir denklem elde edin.
n(n+2)=24  ⟹  n2+2n−24=0n(n+2) = 24 \implies n^2 + 2n - 24 = 0
Bilinmeyen n değerini bulmak amacıyla denklem kurmak.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak pozitif tam sayı olan kökü belirleyin.
(n+6)(n−4)=0  ⟹  n=4(n+6)(n-4) = 0 \implies n = 4 (n=−6n = -6 değeri n>1n > 1 şartını sağlamaz)
n sayısının 1'den büyük bir tam sayı olması şartına uygun olan kökü seçmek.

Key Concept

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde sadeleştirme ve çarpanlara ayırma yöntemleri

Alternative Method

Cebirsel çözüm yerine seçeneklerdeki değerler denklemde n yerine yazılarak kontrol edilebilir. n = 4 için: 2!⋅(42−1)6!=2⋅15720=30720=124\frac{2! \cdot (4^2 - 1)}{6!} = \frac{2 \cdot 15}{720} = \frac{30}{720} = \frac{1}{24} elde edilir ve eşitliğin sağlandığı doğrudan görülür.
Estimated Time:1m 30s
Faktöriyel Practice Questions — ALES | Examkin