Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel

xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,

x!3y\frac{x!}{3^y}

ifadesi bir çift tam sayı olduğuna göre, yy nin alabileceği en büyük değer 1414 ise xx in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    61
  2. B
    84
  3. 93Answer
  4. D
    122
  5. E
    126

Answer

Koşulu sağlayan x değerlerinin toplamı 93'tür.
Verilen ifadenin tam sayı olması ve y'nin en büyük değerinin 14 olması, x! içindeki 3 asal çarpanı sayısının tam olarak 14 olmasını gerektirir. Legendre formülü yardımıyla bu şartı sağlayan en küçük x değeri 30 olarak bulunur. Faktöriyelli ifadede 3 çarpanı sayısı ancak 33 sayısına ulaşıldığında artacağı için x değerleri 30, 31 ve 32 olabilir. Bu değerlerin toplamı da 93 yapar.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin çift tam sayı olma koşulunun analiz edilmesi.
y≤v3(x!)y \le v_3(x!) ve x≥2x \ge 2 olmalıdır.
x!3y\frac{x!}{3^y} ifadesinin tam sayı olması için payın paydadaki 3 çarpanlarını sadeleştirebilmesi gerekir. x!x! içindeki 3 çarpanı sayısı v3(x!)v_3(x!) ile gösterilirse, y≤v3(x!)y \le v_3(x!) olmalıdır. yy nin alabileceği en büyük değer 14 olduğundan v3(x!)=14v_3(x!) = 14 olmalıdır. Sonucun çift olması için de x≥2x \ge 2 olması yeterlidir.
2
Legendre formülü kullanılarak v3(x!)=14v_3(x!) = 14 denkleminin çözülmesi.
x=30x = 30 için v3(30!)=14v_3(30!) = 14 bulunur.
v3(x!)=⌊x3⌋+⌊x9⌋+⌊x27⌋+…v_3(x!) = \lfloor \frac{x}{3} \rfloor + \lfloor \frac{x}{9} \rfloor + \lfloor \frac{x}{27} \rfloor + \dots formülü uygulanarak sınır değer tespit edilir. x=30x = 30 için bu değer ⌊30/3⌋+⌊30/9⌋+⌊30/27⌋=10+3+1=14\lfloor 30/3 \rfloor + \lfloor 30/9 \rfloor + \lfloor 30/27 \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14 olur.
3
Koşulu sağlayan tüm xx değerlerinin belirlenmesi.
x∈{30,31,32}x \in \{30, 31, 32\} olarak bulunur.
x=29x = 29 için çarpan sayısı 13'tür ve yetersizdir. x=33x = 33 için çarpan sayısı 15 olur ve koşulu aşar. Dolayısıyla xx değerleri 30, 31 ve 32 olabilir.
4
Değerlerin toplamının hesaplanması.
30+31+32=9330 + 31 + 32 = 93
xx in alabileceği farklı değerlerin toplamı sorulduğu için bu değerler toplanır.

Key Concept

Faktöriyel kavramı ve Legendre formülü yardımıyla bir faktöriyelli ifadedeki asal çarpan üssünün bulunması.

Hints

1
Bir ifadenin çift tam sayı olması için öncelikle tam sayı olması gerekir. Paydanın payı tam bölmesi şartını düşünün.
2
x!x! sayısının içindeki 3 asal çarpanı sayısını bulmak için Legendre formülünü kullanabilirsiniz.
3
v3(x!)=14v_3(x!) = 14 koşulunu sağlayan en küçük xx değerini bulduktan sonra, bu değerin ardışığı olan ve 3'ün yeni bir katı olmayan diğer sayıları da kontrol edin.

Practice More

Benzer mantıkla, x!x! sayısının sonundan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 5 asal çarpanı sayısının Legendre formülüyle nasıl hesaplandığı sorusunu çözebilirsiniz.

Alternative Method

Legendre formülünü doğrudan kullanmak yerine, 14 adet 3 çarpanının hangi faktöriyel değerlerinde biriktiğini tek tek çarpanları analiz ederek de bulabilirsiniz (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 sayılarının her birinin içindeki 3 çarpanlarını toplayarak).
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Faktöriyel

More questions from this topic