Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel
n>2n > 2 olmak üzere,
(n+1)!−n!(n−1)!+(n−2)!=30\frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 30
olduğuna göre, nn kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    8
  3. 6Answer
  4. D
    7
  5. E
    31

Answer

Ardışık iki sayının çarpımının 30 olmasını sağlayan 6 değeri doğru cevaptır.
Verilen rasyonel ifadenin payı en küçük terim olan n!n! parantezine, paydası ise (n−2)!(n-2)! parantezine alınır. İfadeler düzenlendiğinde pay kısmı n⋅n!n \cdot n! ve payda kısmı n⋅(n−2)!n \cdot (n-2)! olur. Burada bulunan nn çarpanları sadeleşir. Kalan n!(n−2)!\frac{n!}{(n-2)!} ifadesi ise n(n−1)n(n-1) çarpımına eşittir. Buradan n(n−1)=30n(n-1) = 30 eşitliği elde edilir. Çarpımları 30 olan ardışık pozitif tam sayılar 5 ve 6 olduğundan nn değeri 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak faktöriyel parantezine almak için düzenleriz.
(n+1)!−n!=n!⋅(n+1)−n!=n!⋅(n+1−1)=n⋅n!(n+1)! - n! = n! \cdot (n+1) - n! = n! \cdot (n+1 - 1) = n \cdot n! ve (n−1)!+(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1)+(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1+1)=n⋅(n−2)!(n-1)! + (n-2)! = (n-2)! \cdot (n-1) + (n-2)! = (n-2)! \cdot (n-1 + 1) = n \cdot (n-2)! elde edilir.
Faktöriyel içeren ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini sadeleştirebilmek için terimler en küçük faktöriyelli terim cinsinden yazılır.
2
Bulduğumuz ifadeleri ana kesirde yerine koyarak sadeleştirme yaparız.
n⋅n!n⋅(n−2)!=n!(n−2)!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!(n−2)!=n(n−1)\frac{n \cdot n!}{n \cdot (n-2)!} = \frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n(n-1)$ şeklinde sadeleşir.
Pay ve paydadaki ortak çarpanlar olan nn ve (n−2)!(n-2)! terimleri sadeleştirilerek ifade yalın hâle getirilir.
3
Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen değere eşitleyerek nn değerini buluruz.
n(n−1)=30n(n-1) = 30 denkleminden ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı 30 olmalıdır. Buradan 6⋅5=306 \cdot 5 = 30 olduğu için n=6n = 6 bulunur.
Denklemi sağlayan pozitif tam sayı değerini belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapma.

Hints

1
Pay ve paydadaki faktöriyelli ifadeleri, içlerindeki en küçük faktöriyelli terimlerin ortak parantezine alarak yazmaya çalışın.
2
(n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n! ve (n−1)!=(n−1)⋅(n−2)!(n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)! eşitliklerini kullanarak ortak paranteze alma işlemlerini tamamlayın.
3
Sadeleştirmelerden sonra elinizde n(n−1)=30n(n-1) = 30 denklemi kalacaktır. Çarpımları 30 olan iki ardışık pozitif tam sayıyı düşünün.

Practice More

Benzer şekilde, n!+(n−1)!(n−1)!−(n−2)!=9\frac{n! + (n-1)!}{(n-1)! - (n-2)!} = 9 denklemini sağlayan nn değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Seçeneklerde verilen sayıları denklemde nn yerine koyarak deneme yöntemiyle çözüme gidilebilir. Örneğin n=6n=6 için pay kısmı 7!−6!=43207! - 6! = 4320 ve payda kısmı 5!+4!=1445! + 4! = 144 olur. Bu değerlerin oranı 4320144=30\frac{4320}{144} = 30 eşitliğini sağlar.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel

More questions from this topic